朱 海，陳修素，王君琦

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 南岸 400067)

1 引言

正態(tài)分布作為數(shù)理統(tǒng)計中最重要的分布之一，其廣泛的應(yīng)用性使它成為眾多學(xué)者研究的目標(biāo)，其衍生出的對數(shù)正態(tài)分布也在統(tǒng)計學(xué)中占有一席之地，被應(yīng)用于生物、金融、醫(yī)療等多個領(lǐng)域.多年來，不斷有學(xué)者就對數(shù)正態(tài)分布的區(qū)間估計及應(yīng)用作出了一些研究，黃超[1]計算出了對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的矩估計、極大似然估計和貝葉斯估計,并討論了參數(shù)的區(qū)間估計；韓峰等人[2]針對產(chǎn)品抗輻射能力服從對數(shù)正態(tài)分布、實驗樣本數(shù)據(jù)為成敗型實驗數(shù)據(jù)的情形,運用Bayes方法給出了在給定置信度下產(chǎn)品平均抗輻射能力置信下限的計算方法；李秀珍[3]利用Fisher的信仰推斷方法,給出了對數(shù)正態(tài)總體分布位置參數(shù)的信仰水平為1-α的信仰區(qū)間估計.本文在前面學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，研究了對數(shù)正態(tài)分布中尺度參數(shù)的最短區(qū)間估計問題.

2 預(yù)備知識

2.1 正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布定義

定義1 若隨機變量X的概率密度函數(shù)為：

(1)

則稱隨機變量X服從均值為μ、方差為σ2的正態(tài)分布，記為X～N(μ,σ2).特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時，該分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)分布(又稱高斯分布)是一種使用最為廣泛的對稱分布，圖像關(guān)于直線x=μ對稱，故μ又稱為位置參數(shù)；σ為標(biāo)準(zhǔn)差，反映的是數(shù)據(jù)變量的離散程度，圖像上可以決定圖形的高矮胖瘦，故而稱為形狀參數(shù)，又或叫尺度參數(shù).

定義2 若隨機變量X取對數(shù)后服從正態(tài)分布，即存在Y=lnX～N(μ,σ2)，則稱隨機變量X服從對數(shù)正態(tài)分布.根據(jù)定義1，可推出其概率密度為

(2)

2.2 正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布的比較

由上述定義可知，正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布非常相似，一個是隨機變量本身服從正態(tài)分布，一個是隨機變量取對數(shù)后服從正態(tài)分布，對數(shù)正態(tài)分布相當(dāng)于正態(tài)分布經(jīng)指數(shù)變換后得到，故對數(shù)正態(tài)分布有效區(qū)間為(0,+∞)；另外，對數(shù)正態(tài)分布不再是對稱分布，且總是右偏分布，其分布均值和方差均發(fā)生了變化.下面列舉一些這兩種分布的數(shù)字特征和常用統(tǒng)計量：

①對正態(tài)分布的總體X有：

②對數(shù)正態(tài)分布的總體X有：

3 對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)σ2的區(qū)間估計和最短區(qū)間估計

眾所周知，對數(shù)正態(tài)分布是常見的一種右偏分布，由于它的非對稱性，平時所求的同等置信區(qū)間并不是最短區(qū)間，下面就針對對數(shù)正態(tài)分布的一種情形進(jìn)行討論.

μ未知時求σ2的置信區(qū)間：

(3)

求解可得σ2的1-α等尾置信區(qū)間為：

(4)

(5)

在討論最短置信區(qū)間之前，我們先引入幾個引理：

引理2[6]若f(x)為單峰連續(xù)密度函數(shù)，設(shè)其支撐區(qū)間為(a,b)，x0∈(a,b)為極大值點，由極大值點定義可知，當(dāng)x0；則對任意x1,x2∈(a,b)，且滿足af′(x2)成立.

引理3[6]在引理2成立的條件下，若x1x0(或x0>x2)，使得f(x1)=f(x2).

引理4(介值定理[7]) 設(shè)f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，如f(m)為f(x)的最小值，f(n)為f(x)的最大值，對滿足f(m)<μ

以下討論對數(shù)正態(tài)分布的未知參數(shù)σ2的最短置信區(qū)間問題：

(6)

現(xiàn)考慮引入a、b，使得

3.精讀。精讀，就是潛心地讀，反復(fù)地讀。常言說得好：讀書百遍，其義自見。精讀的目的是從讀中獲得情感體驗和創(chuàng)造性的理解，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會抓住文章中的重點句、段進(jìn)行朗讀體會。

(7)

(8)

其中f(x,n-1)為χ2(n-1)的概率密度函數(shù)，為：

(9)

下面應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求解上述問題(8)的條件最值：

首先，建立拉格朗日函數(shù)為：

令L(a,b,λ)對a,b,λ求一階偏導(dǎo)數(shù)令其等于0，可得其駐點，即：

化簡得：

(10)

(11)

聯(lián)立(10)、(11)可求得的解A(a*,b*)，即是所要求的駐點.

下面證明A點的存在性和唯一性：

(12)

對f(x,n-1)求一階導(dǎo)數(shù)，得：

(13)

令上式(13)等于0，得x**=n-3；同時可得當(dāng)x∈(0,n-3)時，f′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(n-3,+∞)時，f′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，故x**也為函數(shù)的最大值點，即有：

(14)

故對于1-a∈(0,1)(0

成立.

4 實證對比研究

取2009-2018年10年內(nèi)滬市上市公司股票市盈率(%)的數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源于EPS數(shù)據(jù)庫)X如下：

28.73，21.61，13.40，12.30，10.99，15.99，17.63，15.94，18.16，12.49.

將這些樣本數(shù)據(jù)取對數(shù)(Y=lnX)后如下：

3.36，3.07，2.60，2.51，2.40，2.77，2.87，2.77，2.90，2.52.

通過R語言進(jìn)行正態(tài)性檢驗，發(fā)現(xiàn)Y服從正態(tài)分布.現(xiàn)求尺度參數(shù)σ2的傳統(tǒng)區(qū)間估計和最短區(qū)間估計(α=0.05).

(15)

代入數(shù)值得[0.03997361061，0.28159161606]，區(qū)間長度為0.24161800545.而采用(4)、(5)求得的駐點，通過MATLAB軟件計算得A=(3.3226357,3.3275426)，進(jìn)而計算最短置信區(qū)間為[0.02285199895,0.22885746999]，區(qū)間長度為0.20600547104.

通過結(jié)果對比可知，運用最短置信區(qū)間法所計算的區(qū)間長度比運用傳統(tǒng)區(qū)間估計法所計算的區(qū)間長度縮短了0.0356125344.綜上研究，對于股票收益率來講，區(qū)間縮短了0.0356125344，這樣的估計結(jié)果更精準(zhǔn)，說明文章所研究的最優(yōu)區(qū)間估計法的實用價值.當(dāng)然，對數(shù)正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用越來越廣泛，當(dāng)需要研究參數(shù)的最優(yōu)區(qū)間估計時，上述最優(yōu)區(qū)間估計法具有廣泛的應(yīng)用價值.