□ 孫曉天 邢佳立

（1.中央民族大學(xué) 100081 2.浙江教學(xué)月刊社 310023）

把核心素養(yǎng)設(shè)定為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的統(tǒng)領(lǐng)性目標(biāo)，是本輪課標(biāo)修訂中的一個(gè)重大變化，“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。我們都熟悉“數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言”這句話，但對(duì)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程而言，“數(shù)學(xué)語言是什么”“數(shù)學(xué)語言從哪兒來”“數(shù)學(xué)語言有什么用”“數(shù)學(xué)語言除了是科學(xué)的語言，還有哪些獨(dú)特的教育價(jià)值，它的教育意義在哪里”等問題在以往的數(shù)學(xué)課程中，或在教師過去積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)里，其實(shí)都還沒有明確的位置。對(duì)于“為什么要把數(shù)學(xué)語言作為核心素養(yǎng)”“數(shù)學(xué)語言有哪些功能，它的具體表現(xiàn)是什么”等問題，一線教師也感到迷茫。本刊記者邢佳立（以下簡(jiǎn)稱“邢”）圍繞這些問題對(duì)中央民族大學(xué)孫曉天教授（以下簡(jiǎn)稱“孫”）進(jìn)行了采訪。

邢：孫教授好，在2000 年課程改革之前，我們的數(shù)學(xué)教育受應(yīng)試教育影響比較大，課程內(nèi)容多是現(xiàn)成的結(jié)果，教學(xué)講究的是開門見山，追求的是“精講多練”帶來的“高效”，在課改以后我們的數(shù)學(xué)教學(xué)開始逐步關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程。把“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”作為核心素養(yǎng)，與時(shí)代的發(fā)展有關(guān)嗎？

孫：這是一個(gè)好問題。你實(shí)際在問的就是為什么要把數(shù)學(xué)語言作為核心素養(yǎng)。這的確是時(shí)代發(fā)展的要求使然。你剛才提到的那些在應(yīng)試氛圍之下的數(shù)學(xué)教學(xué)表現(xiàn)，如果放在自20世紀(jì)中期開始、我國(guó)從農(nóng)業(yè)化向工業(yè)化加速轉(zhuǎn)型的時(shí)期，就都是值得肯定的有效教學(xué)方式。因?yàn)樵谀莻€(gè)時(shí)期，國(guó)家的發(fā)展以“多快好省、力爭(zhēng)上游”為目標(biāo)，追求的就是立竿見影。這種追求反映在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)上，當(dāng)然也要“又對(duì)、又快、又準(zhǔn)”。所以像勤學(xué)苦練、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練等就成了當(dāng)時(shí)理所當(dāng)然的教學(xué)選擇，怎么能高效學(xué)會(huì)就怎么做，數(shù)學(xué)的語言功能根本走不上前臺(tái)。

另外，那時(shí)的生產(chǎn)力水平還比較低，教育的普及率也不理想，系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人還不多，在那個(gè)以勞動(dòng)密集型產(chǎn)業(yè)為主的時(shí)代，數(shù)學(xué)與社會(huì)生產(chǎn)和生活之間的交集十分有限。當(dāng)數(shù)學(xué)只是面對(duì)小眾時(shí)，數(shù)學(xué)語言的作用和影響肯定就難以彰顯，數(shù)學(xué)語言當(dāng)然不可能成為那時(shí)的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。

今天是信息時(shí)代，人工智能和大數(shù)據(jù)的浪潮開始洶涌澎湃，數(shù)學(xué)語言已經(jīng)成為人們?nèi)粘＝涣鞑豢苫蛉钡慕M成部分。就以我們經(jīng)常用到的“××導(dǎo)航”為例，其中的方向、距離、速度等都是數(shù)學(xué)語言，如果有一句聽不懂，就可能迷路。至于那些與每個(gè)公民都息息相關(guān)的疫情通報(bào)、天氣預(yù)報(bào)，以及國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、人口普查數(shù)據(jù)，甚至對(duì)一場(chǎng)體育比賽的關(guān)注、對(duì)一部影視作品的評(píng)價(jià)等，都離不開數(shù)學(xué)語言。在這個(gè)時(shí)代，一個(gè)人想要公平地獲得信息和有理有據(jù)地做出判斷，幾乎都離不開數(shù)學(xué)語言。

時(shí)代的發(fā)展，使數(shù)學(xué)的交流功能日益放大，數(shù)學(xué)語言的作用迅猛擴(kuò)大，數(shù)學(xué)語言與個(gè)人的生活質(zhì)量、職場(chǎng)表現(xiàn)和社會(huì)見識(shí)之間的關(guān)聯(lián)越來越緊密，影響越來越明顯。這些現(xiàn)象說明，是發(fā)展的需要推動(dòng)數(shù)學(xué)語言走上課程的前臺(tái)，數(shù)學(xué)語言滿足了其作為核心素養(yǎng)走進(jìn)數(shù)學(xué)課程的條件。

在數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)語言的作用和影響從來都是舉足輕重的。哲學(xué)意義上關(guān)于數(shù)學(xué)是什么的語言表述問題，在20 世紀(jì)上半葉曾經(jīng)引發(fā)了一場(chǎng)大討論。那時(shí)世界上最有名的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵紖⑴c了這個(gè)舉世矚目、影響深遠(yuǎn)的討論。隨著討論的展開和深入，衍生出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論、數(shù)理邏輯、模型論等一系列與數(shù)學(xué)語言有關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科。雖然一直到現(xiàn)在，關(guān)于數(shù)學(xué)是什么的問題還沒有得到完全解決，但在這場(chǎng)大討論中派生出的許多成果，已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)的基礎(chǔ)，有的還為人工智能和大數(shù)據(jù)等新興學(xué)科提供了生長(zhǎng)點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)課程領(lǐng)域，如果想要?jiǎng)e人了解你從一個(gè)問題情境中觀察到了什么，就必須用數(shù)學(xué)語言把這個(gè)結(jié)果表達(dá)出來，使個(gè)人的主觀意識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)客觀和可視化的存在。沒有數(shù)學(xué)的表達(dá)就無法形成數(shù)學(xué)概念，因而也就無法揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更談不上用數(shù)學(xué)去分析問題、解決問題了。

在討論數(shù)學(xué)眼光時(shí)曾經(jīng)提到，數(shù)學(xué)是以真實(shí)世界里并不存在的抽象數(shù)量關(guān)系和空間形式為對(duì)象，并通過一種間接的方式，達(dá)到認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問題的目的。其實(shí)，這個(gè)間接的方式就是數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。

總之，在時(shí)代發(fā)展的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)語言已經(jīng)從數(shù)學(xué)的象牙塔里走出來，作為不可或缺的品格和能力，與每一個(gè)學(xué)生未來的職業(yè)和生活緊密聯(lián)系在一起。

邢：聽了您的介紹，我們更清晰地知道了在時(shí)代發(fā)展的大背景下，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語言有多么重要。我們知道，自然語言有三個(gè)基本功能：信息的載體、認(rèn)識(shí)世界的工具和交流的橋梁。數(shù)學(xué)語言的功能跟自然語言有什么不一樣嗎？

孫：數(shù)學(xué)語言也同樣具有載體、橋梁和工具這三個(gè)功能，不過數(shù)學(xué)有其獨(dú)特的表現(xiàn)形式。一般說來，自然語言有文字語言、圖形語言和符號(hào)語言三種形式，三者之間可以互相轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)語言也是如此。不同之處在于，世界各地在自然語言中使用的文字和發(fā)音往往各不相同，所用的圖形和符號(hào)也會(huì)有所區(qū)別。而數(shù)學(xué)語言不是這樣，數(shù)學(xué)中使用的圖形語言和符號(hào)語言是全世界統(tǒng)一的，它是一種世界性的通用語言。

這里僅以符號(hào)語言為例做些說明。

數(shù)學(xué)的符號(hào)語言包括三類元素：基于阿拉伯?dāng)?shù)字的數(shù)字符號(hào)，通用的運(yùn)算符號(hào)，以及字母，包括英文字母、希臘字母和拉丁字母。用這些元素把數(shù)學(xué)的某個(gè)要求或某種規(guī)律表示出來，就是數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。或者說，數(shù)學(xué)的符號(hào)語言，就是由這樣的數(shù)字、符號(hào)和字母“串”在一起組合而成的。在小學(xué)階段，使用希臘字母和拉丁字母的比較少，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)也沒有出現(xiàn)，但已經(jīng)出現(xiàn)的，都是最常用甚至?xí)臀覀兘K生相伴的數(shù)學(xué)符號(hào)。

雖然數(shù)字、符號(hào)和字母的組合是數(shù)學(xué)語言，但隨意組合在一起的數(shù)字、字母、符號(hào)串一般沒有什么意義。就像隨意寫幾個(gè)漢字，如“吃、西、東、丑”，每個(gè)字大家都認(rèn)識(shí)，都明白其字意，但串在一起之后，“吃西東丑”卻提供不了任何有用的信息。當(dāng)然，也可以說它是一個(gè)編碼，而如果真的視其為編碼，就意味著每個(gè)字本身的意義已經(jīng)消失，雖然它們看著還是漢字，但實(shí)際上只相當(dāng)于幾個(gè)沒有任何含義的字母，所以仍然沒有一般的語言表達(dá)功能。

邢：什么樣的數(shù)字、字母、符號(hào)串才是有意義的數(shù)學(xué)符號(hào)語言？您能具體跟我們講講嗎？

孫：廣義的答案比較復(fù)雜，要用到數(shù)理邏輯。如果把范圍局限在基礎(chǔ)教育課程領(lǐng)域，把“有意義”理解為有教育意義，答案就比較明確：只有作為溝通真實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁、理解數(shù)學(xué)世界的工具和解決數(shù)學(xué)問題的載體的數(shù)字字母符號(hào)串，即具有橋梁、工具和載體作用的數(shù)字字母符號(hào)串，才是有意義的數(shù)學(xué)語言。需再次強(qiáng)調(diào)，這個(gè)“意義”是指教育意義。

有意義是數(shù)學(xué)語言的特征，如果在一個(gè)數(shù)字字母符號(hào)串的背后，能講出一個(gè)與“橋梁、工具、載體”有關(guān)的真實(shí)或抽象的“故事”，這個(gè)數(shù)字字母符號(hào)串就是有意義的數(shù)學(xué)語言。如x-3=8，就講了一個(gè)已知的8、3 和未知的x之間，由等式關(guān)系表達(dá)的抽象故事。所以它是有意義的數(shù)學(xué)語言，可以叫作方程。而x-3÷=8，也是數(shù)字字母符號(hào)串，但運(yùn)算符號(hào)“÷”后面直接是等號(hào)，使得它與“橋梁、工具、載體”之間毫無關(guān)系，什么故事都講不出來。雖然它也是一個(gè)數(shù)字字母符號(hào)串，但并不屬于數(shù)學(xué)語言。

邢：聽了您的講解以后，如何把握數(shù)學(xué)語言的特征和意義我理解了。那么，在教學(xué)中有意義的數(shù)學(xué)語言怎樣產(chǎn)生呢？是按事先的設(shè)定“教”給學(xué)生，還是由學(xué)生自己在解決問題過程中，發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，并體會(huì)其功能與意義？

孫：這個(gè)問題與數(shù)學(xué)語言作為核心素養(yǎng)的課程價(jià)值有關(guān)。這方面的問題如果用腦科學(xué)、認(rèn)知科學(xué)和語言學(xué)從原理開始解釋，幾乎又是一本難以讀懂的厚書，這里沒必要搞得那么復(fù)雜。下面僅從教學(xué)實(shí)踐的角度，大體描摹一下有意義數(shù)學(xué)語言從何而來。

當(dāng)教學(xué)過程中學(xué)生自己產(chǎn)生“想一想”“說一說”或“寫出來”的需要時(shí)，“學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)”就開始登場(chǎng)了。需要說明的是，有意義的數(shù)學(xué)語言離不開數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維。

舉個(gè)例子：一號(hào)教室的面積是40平方米，它的長(zhǎng)、寬各為多少？

首先，當(dāng)用數(shù)學(xué)眼光從問題情境中“剝離”教室、面積、平方米等物理屬性之后，需要用數(shù)學(xué)語言把留下的元素表示出來，代表這個(gè)“剝離”過程的成功。如，一、40、a（表示長(zhǎng)）、b（表示寬）等等。

然后，去掉與解決問題無關(guān)的元素“一”，保留與解決問題有關(guān)的元素，或稱關(guān)鍵元素：40、a、b。其中確定誰去誰留的過程常常會(huì)表現(xiàn)為一個(gè)推理過程，需要通過數(shù)學(xué)思維進(jìn)行。

最后，如果留下的關(guān)鍵元素多于一個(gè)，這些元素之間的關(guān)系就成為解決問題的關(guān)鍵，需要繼續(xù)通過推理，用數(shù)學(xué)的語言把這個(gè)關(guān)系表示出來。在這個(gè)例子中，40、a、b之間的關(guān)系是已知的：40=a×b，需要繼續(xù)推理，用數(shù)學(xué)的語言把a(bǔ)和b具體表達(dá)出來，得到問題的答案。到此，代表問題情境本質(zhì)屬性的數(shù)字字母符號(hào)串40=a×b以“關(guān)系及其表示”的形式表現(xiàn)為解決問題、尋求答案的載體。

雖然a=2，b=20 或a=5，b=8 都滿足 40=a×b，但究竟哪一個(gè)更符合作為教室的要求，仍然需要使用數(shù)學(xué)語言來作為溝通數(shù)學(xué)世界與真實(shí)世界之間關(guān)系的橋梁。至于還有沒有其他的答案，肯定都離不開數(shù)學(xué)語言的表達(dá)。

例子雖然簡(jiǎn)單，但可以說明，數(shù)學(xué)語言的意義來自解決問題進(jìn)程中的表達(dá)需求。

上述過程如果在學(xué)生已經(jīng)掌握了完備的數(shù)學(xué)符號(hào)語言的情況下進(jìn)行，就是一個(gè)直接的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。如果學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)符號(hào)語言還不足以直接表達(dá)，如例子中的面積概念、面積計(jì)算公式、倍數(shù)關(guān)系的表示等還是學(xué)生未知的，這個(gè)過程就同時(shí)成為一個(gè)開發(fā)數(shù)學(xué)語言的過程，所以是一個(gè)間接的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。無論是直接的還是間接的表達(dá)，這兩種途徑都是有意義的數(shù)學(xué)語言的來源。特別地，由于基于核心素養(yǎng)目標(biāo)的教學(xué)傾向于營(yíng)造開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，間接的表達(dá)方式會(huì)使學(xué)生同時(shí)進(jìn)入一個(gè)開發(fā)數(shù)學(xué)語言的過程，能呈現(xiàn)數(shù)學(xué)語言更為豐富多彩的側(cè)面。雖然殊途同歸，最終必須進(jìn)入共同的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)，但在一個(gè)開放的環(huán)境中為尋找恰當(dāng)?shù)姆?hào)語言或表達(dá)方式而進(jìn)行的探索，肯定是培育核心素養(yǎng)的搖籃。

讀者可以舉一反三，自己循著同樣的思路舉一個(gè)能與有意義的數(shù)學(xué)語言結(jié)合起來的例子。同時(shí)把這個(gè)例子作為了解數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維之間關(guān)系的機(jī)會(huì)，體會(huì)一下“三會(huì)”雖然各自單獨(dú)表述，但本質(zhì)上是共為一體、不可分離的。語言的產(chǎn)生伴隨著眼光和思維，眼光和思維的產(chǎn)生亦是如此。這種關(guān)系后面還會(huì)提到。

總之，數(shù)學(xué)語言就是在一次次這樣的“表達(dá)”活動(dòng)中成長(zhǎng)壯大，并逐漸成為一種素養(yǎng)，嵌入學(xué)習(xí)者的人格，對(duì)他們未來的學(xué)業(yè)、職業(yè)和生活產(chǎn)生影響的。

邢：謝謝孫老師！今天的交流讓我們對(duì)數(shù)學(xué)語言理解得更加深刻了。下一期訪談，還想請(qǐng)您跟我們聊聊把數(shù)學(xué)語言作為核心素養(yǎng)有哪些意義，我們下期再見。