湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (410081) 嚴 瑾 夏世嬌 吳仁芳

數(shù)學(xué)模式是指形式化的采用數(shù)學(xué)語言，概括的或近似的表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，各種基本概念、理論體系、定理、法則、公式、算法、命題、方法都是數(shù)學(xué)模式.一題多解是教學(xué)中最常見的實施過程性變式的一種途徑，是以原題為中心，向它蘊涵的各個維度進行拓展和深化，揭示數(shù)學(xué)概念及定義的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性.通過這種教學(xué)方式，一方面可以將解題的過程層次化，加深學(xué)生對該問題理解與認識，從而減輕了解題過程中思維的負擔，開拓了學(xué)生解題的思路，激發(fā)了學(xué)生解題的興趣，從而形成多層次的思維結(jié)構(gòu)；另一方面，也可以提升學(xué)生的發(fā)散性思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維，使得學(xué)生善于全面地觀察問題，運用多方面的知識經(jīng)驗與聯(lián)系去尋求解題的方法，使解題涉及的知識和方法更趨于豐富與嫻熟，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力.

模式1：構(gòu)造放縮模式，列項相消求證

模式2：構(gòu)造定積分模式，利用面積求證

數(shù)列是離散的，而定積分是連續(xù)的，而數(shù)列求和這樣一個樸素的題型，通過微分近似的橋梁，巧妙地可以和積分連系起來，微分的概念將分割的數(shù)列求和升華成連續(xù)情形下的定積分，在高中必修教材里，有定積分與數(shù)列求和的聯(lián)系.

例1的兩種思路，圍繞著兩種不同的數(shù)學(xué)模式展開，都具有很強的代表性，第一種代表了不等式常用的放縮技巧，需要求證者對基本概念及方法等模式具有很好的理解，才會產(chǎn)生合適的表征方式；第二種方法也與高中生的知識結(jié)構(gòu)相通，定積分概念等模式是否理解深刻，但學(xué)生在解題過程中使用比較少，對于高中生是一種比較新穎和難以直接想到的方法.

A.1 B.2 C.3 D.前三個答案都不對

模式3：構(gòu)造函數(shù)模式，消除變量求解

將兩式相加可消除變量xi，即f(0)+f(4)=8064-4032a，當a=2時，有f(0)+f(4)=0，并且由函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[0,4]上的連續(xù)性，可知f(x)在[0,4]上至少有一個零點，本方法中構(gòu)造函數(shù)模式，就是使用函數(shù)的方法研究和解決函數(shù)的問題以及構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式來研究和解決非函數(shù)問題，解方程的過程就是求函數(shù)的零點的過程，利用模式識別的方法，考查了學(xué)生構(gòu)造性思維的能力.

模式4：構(gòu)造分離參數(shù)等價識別模式，轉(zhuǎn)換條件求解

用分離參數(shù)法解決方程恒有解的問題是指在含有參數(shù)的方程中，通過適當?shù)暮愕茸冃?使方程的一端化成只含參數(shù)的解析式，而另一端為與參數(shù)無關(guān)的未知數(shù)的函數(shù),再求出此函數(shù)的值城，即得參數(shù)滿足的條件，從而可求出參數(shù)的取值范圍，其解決問題比較簡單和易操作的原因在于通過分離參數(shù)實現(xiàn)了研究動直線與固定的曲線之間的位置關(guān)系問題，在幾何直觀上更容易理解.

首先固定x1,x2,…，x2016，得到一個關(guān)于x的函數(shù)，不妨令x1≤x2≤x3≤…≤x2016.在處理絕對值求和函數(shù)的最值時候，我們需要對分段點個數(shù)的奇偶性做討論.

(2)當n=2k，且k∈N時， 區(qū)間 [ak,ak+1] 里的每一項都是f(x)的最小值的項，特別的如果ak是整數(shù)，整數(shù)解只有兩項.

轉(zhuǎn)化識別模式是解題者遇到不能直接解決的問題時候，不能辨認它屬于哪個基本模式，但將條件或結(jié)論做出變形、或深層理解后就屬于基本模式了，從而可以解決更加靈活的問題.

模式5：構(gòu)造絕對值不等式模式，疊項相加求解

模式6：構(gòu)造邏輯關(guān)系模式，條件互推求解

常用邏輯用語的內(nèi)容是進入高中階段后首先學(xué)習(xí)的預(yù)備知識，學(xué)生往往對其印象深刻，可以將之稱為“存于記憶的數(shù)學(xué)模式”，是在解題當中積累的基本經(jīng)驗被自己總結(jié)內(nèi)化以后所形成的圖式.

例2的四種方法，圍繞著四種不同的數(shù)學(xué)模式展開，具有豐富的模式特征和代表意義.

第一種方法以高中常見的函數(shù)模式為基礎(chǔ)，討論了函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，這一方法步驟為高中生所熟悉，結(jié)合高中生已有的知識結(jié)構(gòu)背景，這種方法是最易習(xí)得的；第二種代表了等價模式的轉(zhuǎn)換，在尋找與題意相符合的等價模式的過程中，要求解題者思考縝密，對相關(guān)概念和內(nèi)涵理解透徹，對其邏輯思維能力具有很高的鍛煉價值；第三種方法代表了不等式常用的定理和疊加技巧，需要解答者對相關(guān)基本定理和方法等模式理解深刻，掌握熟練，才得以在習(xí)題中靈活應(yīng)用，第四種方法運用了關(guān)系模式中的充要條件，反映了命題間相互推導(dǎo)的邏輯關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生運用多方面的知識經(jīng)驗與聯(lián)系去尋求解題方法.

由此可見，基于試題本身特征的模式識別結(jié)構(gòu)可用于一題多解的研究，促使學(xué)生在解題的過程中夯實基礎(chǔ)，關(guān)注基本模式，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，形成多層次的思維結(jié)構(gòu)從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，在幾種典型解法獲取之后,可把更寶貴的時間用到多解歸一，尋找經(jīng)典模式之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且能對模式進行變式改編或者拓展研究，針對不同層次的同學(xué)進行針對性教學(xué).