汪 葉 范利萍

河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南開封 475001

一、概述

高等數(shù)學(xué)是高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)課程，其主要內(nèi)容是一元函數(shù)和多元函數(shù)微積分學(xué)。多元函數(shù)積分學(xué)包含了二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分等六種積分。其中，第二類曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系中的最后一個積分，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。經(jīng)歷了前面五種積分的學(xué)習(xí)，再加上第二類曲面積分的概念、定理和公式的抽象性，導(dǎo)致部分學(xué)生思路混亂，產(chǎn)生畏難情緒。第二類曲面積分的題目綜合性強(qiáng)，難度高，方法多變，計(jì)算過程復(fù)雜而冗長，學(xué)生不易掌握。因此，教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生思考和探索第二類曲面積分不同題型對應(yīng)的計(jì)算方法，鼓勵學(xué)生及時總結(jié)，幫助學(xué)生理解和掌握第二類曲面積分的相關(guān)知識，提高學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

二、第二類曲面積分的算法

其中，dydz、dzdx和dxdy稱為投影元素。要想靈活掌握第二類曲面積分的計(jì)算方法，除了深入理解其物理背景和概念之外，還要熟練掌握其性質(zhì)，例如，利用對稱性和奇偶性、輪換對稱性[4-5]簡化計(jì)算，同時要熟悉與高斯公式有關(guān)的各種題型。下面主要探討第二類曲面積分的算法。

(一)直接投影法

當(dāng)積分的被積表達(dá)式中只有一個投影元素時，采用直接投影法將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算。計(jì)算口訣是：一投、二代、三定號。一投指根據(jù)投影元素確定將曲面Σ投影到哪個坐標(biāo)面上；二代指將曲面的方程代入被積函數(shù)；三定號指由曲面的側(cè)決定二重積分的符號。例如，當(dāng)被積表達(dá)式中含有投影元素dxdy時，首先將曲面Σ往xOy面上投影得到投影區(qū)域Dxy，然后將曲面方程z=z(x，y)代入被積函數(shù)，最后由曲面的側(cè)判定二重積分的符號，上側(cè)為正，下側(cè)為負(fù)。其他兩種情形類似可得，這里不再贅述。

例1 設(shè)Σ是球面x2+y2+(z-a)2=a2的外側(cè)，計(jì)算曲面積分Σz2dxdy。

(二)二化一法

當(dāng)Σ是一張平面時，法向量是常向量，此時利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分計(jì)算更為簡便，該方法稱為二化一法。公式如下：

(1)

其中，cosα、cosβ和cosγ是有向曲面Σ在點(diǎn)(x，y，z)處的法向量的方向余弦。

例2 計(jì)算曲面積分?Σxzeydydz-xzeydzdx+zdxdy，其中Σ是平面x+y+z=1在第一卦限部分的上側(cè)。

(三)合一法

(2)

例3 計(jì)算曲面積分?Σxdydz+ydzdx+zdxdy，其中Σ是曲面z=x2+y2，0≤z≤1在第一卦限部分的上側(cè)。

原式=?Σ[x·(-2x)+y·(-2y)+z]dxdy

=?Dxy(-x2-y2)dxdy

(四)利用高斯公式將其化為三重積分

當(dāng)Σ是一張封閉曲面時，可以通過高斯公式將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分計(jì)算。高斯公式如下

(3)

解：由高斯公式:

(五)補(bǔ)面法

當(dāng)積分的被積表達(dá)式很復(fù)雜，且Σ不是封閉曲面時，不能使用方法一直接投影法，也不能使用高斯公式(因?yàn)椴粷M足高斯公式的封閉性)，怎么辦呢？聯(lián)想到格林公式[1]存在類似的問題：當(dāng)曲線不閉合但還想使用格林公式時，怎么處理呢？解決方法是添加輔助曲線使之閉合后再用格林公式。類似地，這里可以添加輔助曲面使之封閉后再用高斯公式，即補(bǔ)面法。一般地，優(yōu)先添加平行于坐標(biāo)面的平面。注意，補(bǔ)面時需要標(biāo)注曲面的側(cè)。

例5 計(jì)算曲面積分

?Σ(x-1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z-1)dxdy

其中Σ是曲面z=x2+y2，0≤z≤1的上側(cè)。

顯然有?Σ1(x-1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z-1)dxdy=0。而由對稱性和奇偶性可得?Ω(6x+6y)dv=0。然后采用柱面坐標(biāo)法計(jì)算三重積分，得到：

原式=-?Ω[3(x2+y2)+7]dv

=-4π

(六)“挖洞”法

當(dāng)空間閉區(qū)域Ω上存在奇點(diǎn)時，高斯公式的第三個條件不滿足，怎么辦呢？再次聯(lián)想到格林公式[1]的類似情形，是采用“挖洞”的方法解決的。于是，這里也可以采用“挖洞”的方法將奇點(diǎn)挖去，然后在復(fù)連通區(qū)域上使用高斯公式。注意復(fù)連通區(qū)域有兩個邊界曲面，外邊界曲面的側(cè)應(yīng)取為外側(cè)，內(nèi)邊界曲面的側(cè)應(yīng)取為內(nèi)側(cè)。

例6 設(shè)Σ是一張不經(jīng)過點(diǎn)M0(x0，y0，z0)的光滑閉曲面，側(cè)取外側(cè)，計(jì)算曲面積分。

情形2：當(dāng)M0(x0，y0，z0)∈Ω時，M0是奇點(diǎn)。以M0為中心，以r為半徑做小球面Σ1：(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2，取內(nèi)側(cè)。注意r要足夠小，使得Σ1包含在Σ內(nèi)。記Σ和Σ1圍成的空間復(fù)連通區(qū)域?yàn)棣?，Ω1上無奇點(diǎn)，可以使用高斯公式，得到：

故有：

記Σ1圍成的小球體為Ω2，在上式的曲面積分中被積函數(shù)P=x-x0，Q=y-y0，R=z-z0在Ω2上無奇點(diǎn)，可以再次使用高斯公式。注意曲面Σ1的側(cè)是內(nèi)側(cè)，于是有：

故，原式=4π。

結(jié)語

本文通過實(shí)例分析，探討了第二類曲面積分的六種典型題型和相應(yīng)的計(jì)算方法，加深了學(xué)生對該知識點(diǎn)的理解。在教學(xué)中，教師要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生思考，提高學(xué)生化未知為已知的能力，提升學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。同時，學(xué)生在學(xué)習(xí)時要進(jìn)行大量的練習(xí)，這樣才能擁有較強(qiáng)的運(yùn)算能力、嚴(yán)密的邏輯推理能力，最終達(dá)到“運(yùn)用之妙，存乎一心”的境界。