許年春， 鄭 瑞， 吳同情,2， 楊全虎

(1.重慶科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，重慶 401331；2.能源工程力學(xué)與防災(zāi)減災(zāi)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 401331)

1 引 言

臨塑荷載是指地基中即將出現(xiàn)塑性區(qū)時(shí)的基底壓力，對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)荷載-沉降曲線(p-s曲線)上的比例界限，目前土力學(xué)教材中給出的臨塑荷載公式是根據(jù)條形荷載作用下地基中應(yīng)力分布推導(dǎo)出來(lái)的，因此只適用于條形基礎(chǔ)[1-4]。文獻(xiàn)[2,3]認(rèn)為將條形基礎(chǔ)地基臨塑荷載公式應(yīng)用于矩形基礎(chǔ)，其結(jié)果偏于安全，但均沒(méi)有推導(dǎo)理論公式，也沒(méi)有提供實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

對(duì)于條形基礎(chǔ)臨塑荷載的研究主要集中于兩個(gè)方面,一是研究側(cè)向土壓力系數(shù)K0≠1時(shí)的臨塑荷載[5,8]，但文獻(xiàn)[5,8]在推導(dǎo)方法或利用開平方近似計(jì)算式方面存在爭(zhēng)議，所給臨塑荷載公式正確性值得商榷；二是研究考慮中間主應(yīng)力影響的臨塑荷載，如文獻(xiàn)[9-12]采用雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則替換庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則，將中主應(yīng)力引入臨塑荷載公式，計(jì)算出的臨塑荷載大于教材上的公式結(jié)果。

經(jīng)查閱文獻(xiàn)，未發(fā)現(xiàn)矩形基礎(chǔ)地基臨塑荷載公式的研究報(bào)道，而在實(shí)際工程中柱下矩形基礎(chǔ)比條形基礎(chǔ)應(yīng)用更廣泛，對(duì)矩形基礎(chǔ)地基臨塑荷載公式開展研究不僅對(duì)土力學(xué)學(xué)科發(fā)展具有理論意義，同時(shí)對(duì)矩形基礎(chǔ)設(shè)計(jì)具有實(shí)踐價(jià)值。

2 條形基礎(chǔ)地基臨塑荷載公式

條形基礎(chǔ)的受力可看成平面應(yīng)變問(wèn)題，如圖1所示，p表示基底壓力，q表示基礎(chǔ)埋深范圍內(nèi)土體自重產(chǎn)生的壓力。

圖1 條形基礎(chǔ)地基中的附加主應(yīng)力

under a strip footing

點(diǎn)M距基底的深度為z，β為點(diǎn)M到基底兩端點(diǎn)的夾角。利用Flamant解可得到基底附加應(yīng)力p-q在點(diǎn)M產(chǎn)生的主應(yīng)力[1-4]為

(1a,1b)

且σ1作用在β的角平分線上。

基底面以下土體重度γ，當(dāng)土體側(cè)壓力系數(shù)K0=1時(shí)，q和基底面以下土體自重壓力γz在各個(gè)方向上產(chǎn)生相等的壓力，相當(dāng)于靜水壓力，因此原主應(yīng)力方向不發(fā)生改變，主應(yīng)力可通過(guò)直接相加得到，即[1-4]

(2a)

(2b)

(3)

實(shí)際地基土K0<1，臨塑荷載小于式(3)的計(jì)算值，按照雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論，Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算出的臨塑荷載偏小，如果把這兩個(gè)因素一起考慮，按式(3)計(jì)算條形基礎(chǔ)臨塑荷載仍然是合理的。K0<1時(shí)土體自重應(yīng)力會(huì)引起主應(yīng)力軸的偏轉(zhuǎn)，大大增加臨塑荷載公式推導(dǎo)的難度；對(duì)于埋深較淺或地基承載力較大的基礎(chǔ)，K0<1對(duì)于臨塑荷載影響很小；雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度準(zhǔn)則的中間主應(yīng)力影響系數(shù)需要通過(guò)專門實(shí)驗(yàn)才能確定，綜合考慮以上因素，本文推導(dǎo)矩形基礎(chǔ)地基臨塑荷載公式時(shí)，假設(shè)K0=1，采用Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則。

3 矩形基礎(chǔ)地基臨塑荷載公式

3.1 基底邊緣處的應(yīng)力分析

如圖2所示為線框表矩形基礎(chǔ)底面，其寬度為2a，長(zhǎng)度為2b，基底附加壓力為p-q，與條形基礎(chǔ)相比，相當(dāng)于在矩形基底左右兩側(cè)區(qū)域內(nèi)作用向上的拉應(yīng)力-p+q。

圖2 矩形基礎(chǔ)底面

將坐標(biāo)原點(diǎn)O置于兩側(cè)區(qū)域內(nèi)任一位置，如圖2所示，x軸與寬度方向平行，y軸與長(zhǎng)度方向平行，由于塑性區(qū)是從基底邊緣處開始發(fā)展的，臨塑荷載對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)開展深度為0，故取基底寬度方向邊緣處中點(diǎn)N1和端點(diǎn)N2作為觀察點(diǎn)。由于點(diǎn)N1的埋深z=0，根據(jù)Boussinesq單個(gè)豎向集中力作用下的應(yīng)力解[2-4]，左右兩側(cè)區(qū)域內(nèi)拉應(yīng)力-p+q在點(diǎn)N1產(chǎn)生的y方向正應(yīng)力為

(4)

(5a)

對(duì)于條形基礎(chǔ)，a?b，atan[a/(2b)]≈π/2，σy 1 - p + q=0。

同時(shí)-p+q在點(diǎn)N1產(chǎn)生的z方向(豎向)正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

σz 1 - p + q=0,τy z 1 - p + q=0

(5b,5c)

對(duì)于點(diǎn)N2，-p+q產(chǎn)生的y方向正應(yīng)力為

(6)

式(6)積分可得

(7a)

同時(shí)-p+q在點(diǎn)N2產(chǎn)生的z方向正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

σz 2 - p + q=0,τy z 2 - p + q=0

(7b,7c)

比較式(5～7)可知，-p+q在兩點(diǎn)產(chǎn)生的豎向正應(yīng)力和剪應(yīng)力相等，y方向正應(yīng)力差別在于最后一項(xiàng)，點(diǎn)N1為π/2-atan[a/(2b)]，點(diǎn)N2為π/2-(1/2)atan(a/b)，在后面的公式推導(dǎo)過(guò)程中，為了節(jié)省篇幅，只對(duì)點(diǎn)N1作詳細(xì)介紹。

條形基底附加應(yīng)力p-q和土體自重壓力作用下,地基中主應(yīng)力仍如式(2)，對(duì)于點(diǎn)N1和點(diǎn)N2，γz=0，大小主應(yīng)力分別為

σ1=[(p-q)/π](β+sinβ)+q

(8a)

σ3=[(p-q)/π](β-sinβ)+q

(8b)

3.2 基底邊緣處的應(yīng)力表達(dá)式

沿條形基底地基中主應(yīng)力方向建立y′-z′局部直角坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 局部直角坐標(biāo)系

z′與豎向的夾角為Ψ，當(dāng)點(diǎn)N1無(wú)限接近地面時(shí)，點(diǎn)N1與基底遠(yuǎn)端點(diǎn)連線近似為水平線，此時(shí)Ψ≈π/2-β/2，式(5)表示的應(yīng)力在局部坐標(biāo)系的應(yīng)力為

(9a)

(9b)

(9c)

點(diǎn)N1的應(yīng)力疊加為

(10a)

(10b)

τz′y′=τz′y′1 - p + q

(10c)

3.3 開平方近似計(jì)算式及誤差分析

為得到地基臨塑荷載公式，需要先根據(jù)式(10)中各應(yīng)力分量求出大小主應(yīng)力，再將主應(yīng)力代入Coulomb抗剪強(qiáng)度公式。然而求大小主應(yīng)力涉及到開平方求根，導(dǎo)致臨塑荷載公式推導(dǎo)很困難，因此，需要利用開平方近似計(jì)算式。

(11)

式中n為正實(shí)數(shù)。

在Mohr應(yīng)力圓中，點(diǎn)N1的應(yīng)力可用點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)來(lái)表示，如圖4所示為P(σz′,τz′y′)和Q(σy′,-τz′y′)(注：β值預(yù)估范圍1.0～1.8，由式(10)可以判斷σz′>σy′，τz′y′>0)。PQ相對(duì)于σ軸的轉(zhuǎn)角為2α。

圖4 用Mohr圓上的點(diǎn)表示應(yīng)力分量

近似計(jì)算式的誤差率用Δ來(lái)表示

(12)

對(duì)Mohr圓直徑|PQ|任意取值，通過(guò)幾何關(guān)系可得到不同2α值時(shí)的Δ值為

Δ=|100cos2α+100nsin2α-100|%

(13)

取n=0.06，0.08，0.1，0.12，0.14和0.16，分別作計(jì)算，圖5給出2α∈(0,25°)時(shí)Δ值變化。

圖5 2α -Δ關(guān)系

可以看出，隨著2α的增大，Δ先增大，后變小，再逐步增大。當(dāng)2α較小時(shí)，n取較小值時(shí)Δ較小，如2α=10°時(shí)，取n=0.08，Δ<0.13%。當(dāng)2α較大時(shí)，n取較大值時(shí)Δ較小，如2α=19°時(shí)，取n=0.1，Δ=2.19%；取n=0.12，Δ=1.54%；取n=0.14，Δ=0.89%；取n=0.16，Δ=0.24%。

3.4 臨塑荷載公式

土的Coulomb抗剪強(qiáng)度極限平衡條件為

(14)

根據(jù)主應(yīng)力與應(yīng)力分量的關(guān)系，極限平衡條件可以改寫為

(15)

將式(10)各應(yīng)力分量代入式(15)，利用開平方近似計(jì)算式(11)，經(jīng)化簡(jiǎn)得到式(16)。

(16)

根據(jù)式(16)得p的表達(dá)式為

(17)

點(diǎn)N1臨塑荷載pc r 1為p的最小值，式(17)右側(cè)對(duì)β的導(dǎo)數(shù)等于0，得式(18)。

(sinβ+ncosβ)=0

(18)

利用三角函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式,sinβ≈β-β3/6，cosβ≈1-β2/2+β4/27(注：取β∈(1.0,1.8)檢驗(yàn)，最后一項(xiàng)分母取27，比取24有更高的精度)。

式(18)可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

Aβ4+Bβ3+Cβ2+Dβ+E=0

(19)

當(dāng)n在0.06～0.16區(qū)間取值時(shí)，A的第二項(xiàng)相對(duì)于第一項(xiàng)很小，可以忽略(后面取多組參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明忽略該項(xiàng)引起的臨塑荷載計(jì)算誤差小于0.7‰)，將式(19)轉(zhuǎn)換成式(20)。

β4+B′β3+C′β2+D′β+E′=0

(20)

式(20)有四個(gè)實(shí)數(shù)解，數(shù)學(xué)手冊(cè)上有其求解方法，限于篇幅，在此不作詳細(xì)介紹，直接給出在(1.0,1.8)范圍內(nèi)的解為

(21)

將式(21)代入式(17)，即可求出點(diǎn)N1臨塑荷載pc r 1。

將式(17,21)的π/2-atan[a/(2b)]用π/2- (1/2)atan(a/b)來(lái)代替，即可得到點(diǎn)N2臨塑荷載pc r 2。

4 算 例

表1列出了pc r 1/pc r s和pc r 2/pc r s的計(jì)算結(jié)果，其中n取值與計(jì)算出的2α值相關(guān)，2α=atan[2τz ′ y ′/(σz ′-σy ′)]，先取n=0.10，再根據(jù)計(jì)算出的2α值對(duì)n作調(diào)整(小幅調(diào)整n對(duì)2α沒(méi)有影響，因此調(diào)整一次即可)，點(diǎn)N1與點(diǎn)N2的2α很接近(最大相差0.2)，點(diǎn)N2的2α略大，表1列出了點(diǎn)N2的2α及對(duì)應(yīng)的Δ值。點(diǎn)N1與點(diǎn)N2的β幾乎相等(最大相差0.01)，表1列出了點(diǎn)N2的β值。

表1 pc r 1和pc r 2計(jì)算實(shí)例(a/b =0.5,c =20 kPa,q =30 kPa)

5 結(jié) 論