【摘 要】 聯(lián)系視角下的解題教學(xué)應(yīng)突出以下四個(gè)關(guān)注點(diǎn)：一是關(guān)注問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生分門別類，整體研究；二是關(guān)注問(wèn)題解決的方向，引導(dǎo)學(xué)生多元表征，聯(lián)系化歸；三是關(guān)注問(wèn)題背后的立意，引導(dǎo)學(xué)生要想得多，要站得高；四是關(guān)注解題教學(xué)的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)問(wèn)題解決的一般規(guī)律與為人處事的聯(lián)系．

【關(guān)鍵詞】 聯(lián)系；解題教學(xué);育人價(jià)值

“聯(lián)系”是深度學(xué)習(xí)的一個(gè)顯著特征，因此好的解題教學(xué)應(yīng)該著力于讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)“聯(lián)系”．首先，學(xué)會(huì)聯(lián)系地看問(wèn)題．通過(guò)建立問(wèn)題與問(wèn)題、解法與解法的關(guān)聯(lián)，把相關(guān)的、類似的問(wèn)題放在一起，從一個(gè)整體的視角出發(fā)進(jìn)行研究；其次，學(xué)會(huì)聯(lián)系地想問(wèn)題．通過(guò)將條件、結(jié)論進(jìn)行多元表征，嘗試化歸，去溝通問(wèn)題與解法之間的聯(lián)系，明晰問(wèn)題解決的方向；然后，學(xué)會(huì)聯(lián)系地研究問(wèn)題．通過(guò)將問(wèn)題與經(jīng)典名題、科學(xué)前沿、歷史文化關(guān)聯(lián)，挖掘問(wèn)題背后的“故事”，從高觀點(diǎn)看清問(wèn)題背后的本質(zhì)和立意；最后，將問(wèn)題解決聯(lián)系到人生思考．通過(guò)學(xué)生系列化的解題活動(dòng)與體驗(yàn)，站在育人的角度，凸顯教題教學(xué)在“人”的成長(zhǎng)方面的價(jià)值.

1 理解問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)

在疲于應(yīng)付“題海戰(zhàn)術(shù)”的學(xué)生們的眼中，數(shù)學(xué)題總是以“個(gè)體”的姿態(tài)出現(xiàn)，一個(gè)個(gè)題目往往都是“孤立”的．于是，他們就深陷于“題目越做越多”的窘境．其實(shí)，數(shù)學(xué)題的“群體”現(xiàn)象十分普遍，關(guān)鍵是我們要學(xué)會(huì)分門別類，找到同類題或者相關(guān)題，將它們關(guān)聯(lián)起來(lái)，從整體上進(jìn)行研究．

1.1 在形式上尋求統(tǒng)一

題1 二次函數(shù)y＝（x－1）（x－m＋1）（m是常數(shù)），當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，y＞0，則m的取值范圍為（? ）.

A．m＜0? ???B．m＜1C．0＜m＜1? D．m＞1

題2 已知函數(shù)y1＝x2－（m＋2）x＋2m＋3，y2＝nx＋k－2n（m，n，k為常數(shù)，且n≠0）．

若函數(shù)y1，y2的圖象始終經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)M．

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值;

②若m≤2，當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，總有y1≤y2，求m＋n的取值范圍．

在題2中，易知k＝3．將其代入、變形、因式分解后，得y1－y2＝（x－m－n）（x－2）≤0．于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，（x－m－n）（x－2）≤0，求m＋n的取值范圍．再將m＋n看成整體進(jìn)行換元，發(fā)現(xiàn)兩道試題結(jié)構(gòu)幾乎一致．

1.2 在解法上達(dá)成一致

題3 （2020年杭州）如圖1，已知AC，BD為圓O兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC中點(diǎn)，連接EF．

連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，求證：PE＝PF．

題4 （2020年上海）如圖2，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D．當(dāng)AD＝2，CD＝3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)．

在題3中，欲證PE＝PF，即證PE∶PF＝1∶1.在題4中，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，要求BC的長(zhǎng)，關(guān)鍵在于求出AO∶OE，然后根據(jù)勾股定理求解．也就是說(shuō)，兩道試題都是在求“一條線段上的比例”．通過(guò)圖形簡(jiǎn)化，可分別得到圖3和圖4．雖然兩道中考題形式迥異，看似毫不相關(guān)，但最后都能化歸為同一個(gè)基本圖形．

好的解題教學(xué)就是要教會(huì)學(xué)生多角度尋找問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)，將題目分門別類，整體研究，這樣才能使得效益最大化．

2 明晰問(wèn)題解決的方向

解題教學(xué)應(yīng)著眼于啟發(fā)、鍛煉學(xué)生的思維，教會(huì)學(xué)生分析問(wèn)題．學(xué)生只有提升了分析解決問(wèn)題的能力，才能真正實(shí)現(xiàn)教育之“教是為了不教”的根本目的．

2.1 多元表征

理解問(wèn)題是明晰問(wèn)題解決方向的前提，而關(guān)注問(wèn)題的多元表征是理解問(wèn)題的要點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)多元表征是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的信息在心理活動(dòng)中的多元化的表現(xiàn)和不同的記載方式．所謂理解就是要從不同的角度對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行多元表征，建立知識(shí)之間的聯(lián)系．

題5 已知二次函數(shù)y＝－x2＋3mx－3n圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則（? ）.

A．2m＋n＞43?? B．2m＋n＜43? C．2m－n＜43?? D．2m－n＞43

因?yàn)閳D象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，且開(kāi)口向下，所以拋物線始終位于x軸的下方．對(duì)應(yīng)著這樣一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，能產(chǎn)生兩種不同的表征方式：①9m2－12n＜0，化簡(jiǎn)得3m2＜4n；②－x2＋3mx－3n＜0恒成立．不同的表征對(duì)應(yīng)著不同的思考方向．

表征①3m2＜4n，聚焦于m，n之間的已知關(guān)系．

思路1（特殊值）：當(dāng)n＝1時(shí)，m可以取1，所以B和D排除；再取m＝－1，則A也排除．故只能選擇C．

思路2：2m－n＜2m－34m2＝－34（m－43）2＋43≤43，故有2m－n＜43．故選C．

表征②－x2＋3mx－3n＜0恒成立，聚焦于m，n最終的表達(dá)式．

思路3：將x＝2代入，有－4＋6m－3n＜0，化簡(jiǎn)得2m－n＜43．故選C．

思路4：將表征②“－x2＋3mx－3n＜0恒成立”變形，得到“mx－n＜x23恒成立”，即直線永遠(yuǎn)在拋物線下方．而2m－n的幾何意義就是直線y＝mx－n在x＝2時(shí)的函數(shù)值．根據(jù)圖象，易知2m－n＜43．

隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象所建立的聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)也在逐漸擴(kuò)大．到了高中，學(xué)生學(xué)習(xí)了“線性規(guī)劃”之后，對(duì)表征①又會(huì)有新的理解．

事實(shí)上，所謂入口寬、多解法的“好問(wèn)題”往往就是因?yàn)樗臈l件或結(jié)論有多種表征方式．學(xué)生多元表征能力的高低將直接影響其解題水平的高低．2.2 嘗試化歸

明晰問(wèn)題解決方向的總策略是嘗試化歸，即設(shè)法把我們面臨的復(fù)雜的、陌生的問(wèn)題化歸為一個(gè)或者幾個(gè)簡(jiǎn)單的、熟悉的問(wèn)題．除了將條件、結(jié)論進(jìn)行多元表征，等價(jià)變形外，常見(jiàn)的還有“從特殊到一般”，以及“分而治之”等方式．

題6 如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O相交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E．則EF·FC＝．

解決題6的關(guān)鍵顯然在于確定點(diǎn)F的兩段圓弧上．當(dāng)我們無(wú)法一下子明晰解題的方向時(shí)，可以嘗試通過(guò)添線補(bǔ)形對(duì)復(fù)雜問(wèn)題分而治之，去尋找各個(gè)條件的“使用價(jià)值”．

①聚焦于半圓BFC．

如圖6，因?yàn)锽C為直徑，所以∠BFC＝90°，而∠EBC＝90°，根據(jù)射影定理，得EF·FC＝BF2，于是只需求BF．又因?yàn)锽C＝2，所以BF2＋FC2＝4．換言之，也可以求FC．而線段CF是半圓BFC的弦，圓中弦的長(zhǎng)度怎么求？聯(lián)想“垂徑定理”，于是過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CF于點(diǎn)M．

②聚焦于圓弧AC．

另一方面，如圖7，CF也是⊙D的弦．又回到求弦長(zhǎng)的問(wèn)題上，再次聯(lián)想“垂徑定理”，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥CF于點(diǎn)N．

最后將兩條輔助線合二為一，如圖8所示．因?yàn)閮蓤A相交，根據(jù)對(duì)稱性，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M和點(diǎn)N重合．此時(shí)，又能在Rt△OCD中使用射影定理，從而求得所有線段的長(zhǎng)度．

聚焦于兩個(gè)圓，得到兩個(gè)基本圖形，分兩條思路進(jìn)行思考，雖然在每一個(gè)子問(wèn)題中都沒(méi)有完全地解決問(wèn)題，但將它們聯(lián)系在一起時(shí)，輔助線就自然生成了．當(dāng)學(xué)生分析問(wèn)題沒(méi)有方向時(shí)，不妨引導(dǎo)他們嘗試這種“化繁為簡(jiǎn)，先分后總”的方法，逐漸把分析過(guò)程集成化、自動(dòng)化，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3 看清問(wèn)題背后的立意

要讓教師也從“題?！敝薪饷摮鰜?lái)，就必須拓廣教師的知識(shí)領(lǐng)域，提升教師的專業(yè)素養(yǎng)．克萊因認(rèn)為，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單．觀點(diǎn)越高，事物越顯得簡(jiǎn)單［1］．解題教學(xué)要透過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題，看清題目的背景和立意，與經(jīng)典問(wèn)題、科學(xué)前沿、歷史文化建立更廣泛的聯(lián)系，講好我們的“數(shù)學(xué)故事”．

3.1 只有想得多，才能看得透

題7 如圖9，點(diǎn)B，C在⊙A上，F(xiàn)是半徑AB的中點(diǎn)，連結(jié)CF交⊙A于點(diǎn)E，弦CD⊥AB，連結(jié)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明：AB＝BG．若把點(diǎn)B固定，則點(diǎn)C可看成一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E隨之運(yùn)動(dòng)，但是無(wú)論怎么動(dòng)，DE與AB的交點(diǎn)G又是不變的．解完題之后，教師要和學(xué)生一起回過(guò)頭來(lái)思考“為什么”，促使學(xué)生進(jìn)行深度探究．若結(jié)論成立，不難發(fā)現(xiàn)△ACF∽△AGC，所以CF∶CG＝AC∶AG＝1∶2，是定值，即點(diǎn)C到兩定點(diǎn)F，G的距離之比為常數(shù)，所以點(diǎn)C的軌跡就是阿波羅尼斯圓.

對(duì)于學(xué)生而言，他們不需要掌握這個(gè)概念，但這種追求真理的探究精神能大大激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣．多想想，究竟是什么條件在起作用，那根“牽著牛鼻子”的繩子在哪里．長(zhǎng)此以往，學(xué)生解題的方向就明確了，主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力也提升了．

3.2 只有站得高，才能看得遠(yuǎn)

題8 下列整數(shù)可以寫成三個(gè)非0整數(shù)的立方和：45＝；2＝．

2019年9月，人類首次將42寫成3個(gè)整數(shù)的立方和，至此得到下面的結(jié)論：除了9n±4型自然數(shù)外，所有100以內(nèi)的自然數(shù)都能寫成三個(gè)整數(shù)的立方和．這是一個(gè)古老數(shù)論問(wèn)題的最新進(jìn)展．十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出：如果給定整數(shù)k，是否存在整數(shù)x，y，z，滿足丟番圖方程：x3＋y3＋z3＝k．作為杭州市教師解題比賽的試題，命題人想表達(dá)的應(yīng)該不僅僅是如何解決這個(gè)問(wèn)題，而是想開(kāi)闊初中數(shù)學(xué)教師的眼界，不能局限于課本中的內(nèi)容，要向數(shù)學(xué)發(fā)展的最前沿靠近，這樣才能站在更高的角度，引導(dǎo)學(xué)生走向數(shù)學(xué)的巔峰．

題目是需要研究的，教師解題研究能力的高低直接影響著學(xué)生對(duì)問(wèn)題理解的深度．凡事多問(wèn)幾個(gè)為什么，只有想得多，才能看得透問(wèn)題背后的本質(zhì)；只有站得高，才能看得到問(wèn)題背后的立意．

4 凸顯解題教學(xué)的價(jià)值

愛(ài)因斯坦說(shuō)：“教育就是當(dāng)一個(gè)人把在學(xué)校所學(xué)的全都忘光之后剩下的東西．”此時(shí)，剩下的就是“為人處事”的方式方法了［2］．當(dāng)我們把解題教學(xué)與做人做事的方式聯(lián)系在一起思考時(shí)，不免會(huì)發(fā)現(xiàn)解題中所使用的基本思想、基本策略，同樣也是我們“為人處事”之道，從而真正凸顯出解題教學(xué)的價(jià)值.

4.1 從未知到已知，熟悉了，就好辦了

所謂難題，很多時(shí)候只是因?yàn)樗苣吧X科學(xué)的研究告訴我們?nèi)祟愖钕矚g的就是通過(guò)發(fā)現(xiàn)事情的相似性建立起聯(lián)系，然后用相似的方法做不同的事情．面對(duì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)題，就要嘗試去從中找到熟悉的結(jié)構(gòu)，盡可能調(diào)取已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與方法，進(jìn)行多元表征，嘗試等價(jià)變形，進(jìn)行化歸等等．從未知到已知，熟悉了，就好辦了.這就叫“關(guān)聯(lián)”．

4.2 變繁雜為簡(jiǎn)單，能簡(jiǎn)化一點(diǎn)，就好了

遇到復(fù)雜的、困難的問(wèn)題，就要分步、分類地去完成．從簡(jiǎn)單的情形入手，從特殊的情形入手，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化得明白一點(diǎn)，簡(jiǎn)單一點(diǎn)，往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．回想一下，我們對(duì)題2進(jìn)行等式變形、因式分解、整體換元等簡(jiǎn)化操作之后，竟然與題1一模一樣；在對(duì)題3和題4的圖形進(jìn)行簡(jiǎn)化后，也得到了同樣的基本圖形；當(dāng)然還有題6輔助線的獲得也并非一蹴而就，而是對(duì)問(wèn)題的逐層剝離，一步步簡(jiǎn)化而來(lái)．變繁雜為簡(jiǎn)單，能簡(jiǎn)化一點(diǎn)，就好了.這就叫“化歸”．

4.3 由雞智到機(jī)智，記住那只雞的教訓(xùn)

《怎樣解題》的最后講了一個(gè)心理學(xué)試驗(yàn)：一只被困在三面圍有籬笆的場(chǎng)地里的餓雞，見(jiàn)到籬笆外的食物就拼命鉆籬笆但又不得，直至筋疲力盡．波利亞用這只餓雞在提醒我們：解題時(shí)切勿鉆牛角尖，別像那只雞一樣“執(zhí)著”．

無(wú)論是理解問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)、明晰問(wèn)題解決的方向，還是看清問(wèn)題背后的立意，都在倡導(dǎo)我們要多元地、聯(lián)系地、整體地看待問(wèn)題．不要拘泥于一條思路、一種方法．當(dāng)一條思路、一種方法遇到較大阻撓時(shí)，應(yīng)立即改換門庭，另尋它路．應(yīng)相信“條條大路通羅馬”．由雞智到機(jī)智，要記住那只雞的教訓(xùn).這叫做“規(guī)劃”．

參考文獻(xiàn)

［1］菲利克斯·克萊因．高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）［M］．舒湘芹，陳義章， 楊欽樑，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008．

［2］蘇建強(qiáng)．幾何解題教學(xué)應(yīng)突出的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（04）：48-51．

作者簡(jiǎn)介 楊燦權(quán)（1990—），男，浙江杭州人，中學(xué)一級(jí)教師;省級(jí)工作室學(xué)科帶頭人，杭州市初中數(shù)學(xué)核心組導(dǎo)師，多次開(kāi)設(shè)市級(jí)公開(kāi)課和講座，獲得市優(yōu)質(zhì)課、解題、說(shuō)題、論文、案例等多個(gè)一等獎(jiǎng);主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育，發(fā)表論文多篇．