安徽省淮北市第七中學(xué) (235099) 王 凱

1.真題呈現(xiàn)

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

這里2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科第12題，此題以兩個(gè)抽象函數(shù)之間的關(guān)系式以及其中一個(gè)抽象函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)創(chuàng)設(shè)情境，求解另一個(gè)抽象函數(shù)中連續(xù)正整數(shù)所對(duì)應(yīng)的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之和.對(duì)于此類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題，可以利用函數(shù)的基本性質(zhì)(包括奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性與周期性等)來(lái)分析與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建關(guān)系，尋找規(guī)律，借助函數(shù)值的分析與求解來(lái)處理，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求.

2.真題破解

評(píng)析：以上解法主要是根據(jù)抽象函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及給定的關(guān)系式，通過(guò)代換處理與賦值處理，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與周期性的定義來(lái)判斷抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，并結(jié)合遞推關(guān)系式確定一個(gè)周期內(nèi)的對(duì)應(yīng)函數(shù)值，進(jìn)而綜合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)分析與求解.實(shí)際上，定義法是解決抽象函數(shù)問(wèn)題中最常用的技巧方法，求解關(guān)鍵在于應(yīng)抓住函數(shù)的基本性質(zhì)(奇偶性、周期性等)加以邏輯推理，結(jié)合相關(guān)定義加以分析與判斷性質(zhì)類(lèi)型，這為進(jìn)一步的求值與應(yīng)用提供條件.

評(píng)析：以上解法主要是根據(jù)抽象函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及給定的關(guān)系式，確定函數(shù)的奇偶性，并在此基礎(chǔ)上合理構(gòu)建特殊的滿足條件的三角函數(shù)，借助特殊函數(shù)求值來(lái)分析與解決.實(shí)際上，抽象函數(shù)的難點(diǎn)就在于“抽象”二字，如果能化抽象為具體，那么問(wèn)題就能迎刃而解.而在基本初等函數(shù)中，相應(yīng)圖象既有對(duì)稱軸，又有對(duì)稱中心的是三角函數(shù).巧妙合理構(gòu)造出滿足條件的特殊函數(shù)是角法中的關(guān)鍵.

3.鏈接高考

近年高考試卷中都有此類(lèi)抽象函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，形式各樣，變化多端.但是都能找到抽象函數(shù)的“影子”.

A.-3 B.-2 C.0 D.1

例2 已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(2)=4，則f(2023)=( ).

A.-1 B.-2 C.-3 D.1

解析：易得函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(2023)=f(505×3+3)=f(3)=-1，故選A.

A.-2022 B.-2023 C.-2024 D.-2025

4.教學(xué)啟示

(1)重視函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象能更好的理解函數(shù)的變化，函數(shù)的對(duì)稱性最突出的作用是“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對(duì)稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì)主要體現(xiàn)在以下方面：可利用對(duì)稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值；在作圖時(shí)可作出函數(shù)的一側(cè)圖象，再利用對(duì)稱性得到另一側(cè)的圖象；極值點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸(或?qū)ΨQ中心)對(duì)稱；在軸對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同；等等.

(2)用好函數(shù)的對(duì)稱性

一般地，涉及函數(shù)圖象的對(duì)稱性問(wèn)題都與以下兩種等價(jià)性質(zhì)相關(guān)：

(3)巧用函數(shù)的周期性