張 翾, 馮海林
(西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西西安710126)
在全球大力發(fā)展可再生資源的背景下,鋰離子電池因其具有高能量密度、低自放電率、可循環(huán)使用等優(yōu)點(diǎn)得到極大關(guān)注和快速發(fā)展[1]。鋰電池不僅是目前很多電子設(shè)備的重要構(gòu)件,也是未來航天航空等領(lǐng)域的重要能源供給,其性能安全問題不容忽視[2,3]。因此,對鋰電池進(jìn)行健康管理至關(guān)重要,而健康管理的核心思想就是對其剩余使用壽命(remaining using life, RUL)進(jìn)行預(yù)測[3,4]。
鋰電池的RUL預(yù)測大致可以分為兩類:基于模型的方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法[5]。
基于模型的方法大多建立在電池電化學(xué)機(jī)理的研究基礎(chǔ)上,通過分析電池的退化現(xiàn)象或構(gòu)建等效電路而建立數(shù)學(xué)模型,常用的模型有基于Wiener過程的模型[6,7],Thevenin模型[8,9],自回歸模型[10]等。然而電池內(nèi)部的電化學(xué)反應(yīng)較為復(fù)雜通常是難以精準(zhǔn)模擬的,在一定條件下建立的模型會(huì)限制預(yù)測精度,產(chǎn)生較大的建模誤差。而等效電路模型雖然易于建立和實(shí)現(xiàn),但是模型中往往包含一些電池的內(nèi)部參數(shù)和老化參數(shù),測量十分耗時(shí)[11]??傮w而言,基于模型的方法需要大量電池退化實(shí)驗(yàn)的測試數(shù)據(jù),難以實(shí)施。
隨著人工智能的快速發(fā)展,數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法越來越受到學(xué)者們青睞[12]。與基于模型的方法相比,數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法是非參數(shù)的,一般不涉及到電化學(xué)原理,只需收集歷史數(shù)據(jù)就可以構(gòu)建數(shù)據(jù)與系統(tǒng)健康之間的關(guān)系,因此在實(shí)際應(yīng)用中更易于使用[13]。機(jī)器學(xué)習(xí)方法在電池RUL預(yù)測中得到了廣泛應(yīng)用,如支持向量機(jī)[14],神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15~17]和相關(guān)向量機(jī)[18,19](relevance vector machine, RVM)等。但通常情況下,大多數(shù)機(jī)器學(xué)習(xí)方法只支持點(diǎn)預(yù)測而無法支持概率預(yù)測,RVM算法為基于貝葉斯模型的監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)算法,可以提供概率密度函數(shù)(probability density function, PDF),泛化能力強(qiáng),適用于小樣本數(shù)據(jù)。
關(guān)于鋰電池剩余壽命的相關(guān)研究大多集中在開發(fā)和優(yōu)化各種算法上,以提高預(yù)測的精度和效率,這些算法通常利用電池的容量或內(nèi)阻作為健康指標(biāo)(health indicator, HI)[12,20]。但容量和內(nèi)阻的測量不僅對環(huán)境條件有嚴(yán)格要求,而且需要昂貴且精確的測量儀器[21],這使得在線測量容量和內(nèi)阻幾乎難以實(shí)施,為鋰電池進(jìn)行在線預(yù)測壽命帶來了極大困難,迫切需要尋找其它方法來評估電池健康狀態(tài)。
從現(xiàn)有的在線監(jiān)測參數(shù)中提取出反映電池容量和內(nèi)阻變化的間接HI也許會(huì)為電池的RUL預(yù)測帶來新方法。相比于鋰電池RUL預(yù)測算法的研究,這方面的研究至今還較少[22]。Widodo等[23]提出一種基于放電電壓樣本熵特性的方法對電池的健康狀態(tài)進(jìn)行評估;Liu等[24]通過分析恒流放電時(shí)電壓的變化趨勢,提取等放電電壓差的時(shí)間間隔作為HI來描述電池的退化;Zhao等[25]發(fā)現(xiàn)等充電電壓差的時(shí)間間隔和等放電電壓差的時(shí)間間隔這2個(gè)在線可測量變量在電池充放電循環(huán)時(shí)具有規(guī)律性退化特征,并以此作為新的HI;Zhou等人[26]在量化容量退化時(shí)選擇500~1500 s之間的平均電壓衰減作為HI;Jia等[27]從鋰電池充放電過程中提取與容量衰減相關(guān)的多個(gè)可測退化HI,通過分析選取與電池容量相關(guān)性較高的HI來克服電池容量不可測的問題,進(jìn)而表征電池的健康狀態(tài)。
從已有研究工作可以看出,提取的新HI應(yīng)易于在線測量和計(jì)算,能較好反映出電池容量和內(nèi)阻的變化特點(diǎn),以便更好地表述電池的退化過程。為此,本文研究了鋰電池放電過程中在線可測參數(shù)的變化規(guī)律,建立了與電池容量相關(guān)的線性統(tǒng)計(jì)模型,并通過Box-Cox變換修正了因模型和數(shù)據(jù)帶來的誤差影響,進(jìn)一步建立了基于新HI的鋰電池退化過程模型,最后利用RVM算法實(shí)現(xiàn)了鋰電池的RUL預(yù)測。
采用NASA PCoE提供的第二代18650型號(hào)的電池?cái)?shù)據(jù)[28],實(shí)驗(yàn)中5號(hào)鋰離子電池在室溫下進(jìn)行168次充放電循環(huán)操作[3],充電過程為電池在1.5 A恒流模式下充電,直到電池電壓上升至4.2 V,接著在 4.2 V恒壓模式下充電,直到充電電流下降至20 mA。放電過程為電池在2 A恒流模式下進(jìn)行放電,直到電池電壓降至2.7 V。鋰電池不斷進(jìn)行充放電循環(huán),當(dāng)電池的容量從2 Ah下降到1.4 Ah,即下降了自身容量的30%時(shí)認(rèn)為其壽命終止(end of life, EOL)。
對于一個(gè)新的鋰電池而言,剛開始充滿電的狀態(tài)下電池的放電時(shí)間是最長的,但隨著不斷地充放電,電池的容量逐漸減少,導(dǎo)致完全充滿電后的放電時(shí)間會(huì)越來越短。圖1顯示了電池容量隨充放電循環(huán)而不斷下降的情景,圖2為鋰電池放電過程的電壓曲線圖。
圖1 電池容量退化曲線圖Fig.1 Capacity degradation curve of battery
圖2 放電電壓變化曲線Fig.2 Discharge voltage change curve
從圖2鋰電池的恒流放電過程可以看出,在一定范圍內(nèi),放電電壓隨時(shí)間的增加呈指數(shù)下降趨勢,但降到某一拐點(diǎn)后,電壓快速下降至最低點(diǎn)。并且由于電池的自身保護(hù)機(jī)制,電壓在降至最低點(diǎn)后有一定程度的上升,形成自回電階段[25],最后當(dāng)電壓回升至這個(gè)階段最高點(diǎn)時(shí),意味著電池的放電過程結(jié)束。另一方面,隨著循環(huán)的增加,自回電階段的電壓曲線也呈規(guī)律性變化。由于電壓快速下降階段對擬合結(jié)果影響甚微,因此選取4.0~3.5 V的部分電壓建立式(1)所示指數(shù)模型,以描述放電階段電壓的變化;同時(shí)選取自回電階段的電壓建立式(2)所示對數(shù)模型描述該階段電壓變化。
V1j(t)=A1j·exp(B1jt1j)+C1j+ε1j
(1)
V2j(t)=A2j·ln(B2jt2j)+C2j+ε2j
(2)
式中:j=1,2,…,n為放電周期;n為充放電周期數(shù);V1j(t)、V2j(t)為電池電壓;A、B和C為模型參數(shù);t1j和t2j分別為放電和自回電時(shí)間;ε1j和ε2j分別為模型誤差。
圖2中還可以看出,不同周期的放電階段和自回電階段的電壓變化速率(voltage change rate,VCR)發(fā)生了改變。因此,可以以放電和自回電階段的電壓變化速率VCR1、VCR2表示模型參數(shù),即B1j=R1j,B2j=R2j,其中,R1j和R2j分別為VCR1和VCR2的電壓變化速率值。
為了避免模型在擬合時(shí)出現(xiàn)復(fù)數(shù)值與過擬合的現(xiàn)象,可以以模型反函數(shù)進(jìn)行替換,并利用各放電過程的相關(guān)監(jiān)測電壓和周期數(shù),通過擬合確定模型的參數(shù),即
R1={R11,R12,…,R1n}
(3)
R2={R21,R22,…,R2n}
(4)
式中:n為放電周期數(shù);R1和R2為放電階段和自回電階段的電壓變化速率序列。
根據(jù)式(3)和(4)可以得到VCR1、VCR2與循環(huán)周期之間的關(guān)系,如圖3所示。從圖3中可以看出,VCR1隨著循環(huán)次數(shù)的增加而不斷減小,而VCR2隨著循環(huán)次數(shù)的增加而不斷增大。
圖3 電壓變化速率與循環(huán)周期關(guān)系示意圖Fig.3 Relationship between voltage change rate and cycles
數(shù)據(jù)處理中VCR1和VCR2隨周期的變化趨勢與電池容量隨周期的變化趨勢有著極大的相關(guān)性,VCR1和VCR2與電池原始容量的關(guān)系如圖4所示,可以看出,它們分別與電池容量之間存在著某種可修正的準(zhǔn)線性關(guān)系,為此,文中首先進(jìn)行線性關(guān)系修改,以使評估結(jié)果更加準(zhǔn)確。
圖4 電池原始容量與電壓變化速率的關(guān)系示意圖Fig.4 Relationship between battery capacity and voltage change rate
首先用電池原始容量與VCR1和VCR2的關(guān)系建立回歸模型,即
(5)
式中:C為電池容量;X1=[1,R1];X2=[1,R2];β1=[β10,β11]T;β2=[β20,β21]T;ε1和ε2為誤差向量,滿足高斯-馬爾科夫假設(shè)。
由于不確定因素的影響,模型(5)依然可能存在誤差,為了更好地反映VCR1和VCR2與電池容量之間的關(guān)系,并修正模型數(shù)據(jù)誤差的影響,文中對容量數(shù)據(jù)C進(jìn)行Box-Cox變換[29,30],修正模型(5)為
C(λi)=Xiβi+εi
(6)
式中:λi為變換參數(shù),i=1,2;εi~N(0,σ2I)。對于固定的λi,得到極大似然估計(jì):
(7)
(8)
通過式(7)和式(8)可得到關(guān)于λi的對數(shù)似然函數(shù)為
(9)
采用數(shù)值取值的方法確定變換參數(shù)λi,結(jié)果如圖5所示,可以看出,對于VCR1可以得到λ1=-2.6;而對于VCR2,有λ2=0.4。
圖5 對數(shù)似然函數(shù)對參數(shù)的取值結(jié)果Fig.5 Parameter value using log-likelihood function value result
為驗(yàn)證Box-Cox變換后數(shù)據(jù)的相關(guān)性是否得到改善,利用電池實(shí)際容量和變換后的電池容量與電壓變化速率VCR1和VCR2分別進(jìn)行相關(guān)性分析,其中,變換后的電池容量為CVCR1=(C-2.6-1)/(-2.6) 和CVCR2=(C0.4-1)/0.4,式中C表示電池的實(shí)際容量。本文采用的相關(guān)性分析法為Pearson相關(guān)性分析法和Spearman秩相關(guān)分析法[26]。
Pearson相關(guān)系數(shù)ri取值在-1與1之間,當(dāng)相關(guān)系數(shù)為±1時(shí),認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間存在完美的線性關(guān)系,當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0時(shí),則不存在相關(guān)關(guān)系。Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρi的值也在-1和1之間,越接近±1說明兩組數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性越強(qiáng),接近0說明相關(guān)性越弱。結(jié)果如圖6和表1所示。
圖6 變換后的電池容量與電壓變化速率的關(guān)系示意圖Fig.6 Relationship between transformed battery capacity and voltage change rate
表1變換前后相關(guān)性分析比較Tab.1 Correlation analysis before and after transformation
圖6顯示了變換后的電池容量與VCR1和VCR2的關(guān)系,可以看出與圖4相比,它們之間有很強(qiáng)的相關(guān)性。
從表1可以看出,VCR1在Box-Cox變換前的Pearson相關(guān)性系數(shù)為0.983 6,變換后達(dá)到了0.996 3,這表明變換后的容量與VCR1的相關(guān)性有所提高;而Spearman秩相關(guān)系數(shù)在變換前后都為0.992 1,雖然沒有增加,但是已經(jīng)足夠接近1,說明它與容量之間有著很強(qiáng)的相關(guān)性。
VCR2在變換前后的Pearson相關(guān)性系數(shù)分別為-0.993 0和-0.993 3,Spearman秩相關(guān)系數(shù)為-0.994 2,這是因?yàn)樵谧儞Q前VCR2與電池的實(shí)際容量就已經(jīng)表現(xiàn)出強(qiáng)負(fù)相關(guān)性,具有良好的線性關(guān)系,所以經(jīng)Box-Cox變換后改善效果極小。
(10)
圖7所示即為鋰電池的實(shí)際容量與估計(jì)容量對比,本文用均方根誤差RMSE和適應(yīng)度系數(shù)R2作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn),適應(yīng)度系數(shù)R2為
(11)
表2HI評價(jià)結(jié)果Tab.2 HI evaluation results
根據(jù)圖7可知2個(gè)HI呈線性退化趨勢,因此可以用一般的隨機(jī)過程模型來描述電池的退化過程,設(shè)t時(shí)刻HI值為
HI(t)=HI(0)+ut+ε
(12)
式中:HI(0)為初始狀態(tài);u為漂移參數(shù);ε代表誤差。
以HI首次達(dá)到失效閾值時(shí)間作為電池的壽命:
T=inf{t:HI(t)≥C0,t≥1}
(13)
式中C0代表電池的失效閾值。
在進(jìn)行預(yù)測之前,需要計(jì)算出2個(gè)新HI的失效閾值,到達(dá)閾值即表示電池壽命終止。根據(jù)鋰電池容量與HI之間的關(guān)系可以得到:HI VCR1閾值為-3.570 3,HI VCR2閾值為1.320 0。
s=Φw+ε
(14)
式中:s=[s1,s2,…,sN];Φ=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xN)]T為N×(N+1)階的核函數(shù)矩陣,其中φ(xj)=[1,K(xj,x1),…,K(xj,xN)]T,K(*,*)為核函數(shù);w代表權(quán)重;ε為隨機(jī)誤差。
假設(shè)sj相互獨(dú)立,完整數(shù)據(jù)集的似然函數(shù)可以寫成:
(15)
式中σ2為誤差方差。
為了避免過擬合的問題,在權(quán)重w上定義一個(gè)滿足零均值的高斯先驗(yàn)分布,即
(16)
式中α={α0,α1,…,αN}是N+1維獨(dú)立超參數(shù)向量。則其后驗(yàn)分布可以寫為:
exp{-(w-μ)TΣ-1(w-μ)/2}
(17)
式中,后驗(yàn)協(xié)方差Σ和均值μ的計(jì)算式為:
(18)
式中A=diag{α0,α1,…,αN}。
可以得到目標(biāo)輸出的分布:
(19)
當(dāng)給定新輸入值x*時(shí),得到的估計(jì)輸出s*滿足p(s*||s)=N(s*||y*,σ2*),且有
(20)
為了驗(yàn)證RVM使用HI預(yù)測鋰離子電池RUL的有效性,采用高斯過程回歸(Gaussian process regression,GPR)[32]對電池進(jìn)行RUL預(yù)測作為對照,分別選擇用前79周期和前99周期的數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型,以80周期和100周期為預(yù)測起點(diǎn)。文中使用絕對誤差(absolute error,AE)和相對誤差(relative error,RE)作為標(biāo)準(zhǔn),RUL預(yù)測結(jié)果如圖8、圖9和表3所示。
圖8 不同起點(diǎn)下基于VCR1的RUL預(yù)測Fig.8 RUL prediction based on VCR1 at different starting points
圖8和圖9顯示了兩種算法下分別以80周期和100周期為起點(diǎn)的RUL預(yù)測結(jié)果。與GPR預(yù)測相比,使用RVM算法得到的預(yù)測曲線均更加貼近于實(shí)際曲線,這表明用RVM算法預(yù)測出的RUL要更加接近實(shí)際值。并且從4張預(yù)測圖中可以看出,在使用RVM進(jìn)行預(yù)測時(shí),以100周期為起點(diǎn)的PDF寬度明顯窄于以80周期為起點(diǎn)的PDF寬度,這說明相比于后者,前者的RUL預(yù)測更準(zhǔn)確。
表3 RUL預(yù)測的數(shù)值結(jié)果Tab.3 Numerical results of RUL prediction
除GPR法和RVM法之外還使用了粒子群改進(jìn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(記為:PSO-BP)進(jìn)行RUL預(yù)測,表3記錄了詳細(xì)的數(shù)值結(jié)果,并將3組不同算法下的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比。
圖9 不同起點(diǎn)下基于VCR2的RUL預(yù)測Fig.9 RUL prediction based on VCR2 at different starting points
從表3可以看出,首先相比于GPR算法,RVM算法下的AE、RE和RMSE更??;從PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法得到的RUL預(yù)測結(jié)果來看,預(yù)測結(jié)果優(yōu)于GPR算法但次于RVM算法。其次隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的增多,RVM算法預(yù)測的RUL與實(shí)際RUL越來越接近,誤差越來越小,這說明當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)越多時(shí),即預(yù)測時(shí)間越晚,預(yù)測結(jié)果會(huì)更準(zhǔn)確。最后相比于HI VCR1, 由于HI VCR2與容量相關(guān)性更強(qiáng),所以RUL預(yù)測結(jié)果變化較小。由此可以得出結(jié)論,采用文中提取的新HI進(jìn)行鋰電池的RUL預(yù)測,RVM算法更加適用,實(shí)驗(yàn)得到的預(yù)測結(jié)果更接近于真實(shí)RUL。
為了更好地解決鋰電池容量不易在線測量和RUL實(shí)時(shí)測量難的問題,本文提出了一種基于放電過程信息獲取新HI的方法并對鋰電池的RUL進(jìn)行預(yù)測。首先從2個(gè)簡潔的數(shù)學(xué)模型中提取出新HI,并通過Box-Cox變換進(jìn)行數(shù)據(jù)修正,比較了HI與容量之間的相關(guān)性,通過變換前后的結(jié)果分析,本文所提取的HI與容量之間存在著強(qiáng)相關(guān)性,在某種程度上可以解決電池容量難以在線測量的問題。此外,本文使用新HI描述了電池的退化過程,利用GPR和RVM算法進(jìn)行了電池的RUL預(yù)測,其實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在RUL預(yù)測性能上RVM算法優(yōu)于GPR算法,并且預(yù)測時(shí)間越晚,預(yù)測結(jié)果就越準(zhǔn)確。綜上可知,本文所提取的HI能夠很好地描述鋰電池的退化過程,并在RUL預(yù)測結(jié)果上表現(xiàn)優(yōu)越。這為鋰離子電池的健康管理提供了新的思路和可能性,對電池的健康狀態(tài)估計(jì)具有著重要意義,有利于鋰電池更廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域中,也有利于可循環(huán)資源的不斷發(fā)展,具有良好的實(shí)際應(yīng)用前景。
由于條件有限,目前算法實(shí)驗(yàn)主要在NASA數(shù)據(jù)集下完成,實(shí)際更復(fù)雜條件下的電池RUL預(yù)測還需要在后續(xù)工作中進(jìn)一步驗(yàn)證,并解決復(fù)雜條件下遇到的問題。另外新HI與電池容量之間的強(qiáng)相關(guān)性的理論基礎(chǔ)還需要進(jìn)一步深化。