王錚堯， 梁 菲

(中煤航測(cè)遙感集團(tuán)有限公司技術(shù)發(fā)展研究院，陜西西安 710199)

0 引言

研究和處理粗差對(duì)平差結(jié)果的影響方法主要分為兩類，第一類是將粗差放在函數(shù)模型中進(jìn)行處理的均值漂移，另一類則是將粗差放在隨機(jī)模型中進(jìn)行處理的抗差估計(jì)[1]。本文僅考慮均值漂移模式下的主要方法，包括：Data-Snooping，QUAD，LEGE，部分最小二乘法等[2-5]；宋力杰等通過計(jì)算分析，得出Data-Snooping與LEGE法在原理上基本等價(jià)[6]。上面提到的一些粗差處理方法都是在最小二乘基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展構(gòu)建的，但是對(duì)于觀測(cè)值以及法方程中系數(shù)同時(shí)存在誤差的EIV模型進(jìn)行粗差探測(cè)的解決方法相關(guān)文獻(xiàn)研究較少。Schaffrin等在觀測(cè)值和法方程中系數(shù)等權(quán)以及法方程中系數(shù)誤差為隨機(jī)誤差的條件下推導(dǎo)了EIV 模型的可靠性公式[7]；徐培亮通過將法方程中系數(shù)中的隨機(jī)元素和固定元素進(jìn)行推導(dǎo)分離，構(gòu)建了Partial-EIV函數(shù)模型[8]；曾文憲在Partial-EIV函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，分析構(gòu)建出EIV模型的可靠性公式，進(jìn)一步獲得了該模型中觀測(cè)值和法方程中系數(shù)的最小可發(fā)現(xiàn)粗差[9]；Amiri-Simkooei和Shahram-Jazaeri利用EIV模型整理變化為最小二乘形式，構(gòu)建了EIV-Data-Snooping[10]。

本文的目的旨在更好的解決EIV模型中觀測(cè)值與法方程系數(shù)都存在粗差的問題，文獻(xiàn)[10]中的方法雖然可以發(fā)現(xiàn)并剔除數(shù)據(jù)中的粗差，但是不能區(qū)分出該粗差是存在于觀測(cè)值還是法方程系數(shù)矩陣中，所以本文所提出在Partial-EIV模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建的數(shù)據(jù)探測(cè)法，該方法不僅可以發(fā)現(xiàn)并剔除數(shù)據(jù)中的粗差，而且可以區(qū)分出粗差所存在的具體位置。

1 Partial-EIV模型

EIV函數(shù)模型是處理觀測(cè)值與法方程中系數(shù)都存在誤差最為經(jīng)典的模型，具體公式：

y=(A-EA)x+ey

(1)

式中：y是觀測(cè)值向量；ey是y的誤差向量；A是系數(shù)矩陣；EA與x是系數(shù)誤差陣以及待求參數(shù)。

本方法是基于Partial-EIV模型進(jìn)行構(gòu)建的，所以需要引入Partial-EIV模型，該模型基礎(chǔ)方程是在公式(1)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分離拓展構(gòu)建的，具體見下式[8]：

(2)

方程中的觀測(cè)值與法方程系數(shù)所服從的誤差模型：

(3)

由于公式(2)為非線性公式，所以將該模型在已知值(α0,β0)處，進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并進(jìn)行化簡(jiǎn)整理得出[9]：

(4)

(5)

將上述公式進(jìn)行進(jìn)一步化簡(jiǎn)，推理導(dǎo)出：

(6)

該模型以公式(7)為條件進(jìn)行優(yōu)化：

(7)

(8)

(9)

(10)

2 基于Partial-EIV模型的數(shù)據(jù)探測(cè)法

如果函數(shù)模型中相關(guān)的變量存在粗差，該粗差造成的影響會(huì)在殘差中表現(xiàn)出來，所以通過驗(yàn)前和驗(yàn)后的單位權(quán)方差是否一致可以發(fā)現(xiàn)模型中的粗差。

所用的原假設(shè)與備選假設(shè)[11]：

(11)

利用公式(9)、(10)以及(11)構(gòu)建該方法的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量：

(12)

在標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況下，檢驗(yàn)量計(jì)算公式[13-15]：

(13)

在標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，檢驗(yàn)量計(jì)算公式為：

(14)

滿足條件|wj,N|≥|wi,N|，?i=1,K,m,and |wj,N|>Nα/2(0,1)(標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況)或者|tj|≥|ti|,?i=1,K,m,and |tj|>tn-t-1(標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況)，那么觀測(cè)值含有粗差。以上便是本文所構(gòu)建方法的推導(dǎo)過程。

3 算例分析

3.1 直線擬合算例

計(jì)算時(shí)，擬合方程為y=kx+b，存在粗差以及剔除粗差后的平差結(jié)果見表2。

表1 兩種方法發(fā)現(xiàn)粗差結(jié)果比較

表2 含有粗差和剔除粗差的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.2 平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算例

算例2中的數(shù)據(jù)為進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)，表3為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)的詳細(xì)信息，為了方便測(cè)試算法的計(jì)算效果，在起始坐標(biāo)系第四點(diǎn)橫坐標(biāo)us處加入0.1的粗差，且進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差都是0.01，結(jié)果見表4。

進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，所采用的模型為[14，19-21]：

[a1b1c1a2b2c2]

(15)

存在粗差以及剔除粗差后的平差結(jié)果見表5。

表3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的原始數(shù)據(jù)

表4 兩種方法發(fā)現(xiàn)粗差結(jié)果比較

表5 含有粗差和剔除粗差的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)之間是獨(dú)立對(duì)等的，并且數(shù)據(jù)中存在粗差，對(duì)計(jì)算示例的結(jié)果進(jìn)行分析對(duì)比后，得出以下結(jié)論：

1)本文所構(gòu)建的計(jì)算方法可以較好的確定觀測(cè)值中粗差的位置以及反映法方程系數(shù)中所存的粗差，并將其剔除，彌補(bǔ)了文獻(xiàn)[10]的方法中不能反映法方程系數(shù)粗差問題的缺陷。

2)當(dāng)剔除粗差以后，平差的計(jì)算結(jié)果得到明顯的改善，計(jì)算所需的迭代次數(shù)也明顯減少，進(jìn)一步也說明了本文方法的有效性與可實(shí)用性。

當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)存在多個(gè)粗差時(shí)，可采用循環(huán)迭代的計(jì)算方式進(jìn)行剔除，直到?jīng)]有統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量超限，對(duì)于粗差較小的情況以及觀測(cè)數(shù)據(jù)之間存在相互影響情況下的粗差剔除，下一步將繼續(xù)研究。