山東省臨沂第四中學 (276000) 李秀萍 梁乾培

含有ex函數(shù)的綜合試題在高考中出現(xiàn)的頻率高，解法靈活，思維含量高，能夠很好的區(qū)分考生的理性思維品質(zhì)，而理性思維又是數(shù)學核心素養(yǎng)的靈魂.甄別不同層次考生的數(shù)學素養(yǎng)，依托關鍵知識和核心概念命題，體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，是高考命題的追求.中學數(shù)學教學就要通過教學落實核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的思維能力和水平，掌握數(shù)學知識是發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的前提，掌握數(shù)學就意味著解題.本文從四個角度對解含有ex函數(shù)綜合題為例，進行嘗試.

1.對ex放縮

例1 (2020年全國Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(Ⅰ)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；

①當x=0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意.

2.給ex找“朋友”

例2 (2018年全國卷Ⅰ文科第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(Ⅰ)設x=2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

方法點睛：通過改變函數(shù)的結構，構造新函數(shù)，將參數(shù)a分離，把ex與其它函數(shù)結合在一起，求導后，導數(shù)仍然是ex與一個多項式乘積的形式，這樣導數(shù)的符號取決于多項式的符號，故只需要研究其他函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)性，從而，確定函數(shù)的最值(極值)，將復雜的問題簡單化.

例3 已知函數(shù)f(x) =aex+ sinx+x,x∈[0,π].當-2

方法點睛：通過給ex找朋友，把ex與三角函數(shù)結合，求導后，ex對于導數(shù)符號沒有影響，只需要考慮不含ex的三角函數(shù)的符號就可以確定函數(shù)的單調(diào)性，否則，ex與三角函數(shù)混在一起，要多次求導，并且要考慮隱零點的方法，麻煩的多.

3.對ex構造同構式

同構式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式.如果不等式的兩側呈現(xiàn)同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數(shù)，進而與函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系，使得問題得到解決.

(Ⅰ)判斷f(x)在(0,+∞)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若x>0,證明:(ex-1)ln(x+1)>x2.

解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù).(過程略)

例5 (2020年全國卷(山東)第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(Ⅰ)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(Ⅱ)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

方法點睛：函數(shù)f(x)中含有l(wèi)na，為了湊出同構式，可將aex-1轉(zhuǎn)化為elna+x-1，即函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)=elna+x-1-lnx+lna，而要進行同構，往往f(x)有偶數(shù)項，因此，按照elna+x-1進行添項和移項，故f(x)>1等價于elna+x-1-lnx+lna>1?elna+x-1+(lna+x-1)>lnx+x.從而，構造函數(shù)g(x)=ex+x，利用函數(shù)的單調(diào)性處理.

4.把ex換元，將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)

由于指數(shù)運算和對數(shù)運算是互逆運算，所以可以通過換元，進行指對互化.其目的是將分散的條件聯(lián)系起來，或把隱含的條件顯示出來，或把條件結論聯(lián)系起來，或化為熟悉的問題.在導數(shù)的綜合題中，往往通過指對互化來實現(xiàn)函數(shù)結構的變換.

例6 (2017年全國Ⅰ卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

方法點睛：借助換元，將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)，從而改變問題的結構，把原來解析式中含有e2x,ex的表達式轉(zhuǎn)化為二次和一次的代數(shù)式，對數(shù)的次數(shù)為一次，求導之后，導數(shù)的分子是一個“類二次函數(shù)”，導數(shù)符號的確定，函數(shù)單調(diào)性的研究，我們輕車熟路，大大降低解題的難度.

通過上面的幾個例題，我們可以感受到在解決含有ex函數(shù)綜合題時，要抓住函數(shù)的本質(zhì)，考慮切線放縮(泰勒展式放縮)；改變函數(shù)的表述形式，將ex與其它的多項式函數(shù)結合，或構造同構式；或?qū)⒅笖?shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)，化生為熟，化繁為簡.含有ex函數(shù)綜合題解題的思路廣、方法靈活、思維含量高，但是，我們要遵循邏輯規(guī)律、尋求通性通法，突出變換函數(shù)，落實、體會轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應用，對于形成優(yōu)良思維品質(zhì)、開闊解題視野有重要意義.