重慶市第八中學(xué)校 (401120) 毛 閏 謝 強(qiáng) 胡 藝

一、引言

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是一個教學(xué)難點(diǎn)，其內(nèi)容廣泛，考查形式豐富，具有較強(qiáng)的綜合性.導(dǎo)數(shù)作為兼具代數(shù)運(yùn)算和幾何意義的一個重要概念，是研究函數(shù)性質(zhì)和解決有關(guān)函數(shù)問題的有力工具，所以函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的結(jié)合能夠很好地考察學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、綜合性等特點(diǎn)，同時它也是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決不等式含參恒成立問題是高考的一個常考點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)章節(jié)時必須掌握的題型之一.本文對2010年高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)理科21題第(2)問的多解進(jìn)行探討，踐行此類題求解“有法可循、有法可依、有法可試”的理念，由此提升學(xué)生解決此類問題的信心和眼界，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、問題求解研究

題目(2010年高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)理科21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：(1)當(dāng)a=0時，f(x)=ex-1-x，f′(x)=ex-1.當(dāng)x∈(-∞,0)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0,+∞)時，f′(x)>0.故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)，單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞).現(xiàn)著重探討與研究第二問的解法與思路，開拓學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

(一)直接處理，分類討論

第(2)問是一個不等式含參的恒成立問題，并且由于求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)依然是超越函數(shù)，不容易判斷零點(diǎn)，需考慮再對導(dǎo)數(shù)求導(dǎo).因此，不確定性以及要想到求二階導(dǎo)是本題的難點(diǎn).所以需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，將不確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題來解決.

評注：本解法思路相對簡單，主要是想求出f(x)的最小值，為此需要判斷單調(diào)性，自然而然就想到了求導(dǎo)，但求導(dǎo)后依然判斷不了導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，由于二階導(dǎo)是可以研究一階導(dǎo)的性質(zhì)，所以筆者嘗試著求二階導(dǎo)，然后通過分類討論解決此問題.但解法一的不足之處在于通過多次求導(dǎo)才解決此問題，能否只求一階導(dǎo)就可解決此問題？

評注：為了減少求導(dǎo)次數(shù)，解法中想到對函數(shù)y=φ(x)ex+n(其中n為常數(shù))求導(dǎo)后正負(fù)性與ex無關(guān)，故對f(x)≥0進(jìn)行變形.雖然本解法只求一階導(dǎo)就可以把問題解決，但不足之處在于討論的情況變得復(fù)雜了.

(二)緊扣“上文”，巧妙放縮

很多學(xué)生在處理問題時，不會“瞻前顧后”，聯(lián)系上下文.實(shí)際上，本題的第一問有命題者的意圖，這也間接考察到邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).f′(x)=ex-1-2ax不好處理的原因在于ex-1-2ax=0是超越方程，不易求解，但通過第一問易知ex-1≥x，由此想借助這個不等式進(jìn)行放縮處理.

評注：放縮法是高中數(shù)學(xué)證明不等式的一種非常重要的方法，適當(dāng)放縮可以簡化問題.本解法通過借助第一問巧妙放縮后，明顯比前兩種解法簡化了許多，不僅只需求一次導(dǎo)即可解決問題，而且減少了討論情況.

(三)分參處理，避免討論

處理含參恒成立問題一般兩種辦法，一是直接法，另一個就是分離參數(shù).但是分參也需要注意，一是要證明的式子能否分參？二是分參處理真的會使問題簡化嗎？只有通過實(shí)踐，大膽的嘗試、小心的求證后才能下結(jié)論.

評注：雖然通過分參避免了討論，但有幾個難點(diǎn)，一是最后g(x)在x=0處無意義，需通過極限來求其下界，且用到了洛必達(dá)法則；二是求導(dǎo)后依然不好判斷g′(x)的符號，以至于還需進(jìn)一步處理，解法中想到g′(x)正負(fù)性只和g′(x)的分子有關(guān)，此時要么對g′(x)的分子求導(dǎo)，但求導(dǎo)之后的超越函數(shù)依然不好判斷正負(fù)，還需再求導(dǎo)，這也是此法的一個難點(diǎn).

(四)數(shù)形結(jié)合，妙用相切

數(shù)形結(jié)合可以讓我們很直觀的感知函數(shù)的變化趨勢，直觀的理解抽象的數(shù)學(xué)問題.因此，在解決不等式恒成立求參數(shù)范圍問題時，可以將不等式拆成兩個容易做出圖像的函數(shù)，通過函數(shù)圖象確定兩式大小關(guān)系，或借助ex-1≥x，x-1≥lnx等常見不等式，通過函數(shù)圖像的切線進(jìn)行放縮，放縮時要關(guān)注函數(shù)圖象在某處的切線，大膽猜想，小心求證.

圖1

評注：本解法雖然能通過適當(dāng)變形后，轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)，同時關(guān)注切線位置，快速解決問題.但此法有幾點(diǎn)不足之處：一是圖形只能直觀感知，但并不嚴(yán)謹(jǐn)，所以只適用于解決小題以及對大題起到輔助作用；二是雖然拆分的兩個函數(shù)圖象容易畫，但是由于兩個函數(shù)圖象均為曲線，并不能很好的解釋說明和直觀感知.

圖2

評注：此法與解法五對比，明顯可以通過函數(shù)圖象更加直觀感受到a的取值范圍變化時兩函數(shù)之間的大小關(guān)系.

(五)大學(xué)視覺，拓展思路

對于此題，我們還可以從微元角度來探討，給出以下解法.

評注：“站得高，看得遠(yuǎn)”，我們應(yīng)該站在一個更高的角度來看待問題，這樣既可以拓展思路，發(fā)散思維，提升素養(yǎng)，同時又能看清事物的本質(zhì).數(shù)學(xué)知識不只局限于中學(xué)知識，也不只局限于大學(xué)知識，還有很多未知的數(shù)學(xué)知識和方法，都值得我們?nèi)ヌ綄?

三、反思總結(jié)

在抽象的意義下，一切科學(xué)都會是數(shù)學(xué)的應(yīng)用；數(shù)學(xué)這樣美妙的學(xué)科，揭示無形的靈魂，賦予真理以生命，為思想增添光輝.數(shù)學(xué)的重要性不言而喻，解題又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)環(huán)節(jié)的重要環(huán)節(jié)，羅增儒教授對數(shù)學(xué)解題水平做了劃分，其中第4水平為：能自覺通過解題分析增強(qiáng)數(shù)學(xué)理解、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).進(jìn)行自覺的解題反思，通過分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學(xué)會解題”.數(shù)學(xué)問題的迅速識別，解題思路的主動設(shè)計(jì)，知識資源的理性配置，解題方法的靈活運(yùn)用，解題策略的適宜調(diào)控，解題過程的自覺反思，努力通過解題獲得數(shù)學(xué)的理解，使認(rèn)識進(jìn)入深層結(jié)構(gòu).能從數(shù)學(xué)操作和正確答案中看到數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，能從數(shù)學(xué)思想和思維策略中提煉數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).對于一題多解的探尋與研究，正是朝著這“第4水平”的方向前行.