江蘇省常州市第二中學(xué) (213003) 王 強

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)分支科學(xué)，既是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是高中數(shù)學(xué)課程的主干內(nèi)容.平面解析幾何綜合題是每年高考的必考題型，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一，其研究方法是通過建立幾何圖形的代數(shù)方程(或不等式)，實施代數(shù)運算，并由代數(shù)運算的結(jié)果得到幾何圖形的性質(zhì).文[1]指出圓錐曲線中“會而不對，對而不全，全而不優(yōu)”的現(xiàn)象普遍存在，究其原因是學(xué)生害怕其“運算”，具體表現(xiàn)為對運算對象的理解、運算法則的掌握、運算思路的探究、運算程序的設(shè)計和運算路徑的選擇上存在不足.如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，我們在平時教學(xué)中不能只提供最簡便的“標準答案”，而應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的思維，從學(xué)生的解法出發(fā)，尋求解決問題的突破口，增強學(xué)生的解題自信心，從而提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).本文以一道高三?？碱}為例對此進行探究.

1.問題由來

此題以考查橢圓中的定值問題為載體，其背景熟悉、表達精煉，做為?？季碜詈笠坏缐狠S題，能較好地甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).此題提供的標準答案如下：

除了標準答案的求解思路之外，學(xué)生普遍還有一種解法如下：

因為式①中“-(2k+3)x1+(1-6k)x2”是個不對稱結(jié)構(gòu)，學(xué)生遇到此類問題方法設(shè)阻，那么該如何解決這種結(jié)構(gòu)？又可以怎樣避開這種結(jié)構(gòu)？本文就解法2的后續(xù)過程與學(xué)生共同探究，將其整理成文字，與讀者共享.

2.問題探究

綜上，直線EF的方程為y=x+1.

師：我們首先為生2大膽質(zhì)疑的精神鼓掌.生1利用消元，將x2轉(zhuǎn)化成x1，得到關(guān)于x1和的k的方程，通過生2的補充圓滿解決了這道題.消元是處理多元問題的基本思維方法，大家還有沒有其它想法呢？

師：生3不畏“運算”困難的品質(zhì)值得我們學(xué)習(xí)，同時發(fā)現(xiàn)減元是處理問題的關(guān)鍵.還有其他不同的算法嗎？

3.問題追因

師：我們發(fā)現(xiàn)類似“-(2k+3)x1+(1-6k)x2”這種不對稱結(jié)構(gòu)，直接用求根公式將x1和x2都轉(zhuǎn)化為k也是一個可行的途徑，是什么原因?qū)е虏粚ΨQ結(jié)構(gòu)出現(xiàn)?觀察圖形，你們有沒有新的想法?

師：出現(xiàn)不對稱結(jié)構(gòu)主要是用橢圓左右兩個頂點造成的.為了解決此類問題應(yīng)結(jié)合橢圓的性質(zhì)，用同一個點表示相關(guān)直線的斜率，自然恰好出現(xiàn)“x1+x2”和“x1x2”恰好配對的情況，直接用韋達定理代入即可，生4給了我們很好的示范.大家還有其它想法嗎？

4.結(jié)語

《普通高中課程標準(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).解析幾何是運用代數(shù)運算解決幾何問題，涉及到“形”與“數(shù)”的合理轉(zhuǎn)化，“數(shù)”與“式”的靈活整合，能較好的甄別學(xué)生解決問題的能力.在平時的教學(xué)中，我們不僅應(yīng)關(guān)注標準答案的解法，更應(yīng)多關(guān)注學(xué)生的思維解答.順應(yīng)學(xué)生的思維，就是從學(xué)生的視角發(fā)現(xiàn)和提出問題，用學(xué)生的思維分析和解決問題，創(chuàng)設(shè)學(xué)生交流的空間表達和交流問題，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).