江蘇省宿遷中學 (223800) 孫彩紅

數(shù)學建模作為數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)之一，是指在具體創(chuàng)新與應用情境中，合理分析并理解應用問題，借助數(shù)學視角的切入來分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進而結(jié)合實際問題，合理并吻合地構(gòu)建相應的數(shù)學模型，結(jié)合實際應用問題進行對應的數(shù)學推理與運算，進而實現(xiàn)解決實際應用問題的目的.特別，在一些創(chuàng)新應用場景中，根據(jù)實際情境與創(chuàng)新應用，與已知數(shù)學模型加以聯(lián)系，合理構(gòu)建對應的數(shù)學模型來分析與求解問題，是數(shù)學建模中的一種基本素質(zhì).

1.簡單函數(shù)模型

簡單函數(shù)模型主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等一些最簡單的基本初等函數(shù)類型，借助這些簡單函數(shù)模型來處理一些簡單的應用問題，效果直接明了，也是數(shù)學建模當中的“主力軍”.

A.40% B.50% C.60% D.70%

點評：解決簡單函數(shù)模型的數(shù)學應用問題，關(guān)鍵是理清題目中的創(chuàng)新情境及其內(nèi)涵，構(gòu)建簡單函數(shù)模型，并合理構(gòu)建與創(chuàng)新定義、創(chuàng)新情境以及創(chuàng)新應用等相關(guān)的方程、不等式等，進行分析與求解處理.

2.指數(shù)(對數(shù))函數(shù)模型

指數(shù)(對數(shù))函數(shù)模型主要包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型，是實際應用問題中比較常見的兩類特殊函數(shù)模型，變量之間存在幾何級數(shù)的關(guān)系，在一些醫(yī)藥衛(wèi)生、信息技術(shù)等應用方面有其獨特的應用.

例2 (2021年北京延慶區(qū)一模試題)對酒駕的規(guī)定如下：駕駛員的100ml血液中酒精含量為[0，20)mg時，不構(gòu)成飲酒駕車行為(不違法)；達到[20，80)mg的即為酒后駕車；80mg及以上為醉酒駕車.若某駕駛員喝酒后其血液中的酒精含量達到了1.6mg/ml，則在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小時大約減少20%，要想不構(gòu)成酒駕違法行為，那么他至少經(jīng)過( ).(參考數(shù)據(jù)：0.84=0.41，0.86=0.26，0.88=0.17，0.810=0.11)

A.4小時 B.6小時 C.8小時 D.10小時

分析：利用題中的條件，根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型，列出血液中酒精含量與酒后時間的關(guān)系式，根據(jù)不構(gòu)成飲酒駕車行為(不違法)構(gòu)建不等式，通過指數(shù)不等式的轉(zhuǎn)化，并利用參考數(shù)據(jù)加以分析與判斷.

解析：設酒后經(jīng)過x小時后就不構(gòu)成酒駕，依題意可得160×(1-20%)x<20，則有0.8x<0.125，結(jié)合參考數(shù)據(jù)0.88=0.17，0.810=0.11，可知x≥10，所以他至少經(jīng)過10小時，故選D.

點評：解決涉及指數(shù)(對數(shù))函數(shù)模型的創(chuàng)新應用問題時，關(guān)鍵是利用題目條件構(gòu)建指數(shù)型(或?qū)?shù)型)函數(shù)模型，利用已知信息建立對應的方程、不等式等加以分析與求解，并利用應用問題的實際加以合理分析、判斷與決策等.

3.三角函數(shù)模型

三角函數(shù)模型是生活應用中具有一定周期規(guī)律的一類數(shù)學建模類型，此類函數(shù)模型具有一定的起伏性與周期性，是現(xiàn)實生活場景中很多問題所具有的一種獨特的基本性質(zhì)，具有較好的數(shù)學模型構(gòu)建與實際應用價值.

分析：根據(jù)題目中已知的三角函數(shù)模型，利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并結(jié)合三角函數(shù)的圖象的最高點與最低點，確定參數(shù)A、B的值以及周期，進而確定參數(shù)ω的值，通過特殊值求解的φ值，得到三角函數(shù)y=f(x)的解析式，進而加以三角函數(shù)求值與判斷即可.

圖1

點評：在實際應用中，涉及一些呈周期呈現(xiàn)的函數(shù)問題時，經(jīng)常利用三角函數(shù)模型來解決，通過三角函數(shù)的相關(guān)知識來解決已知三角函數(shù)模型求解對應的數(shù)學問題；把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成相應的三角函數(shù)問題，進而利用三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)等相關(guān)知識來分析與解決問題.

4.圓錐曲線模型

圓錐曲線模型包括橢圓、雙曲線以及拋物線模型，是在航空航天、現(xiàn)實應用等眾多場景中具有特殊幾何性質(zhì)的一類數(shù)學模型，借助特殊的幾何性質(zhì)以及光學性質(zhì)來合理構(gòu)建對應的數(shù)學模型，進而解決相關(guān)的應用.

例4 (2021年河南開封市高三(上)第一次模擬試題)某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖2所示)，發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行線的狀態(tài)射入到拋物線形的接收天線，經(jīng)拋物線接收天線的反射聚焦到該拋物線的焦點處(如圖3所示)，若該拋物線形的接收天線的口徑(直徑)為4.8 m，深度為1 m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為m.

圖2 圖3

分析：根據(jù)題目條件，利用已知的拋物線模型，建立坐標系，進而設置相應的拋物線的方程以及對應點坐標的確定，將點A的坐標代入，確定參數(shù)p的值，進而可得拋物線的方程，由此確定該拋物線的焦點到頂點的距離即可.

圖4

解析：如圖4，構(gòu)建相應的坐標系，設拋物線的方程為y2=2px(p>0)，由題得，點A(1，2.4)在拋物線上，所以2p=2.42，解得p=2.88，所以所求拋物線的標準方程為y2=5.76x，因此該拋物線的焦點到頂點的距離為=1.44.

點評：本題以“衛(wèi)星接收天線”為背景考查拋物線的圖象和性質(zhì)等知識，求解此類問題的關(guān)鍵：一是“盯題眼”和“細觀圖”，能從圖中觀察出已知條件；二是利用方程思想，利用拋物線上點的坐標求出拋物線方程，從而得解.

在實際應用中，要從數(shù)學的視角切入，構(gòu)建對應創(chuàng)新場景或創(chuàng)新應用與已知數(shù)學模型、相關(guān)數(shù)學基礎(chǔ)知識等之間的聯(lián)系與應用，并借助相應的數(shù)學模型所對應的數(shù)學知識來分析與求解，有效滲透數(shù)學的“四性”(即基礎(chǔ)性、綜合性、應用性與創(chuàng)新性等)，合理引領(lǐng)與指導高中數(shù)學教育，同時也為高校選拔人才提供育人方向，并在此基礎(chǔ)上回歸并落實“四基”(即數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗等)，提倡學以致用，強調(diào)全面育人、數(shù)學核心素養(yǎng)導向.