南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047) 陳 松

平面向量中的最值問題，是一個熱點問題，也是一個難點問題.其題型一般是根據(jù)所給的條件求某個量的最值，如向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)等，解法靈活多樣，變化多端，蘊含著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.本文以2022年天津市三模的一道平面向量最值題為例，探究該題在不同視角下的解法及其題源.

(2)向量兼具代數(shù)和幾何雙重特征，向量最值問題的解題方法較多，綜合性強，由題意，本小題可從以下視角確解.

視角1坐標(biāo)化

解法一：利用三角函數(shù)有界性求出最大值.

圖1

評注：注意到點M的為位置會根據(jù)點P的位置發(fā)生變化，可以通過考慮點P的軌跡方程尋找點M的軌跡，從而借助軌跡方程將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)(或不等式)問題.

評注：利用相關(guān)點法找出點M的軌跡方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為一次(或二次)函數(shù)最值問題，這也是平面向量最值問題中常用解法.

視角2從幾何性質(zhì)出發(fā)

評注：本解法的關(guān)鍵在于找到點M的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為曲線上的動點和曲線外一點的距離問題，所以將目標(biāo)轉(zhuǎn)移到尋找動點M的軌跡，問題.

視角3從基底和定義出發(fā)

圖2

評注：本解法的關(guān)鍵是選擇合適的基向量，簡化目標(biāo)向量的運算，達(dá)到化繁為簡，并運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，如定義法、二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等達(dá)到求解問題.

平面向量最值問題綜合性強、靈活性大，我們從不同的視角尋找解題思路，往往可以得到不同的解決方案，恰是“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.萬事萬物總有源，開啟尋源之旅，更有利于學(xué)生知識的串聯(lián)，加深對知識本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生解題和探究能力.