□ 鞏子坤 吳敏霞 趙雨晴

一、引言

符號(hào)意識(shí)，是學(xué)習(xí)者將數(shù)學(xué)知識(shí)抽象成對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)知活動(dòng)，是解決數(shù)學(xué)問題過程中表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1]，其形成直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。然而，目前在教學(xué)中沒有專門的測試來檢驗(yàn)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。四年級(jí)是從經(jīng)驗(yàn)型思維向理論型思維轉(zhuǎn)化的開始，是學(xué)生符號(hào)意識(shí)發(fā)展水平的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)[2-3]。本研究在已有研究的基礎(chǔ)上，對(duì)符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵進(jìn)行了再認(rèn)識(shí)，編制了符號(hào)意識(shí)測試問卷，為探明小學(xué)4~6年級(jí)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)及其發(fā)展水平提供了基本工具。

二、問卷編制與實(shí)施

（一）符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵解讀

我國對(duì)符號(hào)意識(shí)的研究晚于西方。以Abra?ham Arcavi[4]為代表的研究成果為國內(nèi)進(jìn)行符號(hào)意識(shí)研究奠定了基礎(chǔ)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出符號(hào)意識(shí)主要是指能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能。知道符號(hào)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義；能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律；知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性；初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。史寧中教授從行為的角度對(duì)課標(biāo)進(jìn)行了解讀：理解符號(hào)意義和運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，通過符號(hào)操作得到一般性結(jié)論，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)的觀念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性。[5]李艷琴和宋乃慶認(rèn)為，符號(hào)意識(shí)是指學(xué)生在表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系等符號(hào)的感受、體會(huì)、認(rèn)識(shí)、理解、運(yùn)用等方面的反應(yīng)。[6]基于學(xué)者們對(duì)符號(hào)意識(shí)的解讀，將符號(hào)意識(shí)分為符號(hào)理解、符號(hào)表示、符號(hào)運(yùn)算、符號(hào)推理四個(gè)維度。

（二）問卷理論結(jié)構(gòu)構(gòu)建

我們基于對(duì)符號(hào)意識(shí)維度的劃分,確定符號(hào)意識(shí)問卷的理論結(jié)構(gòu)。為更好地編制符號(hào)意識(shí)測試題目，結(jié)合4~6 年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，嘗試對(duì)各維度給出操作性定義，如表1所示。

表1 符號(hào)意識(shí)測試問卷維度、操作性定義及各維度的題目編號(hào)

（三）問卷測試題目編制

在設(shè)計(jì)題目的過程中，征求一線教師關(guān)于小學(xué)4~6 年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平及題目呈現(xiàn)形式等的建議，同時(shí)征求了數(shù)學(xué)教育專家和優(yōu)秀的小學(xué)數(shù)學(xué)教研員的意見，不斷地對(duì)問卷進(jìn)行修訂，初步形成了符號(hào)意識(shí)測試問卷一。

（四）樣本選取與問卷回收

為保證符號(hào)意識(shí)問卷的信效度，選取了三個(gè)樣本分別進(jìn)行測試。后一次測試問卷是基于前一次測試的數(shù)據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行修訂后得到的。

使用問卷一對(duì)樣本一進(jìn)行測試，該樣本來自杭州市J 區(qū)某學(xué)校學(xué)習(xí)層次有明顯差別的五年級(jí)學(xué)生，共4人。回收問卷共4份，其中有效問卷為4份，有效率達(dá)100%。

使用問卷二對(duì)樣本二進(jìn)行測試，該樣本來自杭州市X區(qū)某學(xué)校四、五、六年級(jí)學(xué)生，共490人。回收問卷共490份，其中有效問卷為386份，有效率達(dá)78.8%。

使用問卷三對(duì)樣本三進(jìn)行測試，該樣本來自杭州市G區(qū)某學(xué)校四、五、六年級(jí)學(xué)生，共450人?；厥諉柧砉?50份，其中有效問卷為402份，有效率達(dá)89.3%。

（五）數(shù)據(jù)分析工具與方法

每道題正確記1分，錯(cuò)誤記0分。先利用SPSS對(duì)樣本一數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，借助訪談了解學(xué)生對(duì)題目的理解情況，根據(jù)反饋修訂問卷；再利用SPSS對(duì)樣本二數(shù)據(jù)進(jìn)行項(xiàng)目分析和探索性因素分析，以便得到問卷的主成分，調(diào)整問卷的理論結(jié)構(gòu)及測試題目；最后利用AMOS對(duì)樣本三數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證性因素分析，確認(rèn)問卷理論結(jié)構(gòu)的合理性。

三、問卷預(yù)測與修訂

（一）問卷預(yù)測

對(duì)樣本一收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、錄入。先結(jié)合訪談了解學(xué)生對(duì)題目存在困惑的地方，進(jìn)而對(duì)4道題目進(jìn)行調(diào)整與完善，形成問卷二。修改前后的題目如表2所示。

表2 問卷一、問卷二題目調(diào)整前后對(duì)比

第一題屬于“對(duì)運(yùn)算符號(hào)的理解”維度，修改前的題目供學(xué)生思考的空間較小，部分學(xué)生會(huì)通過觀察選擇出現(xiàn)過相同的數(shù)的條件，而不是在理解算式的意義之后選擇適用的條件。因此通過修改提供的條件，使得提供的條件中多次出現(xiàn)相同的數(shù)來改變這一情況。

第二題屬于“抽象運(yùn)算”維度，難度較大，因此在題目后給予一定的提示，但“k+2k=3×k=3k”連等的算式不利于學(xué)生對(duì)“數(shù)字乘字母”這種形式的理解。因此將提示改為“z＋z＋z=3×z”，指明“3×z，可以表示為3z”，并通過舉例加深學(xué)生的理解。

第三題屬于“合情推理”維度，由于“*”與乘號(hào)較像，將“*”改為“⊙”。

第四題也屬于“合情推理”維度，該題以坐標(biāo)的形式出現(xiàn)，超出了學(xué)生的認(rèn)知范圍，因此改為與該維度其他題目形式接近的題目。

（二）項(xiàng)目分析

對(duì)樣本二收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行項(xiàng)目分析。先用臨界比率法刪除不具有高低分組顯著性差異的題目。再用題總相關(guān)法對(duì)各題得分與總得分之間進(jìn)行相關(guān)分析，意在刪除與總得分相關(guān)系數(shù)不顯著的題目。經(jīng)過項(xiàng)目分析，問卷二無刪題，仍有46道題目。

（三）探索性因素分析

基于項(xiàng)目分析，對(duì)樣本二數(shù)據(jù)進(jìn)行探索性因素分析。KMO值為0.907，Bartlett 球形度檢驗(yàn)相關(guān)性顯著（p<0.01），表明樣本二數(shù)據(jù)很適合做因子分析。因此，使用主成分分析法和最大方差旋轉(zhuǎn)法確定問卷的因子數(shù)和題目。經(jīng)探索性因素分析，主成分與符號(hào)意識(shí)問卷的理論結(jié)構(gòu)一致，刪除1（1）、2（1）、2（2）、4（1）、4（2）、8（2）、9（1）共7 道題。為更好地反映測試內(nèi)容，需使各維度題目在3 道或以上，故根據(jù)分析結(jié)果增加整數(shù)、分?jǐn)?shù)維度的同質(zhì)性題目各2道。

如“對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解”維度，刪除了題目“一根繩子長2 米，將它平均分成3 段，每段占全長的_____，每段長_____米”，增加了題目“一根繩子長3米，剪去2米，剪去的占全長的_____，剩余的占全長的_____”。這保證了分?jǐn)?shù)測試維度題目的同質(zhì)性。

修訂后形成最終的測試問卷三，包含43道題，詳見附錄。

四、問卷檢驗(yàn)與確定

（一）驗(yàn)證性因素分析

對(duì)樣本三收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證性因素分析，檢驗(yàn)實(shí)際數(shù)據(jù)與理論模型的擬合程度。首先構(gòu)建一階兩兩相關(guān)模型，根據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行殘差修正，在各指標(biāo)基本達(dá)到模型適配標(biāo)準(zhǔn)后再構(gòu)建二階模型。同理構(gòu)建三階模型。三種模型的各擬合指標(biāo)如表3所示。

表3 各指標(biāo)擬合情況

從擬合結(jié)果來看，隨著結(jié)構(gòu)模型的不斷改進(jìn)，各指標(biāo)擬合得越來越好，且符號(hào)意識(shí)三階結(jié)構(gòu)模型的擬合指標(biāo)基本達(dá)到了檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。因此，實(shí)際數(shù)據(jù)與該模型的適配情況良好，該符號(hào)意識(shí)理論結(jié)構(gòu)和題目編制是比較合理的。本研究設(shè)計(jì)的小學(xué)4~6年級(jí)學(xué)生符號(hào)意識(shí)測試問卷的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 小學(xué)4~6年級(jí)學(xué)生符號(hào)意識(shí)測試問卷的結(jié)構(gòu)模型

（二）問卷的信度和效度分析

1.信度分析

信度是效度的前提條件。采用Cronbach’s α系數(shù)檢驗(yàn)問卷的內(nèi)部一致性，考察問卷的每個(gè)題目是否測試了相同的內(nèi)容或特質(zhì)。數(shù)據(jù)表明問卷具有很好的內(nèi)部一致性（如表4）。

表4 符號(hào)意識(shí)問卷各維度信度

2.效度分析

效度是指測試工具或手段能夠準(zhǔn)確測出所需測量事物特質(zhì)的程度。本研究主要分析問卷的內(nèi)容效度和結(jié)構(gòu)效度。

（1）內(nèi)容效度

內(nèi)容效度指的是測試題目對(duì)有關(guān)內(nèi)容取樣的適用性。在問卷形成后，邀請(qǐng)4位專家對(duì)問卷題目與其所屬維度的相關(guān)性做出評(píng)價(jià)，即在“‘1’表示完全無關(guān)、‘2’表示有點(diǎn)相關(guān)、‘3’表示較強(qiáng)相關(guān)、‘4’表示完全相關(guān)”的四點(diǎn)量表上做出判定。依據(jù)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（K*：0.40~0.59 為一般，0.60~0.74 為良好，0.74~1.00為優(yōu)秀[7]），35道題為優(yōu)秀，8道題為良好。進(jìn)一步計(jì)算，結(jié)果顯示S-CVI/UA為0.81，S-CVI/Ave為 0.95。根據(jù)S-CVI/UA不低于0.80，S-CVI/Ave應(yīng)達(dá)到0.90 的標(biāo)準(zhǔn)[8]，該符號(hào)意識(shí)問卷的內(nèi)容效度較好（表5）。

表5 符號(hào)意識(shí)問卷內(nèi)容效度

（2）結(jié)構(gòu)效度

結(jié)構(gòu)效度指的是測試結(jié)果體現(xiàn)出來的某種結(jié)構(gòu)與理論結(jié)構(gòu)之間的一致性。從驗(yàn)證性因素分析的結(jié)果來看，RMSEA在 0.08 以下，CFI等在 0.9 以上，因此擬合的三階模型是一個(gè)“好模型”[9]，該符號(hào)意識(shí)問卷的結(jié)構(gòu)效度達(dá)到要求。

五、討論

本研究重在編制小學(xué)4~6 年級(jí)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)測試問卷。相較于團(tuán)隊(duì)已有的研究成果，即“小學(xué)一年級(jí)學(xué)生符號(hào)意識(shí)測試問卷”和“小學(xué)2~3 年級(jí)學(xué)生符號(hào)意識(shí)測試問卷”，以及目前的研究成果，本問卷編制的進(jìn)步之處主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

（一）問卷理論結(jié)構(gòu)更完善

三份問卷一脈相承，均包含符號(hào)理解、符號(hào)表示、符號(hào)推理、符號(hào)運(yùn)算四個(gè)維度。隨著學(xué)生認(rèn)知水平的提高及知識(shí)量的增加，本問卷對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了完善。特別是針對(duì)符號(hào)理解維度，將學(xué)生對(duì)數(shù)字符號(hào)的理解細(xì)分為對(duì)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)意義的理解；對(duì)關(guān)系符號(hào)的理解細(xì)分為對(duì)比較關(guān)系、等于關(guān)系的理解，同時(shí)增設(shè)對(duì)運(yùn)算符號(hào)的理解這一考察維度。在一定程度上，本次問卷考察內(nèi)容更細(xì)致，理論結(jié)構(gòu)更完善。

（二）問卷編制過程更嚴(yán)謹(jǐn)

前兩份問卷選取的樣本量較小，數(shù)據(jù)分析易出現(xiàn)誤差。為減少這一誤差，本次問卷編制過程中選取了大樣本用于探索性因素分析，并選取大樣本對(duì)最終問卷進(jìn)行驗(yàn)證性因素分析及信效度檢驗(yàn)。因此，本次問卷編制過程更嚴(yán)謹(jǐn)、分析方法更科學(xué)。

六、結(jié)論

本研究編制的“小學(xué)4~6年級(jí)學(xué)生符號(hào)意識(shí)測試問卷”理論結(jié)構(gòu)更完善，編制過程更嚴(yán)謹(jǐn)，且具有較好的信效度。因此，本問卷可有效測試小學(xué)4~6年級(jí)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，也可為小學(xué)高段學(xué)生符號(hào)意識(shí)評(píng)價(jià)體系的形成及相關(guān)研究提供參考。

附錄：問卷三

親愛的同學(xué)：歡迎參加這個(gè)小測試。請(qǐng)你仔細(xì)看題目，按照要求認(rèn)真回答。測試的結(jié)果只用來做研究，與你的數(shù)學(xué)成績無關(guān)。

1.4500000000里有45個(gè)___。60000000000里有600個(gè)__。

2.37200000里有3720個(gè)__。

3. 一根竹竿長8 米，截去5 米，截去的占全長的__，剩余的占全長的__。

4. 一根繩子長3 米，剪去2 米，剪去的占全長的___，剩余的占全長的___。

5. 3.673 中的左邊起第一個(gè)“3”表示3 個(gè)___，第二個(gè)“3”表示3個(gè)___。

6.1.57里面有15個(gè)___，7個(gè)___。

7.填空。

（1）298+a>305，a是自然數(shù)，最小是____。

（2）435-b>427，b是自然數(shù)，最大是_____。

（3）70×c>258，c是自然數(shù)，最小是_____。

8.填空。

（1）150-q=90+12，那么q= ____。

（2）16×4=m÷10，那么m= _____。

（3）216÷n=3×8，那么n= ______。

9.請(qǐng)根據(jù)算式選擇適當(dāng)?shù)臈l件，并提出用該算式解決的問題。

水果攤運(yùn)來一批橘子、梨、香蕉，若干天后全部賣完。

①橘子有70千克。②香蕉比橘子多50千克。

③梨比橘子少50千克。④每千克橘子賣6元。

⑤每千克梨賣5元。⑥每千克香蕉賣5元。

⑦香蕉10天賣完。⑧梨10天賣完。

⑨橘子總共賣了420元。⑩梨總共賣了100元。

（1）列出算式“70×6-100=320”需要的條件是_____，你提出的問題是__________________。

（2）列出算式“420÷6+50=120”需要的條件是_____，你提出的問題是__________________。

（3）列出算式“（70-50）×5=100”需要的條件是_____，你提出的問題是________________。

（4）列出算式“（70+50）÷10=12”需要的條件是______，你提出的問題是__________________。

10.在橫線上填上含有字母的式子。

（1）動(dòng)物園里有a只兔子，有b只獅子，老虎的只數(shù)比兔子、獅子的總和少2 只，動(dòng)物園里有老虎_____只。

（2）李明的爸爸買了c個(gè)蘋果，媽媽回來后吃了1 個(gè)蘋果，李明放學(xué)回來后吃了d個(gè)蘋果，還剩下______個(gè)蘋果。

（3）倉庫里有一批水泥，運(yùn)走了5車，每車e噸，還剩下f噸，這批水泥共有_______噸。

（4）小妍去商店買了3盒彩筆，共用去g元。如果買一盒鉛筆用的錢比買一盒彩筆的錢少h元，那么買一盒鉛筆需要用_______元。

（5）小華有鉛筆i支，小強(qiáng)有鉛筆j支。小華、小強(qiáng)的鉛筆總數(shù)是小剛的3倍，小剛有鉛筆_____支。

（6）亮亮有k個(gè)梨，比麗麗多p個(gè)梨。如果花花的梨是麗麗的4倍，那么花花有______個(gè)梨。

11.在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

（1）27+13=54-a，a= _____。

（2）b+34=75-23，b= _____。

（3）56-10=17+c，c= _____。

（4）60-d=16+34，d=_____。

12.在橫線上填上適當(dāng)?shù)氖阶印?/p>

（知識(shí)小貼士：z+z+z=3×z，可以表示為3z；3z+4z=7z；5z-2z=3z）

（1）a+2b=10b-c，a=5b，c= _____。

（2）3t+f=q-t，q=8t，f= ____。

（3）m-3r=2r+n，m=6r，n= _____。

（4）8k-i=j+k，j=3k，i= ____。

13.已知：3 ⊙ 2 =（3+2）×（3-2），5 ⊙ 4 =（5+4）×（5-4），7 ⊙ 5=（7+5）×（7-5），請(qǐng)用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：_________________。

14. 已知：3＠4=3×5-4×2，6＠8=6×5-8×2，9＠5=9×5-5×2 ，請(qǐng)用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：______________。

15.已知：8 △ 4=（8+2）÷（4+1），7 △ 2=（7+2）÷（2+1），4 △ 2=（4+2）÷（2+1），請(qǐng)用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：_________________。

16. 已知：（12-10）÷ 2 = 12÷2-10÷2 ，（18-12）÷ 3=18÷3-12÷3 ，（25-15）÷ 5=25÷5-15÷5 ，請(qǐng)用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：_____________。

17.規(guī)定兩種新運(yùn)算“◎”和“○”，◎表示兩數(shù)之中取大數(shù)的運(yùn)算，○表示兩數(shù)之中取小數(shù)的運(yùn)算。如3◎5=5，7○10=7。請(qǐng)你算出以下兩個(gè)式子的結(jié)果。

（1）（9○12）+（28◎4）= ______。

（2）（19◎6）-（5○32）= ______。

18.規(guī)定一種新運(yùn)算“※”，a※b=a×a-b×b。請(qǐng)你算出以下兩個(gè)式子的結(jié)果。

（1）9※（4※3）= ______。

（2）（8※7）※5= ______。