劉飛峰 劉鴻杰 繆穎杰 李 浩 胡 程

（1.北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院雷達(dá)技術(shù)研究所，北京 100081；2.衛(wèi)星導(dǎo)航電子信息技術(shù)教育部重點實驗室（北京理工大學(xué)），北京 100081）

1 引言

傳統(tǒng)應(yīng)用場景中，雷達(dá)與通信設(shè)備分別占用不同的硬件平臺與頻譜資源，這種分立式的設(shè)計會導(dǎo)致電子系統(tǒng)的體積、功耗以及成本增加，惡化了電磁環(huán)境，容易造成電磁頻譜擁擠與干擾等諸多問題。鑒于此，雷達(dá)通信一體化設(shè)計可以讓雷達(dá)與通信共享硬件平臺，系統(tǒng)綜合化、集成化、小型化程度更高，可更高效地利用頻譜資源，從而解決上述難題［1-2］。

正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）是一種多載頻調(diào)制的波形，憑借其高維度、高通信速率、強(qiáng)抗干擾能力等優(yōu)勢得到了廣泛的關(guān)注，被廣泛用于一體化波形設(shè)計中，Sturm 等人研究了OFDM 在車載雷達(dá)通信中的應(yīng)用，可實現(xiàn)平臺間通信，并通過傅里葉變換處理實現(xiàn)目標(biāo)測速測距［3］；Oziewicz 通過MUSIC 的方法實現(xiàn)了OFDM 信號多徑時延估計［4］。劉永軍等人采用子空間投影方法實現(xiàn)對目標(biāo)的距離與速度估計［5］，此方法性能優(yōu)于傳統(tǒng)傅里葉變換方法，但是其性能依然受噪聲影響大，難以保證低信噪比下的探測性能。

近些年來，壓縮感知技術(shù)被廣泛應(yīng)用在信號處理領(lǐng)域，Sen 等人利用稀疏恢復(fù)理論實現(xiàn)OFDM 信號對目標(biāo)距離和多普勒的估計，但運算量較大，且估計精度受限于網(wǎng)格估計［6］；為克服以上難題，一種稱為原子范數(shù)最小化（Atomic Norm Minimization，ANM）的無網(wǎng)格壓縮感知技術(shù)被提出，該方法將優(yōu)化問題凸優(yōu)化為一個半正定規(guī)劃（Semi-definite Pro?gramming，SDP）問題［7-8］，并構(gòu)建半正定Toeplitz 矩陣，通過對此矩陣的范德蒙分解得到恢復(fù)的信號以實現(xiàn)超分辨，可有效避免網(wǎng)格失配的問題。付衛(wèi)紅等人利用原子范數(shù)最小化的方法實現(xiàn)了多跳頻信號的時頻估計［9］，而OFDM 信號本身具有的多載頻特點，為基于原子范數(shù)時頻估計提供了可能。Zheng 等人基于OFDM 被動雷達(dá)系統(tǒng)，利用原子范數(shù)實現(xiàn)了目標(biāo)的時頻估計［10］，但是方法前提需要直達(dá)波進(jìn)行通信解碼，而解碼中產(chǎn)生的誤碼會惡化目標(biāo)時頻估計性能。鑒于此，本文利用OFDM 信號作為雷達(dá)通信一體化波形，其作為探測波形使用時，通信碼元是已知的，因此不會出現(xiàn)上述性能惡化現(xiàn)象，并在此基礎(chǔ)上引入核范數(shù)最小化（Nuclear Norm Minimization，NNM）、跡范數(shù)最小化（Trace Norm Minimization，TNM）等衍生優(yōu)化問題，實現(xiàn)了多目標(biāo)時頻二維聯(lián)合估計，并針對不同優(yōu)化問題進(jìn)行分析［11］。此外，為減輕二維聯(lián)合估計帶來的繁重的計算壓力，采用解耦原子范數(shù)最小化（Decoupled Atomic Norm Minimization，DANM）［12］將二維估計問題轉(zhuǎn)換為兩個一維估計問題，在維持原子范數(shù)優(yōu)良估計性能的基礎(chǔ)上極大的減小了運算量，為高通道數(shù)信號模型提供快速求解可能。除此之外，本文還提供了各類估計方法的多測量矢量（Multiple Mea?surement Vector，MMV）模型，可有效解決低信噪比下求解精度差、恢復(fù)成果率低的問題。

2 信號建模

雷達(dá)單脈沖發(fā)射的第m個符號的OFDM 信號復(fù)包絡(luò)表達(dá)式為：

其中am(n)為第m個符號、第n個子載波的幅度相位調(diào)制符號，其中T=Tcp+Tp表示信號時寬，Tp為OFDM 有效時長，Tcp為單OFDM 符號循環(huán)前綴長度，N為子載波數(shù)目，子載頻間隔Δf=1/Tp，帶寬B滿足：B=NΔf。

多符號OFDM信號復(fù)包絡(luò)可建模為：

其中M為符號個數(shù)。

發(fā)射信號經(jīng)過多目標(biāo)反射后的基帶回波信號可表示為：

其中，K表示目標(biāo)數(shù)量，第k條路徑上的時延和多普勒頻率分別表示為fk和τk。復(fù)數(shù)系數(shù)Ak用于表示其路徑衰減，ω(t)表示高斯白噪聲。

通常來說，OFDM 波形在無線通信使用中會加入循環(huán)前綴來消除多徑對符號間串?dāng)_的影響，OFDM 雷達(dá)通信一體化波形同樣可以利用循環(huán)前綴技術(shù)保證不同路徑的回波可在同一個符號內(nèi)，由于OFDM 子載波在頻域是正交的，且在不同符號間是時分的，同時發(fā)射的通信信息是已知的，那么接收機(jī)采樣得到回波信號經(jīng)過去循環(huán)前綴處理后的第m個符號可更簡潔的表示為：

對第m個塊中的接收信號進(jìn)行傅里葉變換，那么第n個子載波中的信號可以表示為：

考慮單快拍情況，上述公式可化簡為：

則接收信號可進(jìn)一步表示為如下導(dǎo)向矢量：

其中?表示克羅內(nèi)克積。

3 基于無網(wǎng)格的目標(biāo)多參數(shù)估計

3.1 基于矢量的無網(wǎng)格多參數(shù)估計

傳統(tǒng)的壓縮感知算法，其精度受限于網(wǎng)格精度，會出現(xiàn)字典失配等問題，對估計精度產(chǎn)生一定的影響。因此可以考慮使用無網(wǎng)格估計方法。

將信號模型構(gòu)建為如公式（7）所示的MN×1 維導(dǎo)向矢量的形式，定義原子集如下

此集合可以理解為是類似于壓縮感知中的字典，但其是無限精度的，z是該原子集中k個原子的線性組合。

sk為任意的復(fù)系數(shù)，C 表示復(fù)數(shù)集。當(dāng)對應(yīng)所用原子數(shù)最少即對應(yīng)最小l0原子范數(shù)時，此時求得的解‖z‖Α，0即為最優(yōu)解。但此問題為NP-hard問題，無法對其直接進(jìn)行求解，［13］證明向量z的l0范數(shù)最小化可等價為矩陣秩的最小化問題：

其中x是一個待優(yōu)化的變量。但此問題是非凸的，無法直接求解，因此可將l0原子范數(shù)進(jìn)行如下凸近似松弛，考慮目標(biāo)在時頻域的稀疏性，其原子范數(shù)可表示為：

信號向量及其子空間可以通過上述原子范數(shù)的最小化估計獲得：

將上述問題轉(zhuǎn)換為如下半正定問題，即可得到其原子范數(shù)最小化的表達(dá)形式［14］：

其中λ為正則化參數(shù)，用于平衡擬合誤差和原子范數(shù)項，S(T) ∈CMN×MN為待估計的Block Toeplitz 矩陣，其非零子空間編碼了目標(biāo)信息，可看作為由信號估計導(dǎo)向向量所構(gòu)成的協(xié)方差矩陣，其表達(dá)式為：

此外，針對不同的凸近似方法，其優(yōu)化問題可有不同的形式，矩陣秩的最緊凸松弛為核范數(shù)［15］，那么考慮多快拍情況下，公式（10）的凸優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)換為如下核范數(shù)最小化優(yōu)化問題，表達(dá)形式為：

核范數(shù)最小化優(yōu)化估計問題的多快拍表達(dá)形式為：

其同樣可理解為問題（10）的凸近似，多快拍表達(dá)形式為：

STNM(T) ∈CMN×MN為基于跡范數(shù)最小化凸優(yōu)化問題的待估計Block Toeplitz矩陣。

上述基于ANM、NNM、TNM 的三種估計問題均可由CVX 工具箱進(jìn)行求解，之后對估計得到的半正定矩陣S(T)進(jìn)行特征值分解S(T)=UΛUH后可得其相應(yīng)的估計協(xié)方差矩陣：

對估計協(xié)方差矩陣做特征值分解可得到其噪聲子空間En，之后使用如下二維譜估計即可得到信號的時頻估計結(jié)果。

其中?∈[0，1]，?∈[ -0.5，0.5 ]，之后對二維譜進(jìn)行峰值搜索，尋找K個最大峰值即可得到目標(biāo)時頻估計結(jié)果。

3.2 基于解耦原子范數(shù)最小化的多參數(shù)估計

由于上述二維估計方法基于矢量的克羅內(nèi)克積，當(dāng)通道數(shù)較大時，所估計S(u)的維度會大幅增加，其運算量會成倍增加，難以適應(yīng)高通道數(shù)場合，為解決此問題，引入解耦原子范數(shù)的概念，即將優(yōu)化問題的矢量形式克羅內(nèi)克積運算改為如下的形式：

此時zDANM∈CN×M可表示為兩個向量的互協(xié)方差矩陣。

那么解耦原子范數(shù)的最小化估計問題為：

此估計方法將二維估計問題解耦為兩個一維估計問題，其中Tb(ub)與Ta(ua)分別表示與b(?k)和a(?k)相關(guān)的Toeplitz 矩陣，分別由其第一行復(fù)向量ub與ua構(gòu)成。ua(0)與ub(0)分別表示Tb(ub)與Ta(ua)矩陣主對角線的第一個元素。分別對兩個矩陣做范德蒙分解即可得到時延、頻率估計結(jié)果。之后利用最大相干配對方法進(jìn)行時頻配對，得到時頻估計結(jié)果，即：

此方法將一個MN×MN的半正定矩陣優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為（M+N）×（M+N）的優(yōu)化問題，極大地減少了計算量。

3.3 計算量分析

本節(jié)針對上述ANM、NNM、TNM 以及DANM 四種估計模型進(jìn)行計算量分析。為保證求解精度，本文采用基于內(nèi)點法［16］的SDPT3 作為求解器進(jìn)行求解，其每次迭代的時間復(fù)雜度為O(U3)，迭代次數(shù)最多為，其中，U表示SDP 模型約束中的半正定矩陣的大小，ε表示恢復(fù)精度。因此，總的時間復(fù)雜度為O(U3.5log(1/ε))。對于ANM、NNM、TNM 等基于矢量化的無網(wǎng)格估計問題有U=MN，而DANM 將求解問題變成兩個低維Toeplitz 矩陣的估計問題，因而有U=M+N。在SDP 求解過程后，可對求解得到的Toeplitz 矩陣進(jìn)行范德蒙分解來檢索所有的頻率分量。而對于ANM、NNM、TNM 基于矢量化的無網(wǎng)格稀疏恢復(fù)方法，其需要進(jìn)行范德蒙分解的計算復(fù)雜度為O(M2N2L)，其中L表示Toeplitz矩陣的秩，而對于DANM 方法，其僅需做兩個低維的范德蒙分解即可完成問題求解，計算復(fù)雜度為O(N2+M2)。顯然可以看出，DANM 方法的運算復(fù)雜度是遠(yuǎn)小于ANM、NNM、TNM 等估計方法的。上述四種估計方法的SDP 求解與范德蒙分解復(fù)雜度之和詳見表1。

表1 復(fù)雜度分析Tab.1 Complexity Analysis

4 仿真結(jié)果與分析

為了驗證本文原子范數(shù)方法的有效性，本節(jié)開展典型系統(tǒng)的計算機(jī)仿真工作，對所建模型與所提估計方法進(jìn)行仿真驗證。仿真中所采用的系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

采用均方根誤差作為性能評價標(biāo)準(zhǔn)，目標(biāo)歸一化多普勒估計精度由下式計算：

目標(biāo)歸一化時延估計精度由下式計算：

其中K為目標(biāo)個數(shù)，MC 為蒙特卡洛次數(shù)?；谝陨舷到y(tǒng)參數(shù)開展建模與算法仿真，不同場景下的仿真結(jié)果如下。

4.1 無雜波場景仿真

假設(shè)場景中僅存在目標(biāo)，假定目標(biāo)的真實速度分別為：vreal=[ ]-90 m/s，60 m/s，72 m/s，真實距離分別為：dreal=[1.5 km，4.5 km，4.8 km]，目標(biāo)信噪比均為15 dB，其二維時頻仿真結(jié)果見圖1所示。

圖1 存在相鄰目標(biāo)二維時延多普勒估計結(jié)果Fig.1 Two-dimensional delay-frequency estimation results with adjacent targets

圖1 結(jié)果表明MUSIC 算法的譜估計性能相較其他方法差，二維估計譜存在旁瓣，且對于存在相鄰目標(biāo)的場景，其相鄰多目標(biāo)分辨能力較差；CS-L1范數(shù)為基于網(wǎng)格的估計算法，其估計結(jié)果存在少量偽峰，容易造成虛警現(xiàn)象，且其估計結(jié)果受限于網(wǎng)格精度，并不能實現(xiàn)高精度估計。而ANM、NNM、TNM 結(jié)果近似，除了目標(biāo)譜外無明顯噪底，且由于此類估計基于信號在時頻譜上的稀疏性，其天然具有相鄰多目標(biāo)分辨能力，雖然其分辨能力同樣受限于通道數(shù)目，但是性能仍是優(yōu)于傳統(tǒng)譜估計算法。DANM 是基于原子范數(shù)的改進(jìn)，其估計結(jié)果與其他三種無網(wǎng)格估計問題近似，但有著更小的計算量，意味著其可應(yīng)用在高通道數(shù)的場合。

4.2 存在雜波場景仿真

假定照射場景存在少量強(qiáng)反射靜止雜波，其距離設(shè)定為：[1.5 km，2.25 km，3.75 km，4.5 km，5.25 km，6 km，6.75 km ]，速度均為0 m/s，且雜噪比均設(shè)置為10 dB；目標(biāo)的速度與距離分別設(shè)置為：vreal=[ -90 m/s，60 m/s ]，dreal=[1.5 km，4.5 km]，信噪比均設(shè)置為10 dB，其二維時頻仿真結(jié)果如圖2所示。其中MUSIC 算法與CS-L1 算法估計結(jié)果與目標(biāo)真實時頻出現(xiàn)偏差，估計性能較差，但基于無網(wǎng)格稀疏恢復(fù)的各類估計算法可完美恢復(fù)出目標(biāo)與雜波的時頻譜，驗證了基于原子范數(shù)最小化的各類范數(shù)的多目標(biāo)時頻譜估計能力。

圖2 雜波場景二維時延多普勒估計結(jié)果Fig.2 Two-dimensional delay-frequency estimation results of clutter scene

4.3 多快拍處理仿真

上述兩節(jié)仿真結(jié)果說明了無網(wǎng)格稀疏恢復(fù)相較于傳統(tǒng)估計算法的性能優(yōu)勢。無網(wǎng)格稀疏恢復(fù)方法在信噪比較低的情況下，可通過增加快拍數(shù)提高估計性能。本小節(jié)假定目標(biāo)數(shù)量為3 個，其真實速度分別為：vreal=[ ]-90 m/s，-60 m/s，72 m/s，真實距離分別為：dreal=[1.5 km，4.5 km，4.8 km]，信噪比均為0 dB，圖3為ANM、NNM、TNM 以及DANM 估計的仿真結(jié)果，其結(jié)果表明了低信噪比下噪聲對基于原子范數(shù)等估計方法的估計結(jié)果影響較大，使得目標(biāo)點估計結(jié)果與真實值存在偏差，時頻估計精度惡化。

圖3 0 dB信噪比下的時延多普勒估計結(jié)果（單快拍）Fig.3 Delay-Doppler estimation results under 0 dB SNR（SMV）

為降低噪聲對時頻估計性能的影響，采用多快拍（MMV）提高ANM、TNM、NMM、DANM 估計的估計性能，圖4 與圖5 為L分別取值為3、30 時的估計結(jié)果。隨著L的增大，估計性能在逐漸提高，目標(biāo)時頻估計更接近真實值。L取值30 時，根據(jù)圖5所示，算法估計的結(jié)果與真實值幾乎一致，驗證了多快拍的降噪特性。因此，在低信噪比情況下，可通過多快拍處理實現(xiàn)以上方法的高精度目標(biāo)時延多普勒估計。

圖4 0 dB信噪比下的二維時延多普勒估計結(jié)果（多快拍，L=3）Fig.4 Delay-Doppler estimation results under 0 dB SNR（MMV，L=3）

圖5 0 dB信噪比下的時延多普勒估計結(jié)果（多快拍，L=30）Fig.5 Delay-Doppler estimation results under 0 dB SNR（MMV，L=30）

4.4 性能仿真

本節(jié)采用蒙特卡洛對不同信噪比條件下各估計方法的時頻估計性能進(jìn)行仿真，使用均方根誤差（RMSE）作為算法性能評價標(biāo)準(zhǔn)，橫軸為信噪比，取值為-5 dB～25 dB，以5 dB 為間隔，蒙特卡洛次數(shù)為100次，且本次仿真場景僅考慮目標(biāo)場景，兩目標(biāo)的真實速度為：vreal=[ -90 m/s，60 m/s ]，真實距離為：dreal=[1.5 km，4.5 km]，其他仿真參數(shù)見表2。圖6與圖7 分別表示歸一化時延估計RMSE 與歸一化頻率估計RMSE隨信噪比變化的曲線。

圖6 不同估計方法歸一化時延估計RMSE仿真實驗結(jié)果Fig.6 RMSE simulation results of normalized delay estimation with different methods

圖7 不同估計方法歸一化多普勒估計RMSE仿真實驗結(jié)果Fig.7 RMSE simulation results of normalized Doppler estimation with different methods

仿真結(jié)果表明，ANM、NNM、TNM、DANM 基于無網(wǎng)格的估計方法有著更高的估計精度，證明該類算法有著更好的降噪性能，算法的估計性能也是相近的，估計結(jié)果的RMSE 隨信噪比的增加呈現(xiàn)下降趨勢。但是DANM 的運算量更小，意味著更少的運行時間。圖6 與圖7 為基于單快拍進(jìn)行的仿真實驗，圖8 與圖9 分別為不同快拍數(shù)下ANM、NNM、TNM、DANM 四種估計方法在不同信噪比下的時頻估計精度結(jié)果，仿真結(jié)果表明快拍數(shù)取值為L=30時四類方法的估計精度明顯優(yōu)于單快拍下的估計精度結(jié)果，且對于信噪比取值為-5 dB 的情況，其估計性能改善尤為明顯，實際應(yīng)用中可適當(dāng)增加快拍數(shù)以提高估計精度。

圖8 不同快拍數(shù)下歸一化時延估計RMSE仿真實驗結(jié)果Fig.8 Simulation results of normalized delay estimation RMSE under different snapshot numbers

圖9 不同快拍數(shù)下歸一化多普勒估計RMSE仿真實驗結(jié)果Fig.9 Simulation results of normalized Doppler estimation RMSE under different snapshot numbers

5 結(jié)論

本文利用OFDM一體化信號多符號多子載波的特性，提出一種可用于一體化波形的高精度二維時頻估計算法。針對不同的凸近似方法，提供了ANM、NNM、TNM 等基于矢量的無網(wǎng)格壓縮感知估計問題模型，并采用解耦原子范數(shù)的方法以解決其運算量較大的問題。仿真結(jié)果表明，DANM可在保留原子范數(shù)高精度估計性能與魯棒性的同時，將計算負(fù)荷減少幾個數(shù)量級，其應(yīng)用場景可以擴(kuò)展到高維譜估計問題。未來的工作會對數(shù)據(jù)壓縮情況下進(jìn)行性能分析。