于學(xué)智 聞蘇平 胡小文 王志恒 杜俊杰 王懿

（1.西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院；2.沈陽鼓風(fēng)機(jī)集團(tuán)股份有限公司；3.美的集團(tuán)中央研究院）

0 引言

小流量系數(shù)離心葉輪一般采用閉式葉輪，閉式葉輪離心壓縮機(jī)主要損失包括輪阻損失、泄漏損失和流動(dòng)損失。在小流量系數(shù)離心式壓縮機(jī)級中輪阻損失和泄漏損失所占比例尤為突出，在流量系數(shù)低于0.02時(shí)甚至超過輸入功的50%。

離心壓縮機(jī)小流量系數(shù)級基于葉片寬度的雷諾數(shù)Re（Re=U2b2/ν）是重要的特征參數(shù)，Re數(shù)的變化對級性能有顯著的影響。Wiesner人[3]總結(jié)了在各種級的幾何結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)速及各種介質(zhì)條件的雷諾數(shù)對離心壓縮機(jī)級性能的影響。指出雷諾數(shù)和相對粗糙度的變化對級性能有明顯的影響，并提出了改進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)公式。1951 年Batchelor[4]對旋轉(zhuǎn)圓盤間的不可壓縮流體的流動(dòng)特性進(jìn)行了研究，求解了無限大旋轉(zhuǎn)圓盤的微分方程組，得出當(dāng)兩個(gè)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一致時(shí)，圓盤之間的核心流體以固定的周向速度做剛體運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在兩盤附近存在兩個(gè)邊界層，通常這種流動(dòng)被稱作Batchelor 型流動(dòng)。1953 年Stewartson[5]采用數(shù)值方法研究了高速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤系統(tǒng)圓盤間的流動(dòng)。通過求解流動(dòng)控制方程發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)圓盤間隙內(nèi)的邊界層之間的流體切向速度都為零，通常這種流動(dòng)稱為Stewartson型流動(dòng)。1991年Morse等人[6-7]提出了修正低雷諾數(shù)k-ω湍流模型，并進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)圓盤內(nèi)部流動(dòng)的研究，獲得了滿意的預(yù)測結(jié)果。Owen等人[8]用數(shù)值方法求解旋轉(zhuǎn)圓盤間的流動(dòng)特性。Owen 研究發(fā)現(xiàn)，有過流情況的旋轉(zhuǎn)圓盤間隙內(nèi)，在較小的半徑區(qū)域存在Stewartson型流動(dòng)，并稱這一區(qū)域?yàn)樵磪^(qū)域，當(dāng)旋轉(zhuǎn)盤對流體的泵送能力增強(qiáng)，在較大的半徑區(qū)域形成Batchelor型流動(dòng)，并且根據(jù)湍流參數(shù)可以確定Batchelor型流動(dòng)產(chǎn)生的半徑區(qū)域。1984 年Chew[9-10]第一個(gè)用低雷諾數(shù)k-ε 模型數(shù)值研究了帶離心過流的轉(zhuǎn)靜盤系統(tǒng)流動(dòng)問題，研究結(jié)果不是很理想。主要原因是簡單的使用對數(shù)壁面函數(shù)規(guī)律連接粘性亞層引起，且由于其邊界層為三維湍流邊界層，因此近壁面完全湍流區(qū)的速度方向和壁面剪切應(yīng)力矢量方向相同的假設(shè)必然會(huì)引起較大的誤差。隨后又使用了混合長度模型對旋轉(zhuǎn)圓盤內(nèi)的流動(dòng)進(jìn)行計(jì)算，并和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)混合長度模型的預(yù)測精度較為準(zhǔn)確。

國內(nèi)也陸續(xù)開展了離心壓縮機(jī)小流量系數(shù)基本級的研究。張勇等人[11]數(shù)值研究了葉片擴(kuò)壓器在小流量系數(shù)基本級中的應(yīng)用，并和無葉擴(kuò)壓器結(jié)果進(jìn)行對比。冀春俊等人[12]對一離心壓縮機(jī)小流量系數(shù)基本級擴(kuò)壓器內(nèi)部流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值分析。馬新民等人[13]對一小流量系數(shù)離心葉輪進(jìn)行數(shù)值研究，分析了葉輪內(nèi)部二次流動(dòng)的發(fā)展過程。徐立群等人[14]數(shù)值研究了迷宮密封泄漏對小流量系數(shù)離心葉輪氣動(dòng)性能的影響。譚佳健等人[15]對一離心壓縮機(jī)模型級輪盤側(cè)和輪蓋側(cè)間隙的壓力分布和轉(zhuǎn)子的軸向力進(jìn)行了測量，發(fā)現(xiàn)在葉輪輪盤和輪蓋兩側(cè)間隙內(nèi)壓力沿著徑向成線性分布，葉輪的軸向力是由靜態(tài)力和動(dòng)態(tài)力組成，葉輪軸向力隨葉輪轉(zhuǎn)速的增大而增大。王維民[16]通過數(shù)值計(jì)算方法建立了葉輪和密封間隙的模型，分析了輪盤外側(cè)間隙流動(dòng)和壓力分布的關(guān)系，并在產(chǎn)品上進(jìn)行了驗(yàn)證。王志恒等[17]數(shù)值研究了一小流量系數(shù)離心葉輪的葉輪兩側(cè)間隙流動(dòng)，發(fā)現(xiàn)小流量系數(shù)離心葉輪性能受到密封泄漏和輪阻損失影響較大，指出在模擬時(shí)需要予以考慮。聞蘇平[18]進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)圓盤間氣體流動(dòng)數(shù)值模擬，采用不同湍流模型數(shù)值結(jié)果差異，并和實(shí)驗(yàn)對比，指出在旋轉(zhuǎn)圓盤研究中，采用SST 模型和k-ω 模型進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果更為準(zhǔn)確。因此本文采用k-ω 湍流模型對離心式壓縮機(jī)基本級葉輪外側(cè)間隙空腔及密封結(jié)構(gòu)內(nèi)的泄漏氣體流動(dòng)特征進(jìn)行數(shù)值研究。

1 數(shù)值計(jì)算

1.1 幾何模型

本文所研究的模型為小流量系數(shù)離心式壓縮機(jī)基本級，其子午結(jié)構(gòu)如圖1 所示，葉輪半徑R2=225mm，輪蓋外側(cè)密封前端半徑R1in=124mm，輪盤外側(cè)密封半徑為R2in=98mm。密封1 的齒間距為5mm，齒數(shù)為5，密封間隙為0.3mm。密封2 齒間距為4mm，密封間隙為0.25mm，密封齒數(shù)為5。

圖1 模型級子午幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Meridian geometry structure of model stage

1.2 網(wǎng)格劃分

對葉輪的輪盤、輪蓋外側(cè)間隙及葉輪輪蓋、輪盤處的密封均進(jìn)行建模，采用分塊結(jié)構(gòu)化的方法對級生成高質(zhì)量網(wǎng)格。為減小交界面處的插值誤差，劃分網(wǎng)格時(shí)盡量使交界面處網(wǎng)格均勻分布，并使交界面兩邊的網(wǎng)格在各個(gè)方向上網(wǎng)格分布基本一致。為了準(zhǔn)確獲取固體壁面的壓力，在壁面處設(shè)置了邊界層網(wǎng)格，以保證在計(jì)算過程中所有靠近壁面的第一層網(wǎng)格均落在粘性底層，即Y+值在10 以下。邊界層第一層網(wǎng)格厚度為0.01mm，邊界層網(wǎng)格最小正交性15.5，最大長寬比2053，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)總數(shù)6253159 個(gè)。流場計(jì)算網(wǎng)格如圖2和圖3所示。

圖2 模型級單通道網(wǎng)格模型Fig.2 Single-channel grid model of model stage

圖3 模型級網(wǎng)格子午投影圖Fig.3 Grid meridian projection of Model stage

1.3 數(shù)值方法及邊界條件

湍流模型選用k-ω 方程。為減小數(shù)值擴(kuò)散引起的誤差，密度、動(dòng)量、湍動(dòng)能、湍流耗散率、擴(kuò)散項(xiàng)和能量對應(yīng)的輸運(yùn)方程的對流項(xiàng)均采用二階中心差分格式進(jìn)行離散。采用空氣作為介質(zhì)進(jìn)行分析，氣體狀態(tài)方程采用理想氣體狀態(tài)方程。

輪蓋外側(cè)結(jié)構(gòu)進(jìn)口按基本級葉輪出口的CFD相應(yīng)計(jì)算結(jié)果給定靜壓，出口給定總溫總壓條件。輪盤外側(cè)密封結(jié)構(gòu)出口給定靜壓，進(jìn)口給定總溫總壓。壁面邊界條件設(shè)置為固定壁面、絕熱、無滑移。當(dāng)全局殘差達(dá)到10-6時(shí)認(rèn)為計(jì)算收斂。

2 泄漏損失計(jì)算

2.1 泄漏損失模型

Japikse[19]曾給出通過葉輪前后空腔和迷宮密封泄漏量的簡單計(jì)算模型。無論是輪盤還是輪蓋側(cè)，葉輪出口和密封位置的速度和靜壓都可以寫成相對總壓力守恒表達(dá)式。相對總壓力是可壓縮流體轉(zhuǎn)子焓的不可壓縮當(dāng)量，以輪蓋側(cè)密封為例，可得到如下方程式：

式（1）必須給定葉輪外側(cè)空腔中的相對速度，包括葉頂處和密封位置處的相對速度。通常相對速度很難給定，因此只能使用近似表達(dá)式。每個(gè)位置的相對速度可以近似表示為當(dāng)?shù)厝~輪圓周速度的分?jǐn)?shù)（W=FU），可以假定葉頂和密封位置的相對速度也為當(dāng)?shù)厝~輪圓周速度的一個(gè)分?jǐn)?shù)。那么可得到如下表達(dá)式：

則密封前端的壓力可表示成：

經(jīng)過密封結(jié)構(gòu)的靜壓差（P1-）由式（3）將以上公式密度平均值上面的斜杠簡化掉。靜壓能通?？梢允褂妹芊饨Y(jié)構(gòu)的動(dòng)能分?jǐn)?shù)表示，則可以得到如下方程：

則有：

泄漏流量表示為：

因此泄漏量可表示成空腔F2因子和損失系數(shù)CS的函數(shù)。早期F2因子通常采用0.25，而Stepanoff[20]在水泵中使用F2為0.75，因此推薦將實(shí)際運(yùn)行情況下測量通過密封結(jié)構(gòu)前后氣體的靜壓，通過這個(gè)壓差可以推導(dǎo)出不同測量數(shù)據(jù)下的F2因子。在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中，F(xiàn)2因子的范圍在0.09～0.81之間。使用Japikse的這個(gè)模型可以用來粗略地估算泄漏損失，他的模型中還有一個(gè)損失系數(shù)CS需要估算。

對迷宮密封結(jié)構(gòu)的泄漏流量計(jì)算，Egli[21]也提供了一個(gè)計(jì)算公式：

式中，A為密封齒與葉輪形成的通流面積；CD為流動(dòng)系數(shù)，通常取0.67～0.95；n為密封齒數(shù)；Pin為密封前靜壓；Pout為密封后靜壓。

泄漏損失和密封齒數(shù)、密封間隙大小和密封結(jié)構(gòu)的壓差直接相關(guān)。而且當(dāng)葉輪工作流量越小時(shí)，壓差越大，而且泄漏量增大迅速，泄漏損失相應(yīng)也越大。

假定忽略氣流節(jié)流時(shí)的損失及齒間隙前后的可壓縮性時(shí)，提供了一種關(guān)于密封泄漏量的計(jì)算公式，當(dāng)密封間隙中的氣流速度小于聲速時(shí)，漏氣量采用：

考慮氣體膨脹時(shí)，由于摩擦引起的損失以及氣流在間隙中所獲得的動(dòng)能，并不能在隨后的空腔中完全轉(zhuǎn)化為熱能，而有部分轉(zhuǎn)化成壓能的因素。D為間隙的平均直徑，s為間隙大小，分別為密封結(jié)構(gòu)前的比容和靜壓，n為密封齒數(shù)，P1為密封結(jié)構(gòu)后的靜壓。顯然這個(gè)公式中密封前后的靜壓，密封前的壓力也是需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式得到的，可應(yīng)用Japikse[19]的方法。

當(dāng)密封間隙中的氣流速度出現(xiàn)聲速時(shí)，一般聲速最先出現(xiàn)在第一個(gè)密封間隙中，泄漏量采用如下公式：

計(jì)算密封泄漏時(shí)，首先應(yīng)該判斷密封結(jié)構(gòu)中的氣流是否已經(jīng)達(dá)到音速，然后選擇不同的公式計(jì)算漏氣量?？捎萌缦屡R界壓力公式來判斷：

密封前后壓力比為上式倒數(shù)，當(dāng)壓力比超過上式的倒數(shù)時(shí)，表面氣流已經(jīng)達(dá)到聲速。

顯然利用泄漏損失模型進(jìn)行簡單的泄漏量估算是均需要對一些系數(shù)進(jìn)行確定，最直接的方式可以通過實(shí)驗(yàn)來確定，然而在實(shí)際情況下，這種實(shí)驗(yàn)難度較大，因此，本節(jié)使用數(shù)值計(jì)算來研究基本級的密封泄漏結(jié)構(gòu)的流動(dòng)問題。

2.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

在機(jī)器馬赫數(shù)為0.6 時(shí)，葉輪在三個(gè)不同工作流量下的密封結(jié)構(gòu)的數(shù)值計(jì)算獲得的壓力場如圖4所示，這三個(gè)流量分別對應(yīng)0.72Qdes、1.0Qdes、1.5Qdes。其中Qdes為葉輪設(shè)計(jì)流量。從圖4 可以看出，在輪蓋密封結(jié)構(gòu)空腔中的靜壓從葉輪外徑往內(nèi)半徑方向逐漸降低，壓力梯度隨葉輪流量增大略減小，且葉輪外側(cè)空腔中靜壓沿軸向幾乎沒有壓力梯度，壓力等值線近似為水平。盡管從流量3 到流量1 的密封壓差相差3 倍，空腔中的壓力差卻變化很小。因此，類似旋轉(zhuǎn)圓盤結(jié)構(gòu)的空腔具有穩(wěn)定的維持從葉輪出口到密封結(jié)構(gòu)前端截面的壓降能力。

圖4 不同工作流量工況下葉輪輪蓋密封結(jié)構(gòu)壓力分布圖Fig.4 Pressure distribution diagrams of impeller shroud seal structure under different working flow conditions

臺(tái)階迷宮密封結(jié)構(gòu)內(nèi)部的溫度場分布如圖5所示，當(dāng)葉輪工作在大流量時(shí)，葉輪出口壓力不高，導(dǎo)致葉輪進(jìn)出口壓差小，泄漏量會(huì)降低，葉輪輪蓋外側(cè)面與氣流摩擦做功大部分轉(zhuǎn)化成氣體內(nèi)能，因此，葉輪在大流量工況下臺(tái)階密封結(jié)構(gòu)內(nèi)部的溫度高于設(shè)計(jì)流量和小流量工況的溫度。由圖5還可以看出，臺(tái)階密封前后的溫度變化不大，略微有些升高，可近似為一個(gè)等溫過程。臺(tái)階密封結(jié)構(gòu)的流線分布在圖6 中表示出來。在不同的葉輪工作流量下流體通過密封齒間隙后突擴(kuò)形成一個(gè)順時(shí)針方向的大渦和一個(gè)由于臺(tái)階導(dǎo)致的逆時(shí)針方向的小渦。通過這些渦結(jié)構(gòu)使得壓能在每個(gè)密封齒后面的小空腔中損失掉而轉(zhuǎn)化成熱量。

圖5 不同葉輪流量工況下的臺(tái)階密封結(jié)構(gòu)溫度場Fig.5 Temperature fields of step seal structure under different impeller flow rate conditions

圖6 不同葉輪流量工況下的臺(tái)階密封結(jié)構(gòu)流線Fig.6 Streamlines of step seal structure under different impeller flow rate conditions

圖7 給出了機(jī)器馬赫數(shù)分別為0.6，0.7 和0.8，在葉輪設(shè)計(jì)流量工況下，三個(gè)不同相對半徑位置r*（r*=r/r2，r為徑向半徑，r2為葉輪出口半徑，在臺(tái)階密封結(jié)構(gòu)前端位置對應(yīng)的r*=0.551）的相對周向速度Vt*和相對徑向速度Vr*分布情況。與閉式旋轉(zhuǎn)圓盤系統(tǒng)相似，周向速度Vt*分布也表現(xiàn)出三層結(jié)構(gòu)的流動(dòng)型式。但是由于泄漏流量的存在使得徑向速度Vr*在間隙內(nèi)不存在徑向速度為0的核心區(qū)。在機(jī)器馬赫數(shù)分別為0.6，0.7和0.8下，密封空腔中的周向相對速度Vt*和徑向相對速度Vr*分布型態(tài)幾乎完全相同，說明對同一個(gè)密封空腔結(jié)構(gòu)，周向速度Vt*和徑向速度Vr*基本不隨葉輪轉(zhuǎn)速的變化而變化。

圖7 設(shè)計(jì)流量下不同機(jī)器馬赫數(shù)周向相對速度和徑向相對速度分布Fig.7 Circumferential relative velocity and radial relative velocity distributions of different Mach numbers at design flow rate

圖8是不同馬赫數(shù)下F2因子隨葉輪的流量工況的關(guān)系。圖中顯示對于具有相同密封空腔結(jié)構(gòu)的葉輪，機(jī)器馬赫數(shù)的變化對F2因子的影響很小，且葉輪流量的變化對F2因子的影響可以忽略，僅在流量非常大時(shí)，F(xiàn)2因子隨流量增大略有增加。除在大流量下，所研究的流量系數(shù)為0.01028 的基本級葉輪輪蓋的空腔F2因子的數(shù)值范圍為0.74～0.76，與Stepanoff[20]給出的水泵中的F2=0.75 非常接近。因此在估算小流量系數(shù)離心葉輪輪蓋密封結(jié)構(gòu)前的壓力時(shí)，選取F2=0.75是合理的。

圖8 輪蓋密封空腔中的F2因子Fig.8 The impeller shroud seal F2 factor of the cavity

圖9 所示的是在機(jī)器馬赫數(shù)為0.6 時(shí)，葉輪設(shè)計(jì)流量Qdes下輪盤側(cè)密封結(jié)構(gòu)中的壓力分布，可以看到和輪蓋密封結(jié)構(gòu)的壓力分布不同，在輪盤密封結(jié)構(gòu)中，壓力分布呈凹形，也就是說葉輪出口和回流器壓力都較高，而輪盤外側(cè)空腔底部位置壓力最低。盡管泄漏方向是從回流器到葉輪出口方向，但是葉輪出口壓力是高于輪盤空腔內(nèi)半徑處的壓力的，并靠輪盤的旋轉(zhuǎn)作用保持這個(gè)壓力梯度。和輪蓋外側(cè)空腔相比還有一個(gè)不同是輪盤外側(cè)空腔呈現(xiàn)大半徑處的大壓力梯度，而輪蓋外側(cè)空腔中的壓力梯度幾乎一致。從密封齒位置的壓力分布放大圖可以看到，密封齒的節(jié)流作用使得密封結(jié)構(gòu)前后保持大的壓力梯度，密封的作用是通過節(jié)流的過程達(dá)到，而密封齒之間的各個(gè)小空腔內(nèi)壓力變化很小。

圖9 輪盤密封壓力分布Fig.9 Disc seal pressure distributions

定義相對泄漏量為密封結(jié)構(gòu)，實(shí)際泄漏質(zhì)量與通過葉輪實(shí)際流量的比值。數(shù)值計(jì)算得到的輪蓋外側(cè)和輪蓋外側(cè)的相對泄漏量曲線如圖10 所示。圖中顯示，隨著葉輪流量的增加，相對泄漏量逐漸降低，這主要是由于葉輪流量增加以及葉輪出口壓力隨葉輪流量增加而逐漸降低等因素造成的。

圖10 輪蓋和輪盤側(cè)相對泄漏量隨葉輪流量變化曲線Fig.10 The relationship between the relative leakage rate of the shroud and the disc side and the impeller flow rate

機(jī)器馬赫數(shù)對葉輪輪盤和輪蓋外側(cè)的泄漏量影響不大，隨機(jī)器馬赫數(shù)的增大略增加。在葉輪設(shè)計(jì)流量工況下，輪蓋密封產(chǎn)生的泄漏量約為葉輪流量的4.5%，輪盤密封產(chǎn)生的泄漏量約為葉輪流量的2.7%。顯然輪蓋密封泄漏量占泄漏損失的主要部分。而輪盤密封的泄漏量同樣不可忽視，相對輪蓋密封結(jié)構(gòu)的泄漏量而言，輪盤外側(cè)泄漏量約為輪蓋密封泄漏量的一半還多。

3 輪蓋側(cè)輪阻損失計(jì)算與分析

葉輪輪阻損失通過計(jì)算葉輪外側(cè)面所受轉(zhuǎn)動(dòng)扭矩求得?？梢园讶~輪看成一個(gè)旋轉(zhuǎn)圓盤系統(tǒng)。而輪蓋側(cè)的密封結(jié)構(gòu)可以分成兩部分：從密封結(jié)構(gòu)前端到葉輪進(jìn)口和從葉輪出口到密封結(jié)構(gòu)前端。通常把后一部分結(jié)構(gòu)等效成轉(zhuǎn)靜盤系統(tǒng)進(jìn)行研究，其轉(zhuǎn)靜盤系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤扭矩占據(jù)輪蓋外側(cè)扭矩的主要組成部分。

目前計(jì)算圓盤扭矩有兩種辦法，第一種通過分析轉(zhuǎn)靜盤流動(dòng)，通過計(jì)算帶動(dòng)系數(shù)K并利用Haaser等人[22]的公式得到；第二種采用Daily 等人[23]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)公式得到。

轉(zhuǎn)靜盤系統(tǒng)的流動(dòng)受間隙比（G=s/R）和旋轉(zhuǎn)雷諾數(shù)Re=ωr2/v這兩個(gè)幾何參數(shù)以及流量、進(jìn)口預(yù)旋等流動(dòng)參數(shù)控制。假設(shè)G＜＜1且Re＞＞1，對應(yīng)于旋轉(zhuǎn)圓盤分區(qū)流動(dòng)中的分離邊界層湍流區(qū)Ⅳ（Batchelor 型流動(dòng)）。則可以將輪蓋外側(cè)以及腔體分別對應(yīng)于旋轉(zhuǎn)圓盤的轉(zhuǎn)盤與靜盤，則摩擦扭矩可表示為：

切向摩擦應(yīng)力定義為：

摩擦系數(shù)采用Haaser 等人[2-6]在文獻(xiàn)中提出的通用表達(dá)式：

對轉(zhuǎn)靜盤系統(tǒng)有：

顯然，如果驅(qū)動(dòng)系數(shù)K為已知，那么輪蓋外側(cè)面的摩擦扭矩就可以計(jì)算出來，問題的關(guān)鍵在于帶動(dòng)系數(shù)K的準(zhǔn)確計(jì)算。根據(jù)前人的研究，驅(qū)動(dòng)系數(shù)K不僅是葉輪半徑的函數(shù)，而且和葉輪流量和預(yù)旋值有關(guān)。

Poncet 等人[24]在文獻(xiàn)中將流量Qt和帶動(dòng)系數(shù)K聯(lián)系起來。根據(jù)文獻(xiàn)[25]假設(shè)邊界層的速度分布滿足經(jīng)典的1/7指數(shù)規(guī)律。那么摩擦系數(shù)Cf可以根據(jù)文獻(xiàn)[26]Dean 方程給出：Cfmean=，其中Remean為基于Umean的雷諾數(shù)，此時(shí)Ekman 邊界層的平均周向速度為Umean=(1+K)ωr/2，特征長度為Ekman邊界層厚度δE，則摩擦應(yīng)力為：

通過標(biāo)識(shí)壁面上的剪應(yīng)力形成的角度為α，剪應(yīng)力的周向分量可表示為：

切應(yīng)力的徑向分量可以通過邊界層控制容積的離心力和切應(yīng)力平衡獲得：

假設(shè)流線的角度α沿著半徑基本保持不變，則對于Ekman邊界層有：

然后假設(shè)B?dewadt邊界層徑向摩擦由徑向流量QB決定，并假設(shè)在核心區(qū)的徑向速度為0（這個(gè)假設(shè)對于Batchelor型流動(dòng)是滿足的），由連續(xù)性方程有：

式中，Qt為旋轉(zhuǎn)圓盤的總流量；VE為Ekman 邊界層的平均速度，和邊界層的最大速度成正比（VE=βωr）。

使用以上方程可以得到：

定義一個(gè)新參數(shù)Cqr=，其中Rer=ωr2/ν為當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)，那么K的最終表達(dá)式為：

其中，a和b為實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù)，b可以通過讓系統(tǒng)的流量為0時(shí)的K值計(jì)算求得。然而a和b的值隨進(jìn)口預(yù)旋的不同而改變。

除了以上先通過計(jì)算帶動(dòng)系數(shù)K來計(jì)算圓盤扭矩的辦法外，對有過流量的旋轉(zhuǎn)圓盤系統(tǒng)Daily 等人[23]做過研究，實(shí)驗(yàn)擬合給出了在間隙比G分別為0.0276、0.069和0.124，湍流參數(shù)λturb為0～0.06之間時(shí)測量扭矩系數(shù)結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)公式：

其中，λturb=CwRe-0.8為湍流流動(dòng)參數(shù)；K*為無過流時(shí)的帶動(dòng)系數(shù)；Cw=mleak/(μr2)為無量綱流量。本文的λturb為0.06，間隙比G為0.0178，然而Daily 等的公式未考慮流動(dòng)預(yù)旋的影響，因此本文對考慮進(jìn)口預(yù)旋時(shí)的計(jì)算扭矩系數(shù)進(jìn)行了研究，并提出計(jì)算扭矩系數(shù)的公式。

4 預(yù)旋對扭矩系數(shù)的分析

輪蓋外側(cè)密封空腔流動(dòng)時(shí)，必須考慮進(jìn)口流體預(yù)旋對輪蓋空腔內(nèi)流動(dòng)的影響。預(yù)旋Kp定義為Kp=Vt2/ωr2，其中Vt2為葉輪出口周向速度。圖11 給出了機(jī)器馬赫數(shù)為0.6時(shí)，不同進(jìn)口預(yù)旋對輪蓋外側(cè)空腔內(nèi)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)的影響，為顯示方便將徑向尺寸進(jìn)行壓縮?？梢钥吹剿羞M(jìn)入輪蓋外側(cè)空腔的流體很快進(jìn)入靜盤側(cè)（左邊）邊界層，隨后部分流體離開靜盤側(cè)邊界層，穿過核心區(qū)進(jìn)入轉(zhuǎn)盤側(cè)邊界層，部分流體則直接進(jìn)入齒形密封結(jié)構(gòu)。在空腔內(nèi)部則形成旋渦，隨著進(jìn)口預(yù)旋的增大，空腔內(nèi)旋渦中心漸漸遠(yuǎn)離進(jìn)口區(qū)。當(dāng)無進(jìn)口預(yù)旋時(shí)，在空腔內(nèi)形成一個(gè)旋渦，而當(dāng)進(jìn)口預(yù)旋增加到1時(shí)，空腔頂部又出現(xiàn)一個(gè)小旋渦。

圖11 不同預(yù)旋對輪蓋密封空腔內(nèi)流線的影響Fig.11 The influence of different prewhirl on the streamline in the shroud seal cavity

由預(yù)旋引起的這種流動(dòng)形式的改變必將引起空腔內(nèi)部的帶動(dòng)系數(shù)K發(fā)生變化。圖12給出了機(jī)器馬赫數(shù)為0.6時(shí)，在葉輪設(shè)計(jì)流量下的不同輪蓋密封進(jìn)口氣流預(yù)旋對輪蓋空腔中的帶動(dòng)系數(shù)K隨Cqr的變化曲線。圖中可以看到進(jìn)口預(yù)旋對帶動(dòng)系數(shù)K的影響，在接近輪緣處（Cqr=0.004），帶動(dòng)系數(shù)隨進(jìn)口預(yù)旋增大急劇地增大。且隨半徑減小，帶動(dòng)系數(shù)K隨進(jìn)口預(yù)旋量的增加而增加的速度越來越接近。在Ponect 等人[24]的研究中給出了他們的實(shí)驗(yàn)關(guān)系式為K=-1。

本文也采用和Ponect 等人[24]相似的關(guān)系式K=-1 來擬合圖12 中進(jìn)口預(yù)旋為0 時(shí)的情況，得到下式：

擬合的結(jié)果為：a=5.32，b=0.63。擬合的b值和Ponect 等人[24]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致，擬合的a偏小。產(chǎn)生差異的主要原因是不同的幾何結(jié)構(gòu)以及氣體的可壓縮性造成的。注意到本文擬合的公式（23）在Cqr=0 也就是說無系統(tǒng)過流量時(shí)，可以得到K=0.438，Owen[8]總結(jié)層流解的K=0.382，Daily[23]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為0.42～0.475。

盡管在預(yù)旋為0的情況下，K值可以以Cqr的5/7次方的規(guī)律表達(dá)出來，但是從圖12中可以看到，隨著預(yù)旋的增加，在大半徑處（對應(yīng)于小的Cqr）越來越偏離以上擬合方程（23）。因此在大預(yù)旋的情況下，K值用式（23）計(jì)算則誤差較大，必然對計(jì)算輪蓋摩擦扭矩帶來較大的誤差，而實(shí)際葉輪輪盤側(cè)密封進(jìn)口預(yù)旋并不為0。

圖12 不同進(jìn)口預(yù)旋時(shí)K與Cqr的變化關(guān)系Fig.12 The relationship between K and Cqr with different inlet prewhirl

為評價(jià)進(jìn)口預(yù)旋對輪蓋外側(cè)摩擦扭矩及扭矩系數(shù)的影響，圖13 給出了在葉輪設(shè)計(jì)流量下三個(gè)機(jī)器馬赫數(shù)Mu的摩擦扭矩及扭矩系數(shù)隨預(yù)旋的變化關(guān)系。扭矩系數(shù)定義為：

圖13 輪蓋外側(cè)扭矩與扭矩系數(shù)隨進(jìn)口預(yù)旋的變化Fig.13 The torque and torque coefficient of the outer side of the impeller shroud vary with the Prewhirl of the inlet

式中，A為輪蓋外側(cè)面面積。

從圖13可以看出預(yù)旋對輪蓋扭矩以及扭矩系數(shù)CM產(chǎn)生顯著的影響，在進(jìn)口預(yù)旋為0.25附近，在所有機(jī)器馬赫數(shù)下的扭矩系數(shù)CM均出現(xiàn)最大值，隨著進(jìn)口預(yù)旋的進(jìn)一步增加葉輪輪蓋側(cè)扭矩系數(shù)CM逐漸降低。輪蓋扭矩隨轉(zhuǎn)速的增大而增大，扭矩系數(shù)隨轉(zhuǎn)速的增大（因?yàn)樾D(zhuǎn)雷諾數(shù)Re也增大）而減小。

Daily[23]公式考慮了過流量、間隙比和雷諾數(shù)變化對圓盤扭矩系數(shù)CM的影響，但并未考慮進(jìn)口預(yù)旋對扭矩系數(shù)的影響。這里根據(jù)扭矩系數(shù)的計(jì)算結(jié)果來擬合扭矩和進(jìn)口預(yù)旋的關(guān)系，并修正經(jīng)驗(yàn)公式得到計(jì)算輪蓋外側(cè)輪阻扭矩系數(shù)的計(jì)算公式如下：

其中，Kp為輪蓋密封進(jìn)口的預(yù)旋值系數(shù)。

圖14出了式（25）得出的扭矩系數(shù)與進(jìn)口預(yù)旋的關(guān)系曲線，點(diǎn)數(shù)據(jù)為數(shù)值計(jì)算的扭矩系數(shù)CM，曲線為式（25）的結(jié)果。通過計(jì)算葉輪外側(cè)面的扭矩并利用公式（24）計(jì)算求得。在三個(gè)機(jī)器馬赫數(shù)下，與數(shù)值計(jì)算的比較可以看出，Daily 的公式考慮加入進(jìn)口預(yù)旋后的結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果符合較好，誤差最大出現(xiàn)在預(yù)旋為0.2附近，當(dāng)進(jìn)口預(yù)旋大于0.7時(shí)，誤差很小，而對實(shí)際葉輪輪蓋的進(jìn)口預(yù)旋通常接近0.7。因此，采用本文修正的方程可以較準(zhǔn)確地計(jì)算出輪蓋外側(cè)的扭矩系數(shù)CM。

圖14 扭矩系數(shù)隨進(jìn)口預(yù)旋的變化Fig.14 The variation of torque coefficient with the inlet prewhirl

5 結(jié)論

本文應(yīng)用預(yù)測轉(zhuǎn)靜盤系統(tǒng)流動(dòng)準(zhǔn)確度較高的標(biāo)準(zhǔn)k-ω 模型研究了小流量系數(shù)基本級的葉輪外側(cè)迷宮密封空腔結(jié)構(gòu)內(nèi)流，進(jìn)行了泄漏損失和輪阻損失的計(jì)算。通過研究結(jié)果的分析可以得出以下結(jié)論：

1）泄漏流量可以通過Japikse[19]文中的簡單模型近似計(jì)算，葉輪輪蓋的空腔F2因子范圍為0.74～0.76，與Stepanoff等人[20]在水泵中使用F2=0.75非常接近。

2）當(dāng)有預(yù)旋存在時(shí)，葉輪輪蓋空腔的帶動(dòng)系數(shù)K并不像Poncet[24]文中所述的流量參數(shù)Cqr呈現(xiàn)5/7指數(shù)關(guān)系，只有當(dāng)預(yù)旋為0時(shí)，才存在5/7指數(shù)關(guān)系。

3）通過考慮預(yù)旋的影響，修正了Daily[23]的計(jì)算旋轉(zhuǎn)扭矩CM經(jīng)驗(yàn)公式，在三個(gè)機(jī)器馬赫數(shù)下的數(shù)值驗(yàn)證了修正公式的準(zhǔn)確性，提出了可以用來準(zhǔn)確計(jì)算輪蓋外側(cè)扭矩系數(shù)CM的計(jì)算公式。