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        對“布洛卡點”幾何模型的幾點思考

        2022-12-19 07:50:54
        數(shù)理化解題研究 2022年34期
        關(guān)鍵詞:定義模型

        金 毅

        (內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第二中學(xué) 010000)

        布洛卡點是一類重要的幾何模型,在很多與幾何有關(guān)的問題中有重要應(yīng)用.我們從布洛卡點的定義出發(fā)展開思考.

        1 對布洛卡點定義與存在性的思考

        命題1(布洛卡點定義)如圖1,已知△ABC中,P是內(nèi)部一點,當(dāng)∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ時,點P為△ABC的布洛卡點.角θ為布洛卡角.

        圖1

        思考在此定義中,我們有兩點疑問.一是對任意的三角形,是否一定有布洛卡點?二是如果存在,如何找到布洛卡點?我們將通過以下命題來進行探究.

        命題2(布洛卡點的存在性)如圖2,在銳角△ABC中,過點A作垂直于AB的直線l,過點B作垂直于BC的直線m,過點C作垂直于AC的直線n,其中,l∩m=D,m∩n=E,n∩l=F,作△ABD,△BCE,△ACF的外接圓,證明:三圓共點于P,且∠PAB=∠PBC=∠PCA.

        圖2

        故∠APC+∠APB=2π-∠AFC+∠ADB.

        即∠AFC+∠ADB=2π-∠APC+∠APB=∠BPC.

        同時∠AFC+∠ADB=π-∠BEC.

        所以∠BPC=π-∠BEC.

        故B,E,C,P四點共圓,則這三圓共點于P.

        接下來證明角相等.

        在圓APBD中,可得

        根據(jù)BD⊥BC,可得

        所以∠PAB=∠PBC.

        同理,可以證得∠PAB=∠PCA.

        綜上,∠PAB=∠PBC=∠PCA.

        圖3

        所以B,P,C,E四點共圓.則三圓共點于P.

        所以∠PAB=∠PBC.

        由此,我們得到,布洛卡點的存在性與三角形形狀無關(guān),也即對任意形狀的三角形均存在布洛卡點,這是非常重要的.同時,通過對命題2的研究,我們也得到了在任意三角形內(nèi)尋找布洛卡點的方法.

        2 對布洛卡點性質(zhì)的思考

        從定義出發(fā),我們進一步思考,提出若干命題,對布洛卡點的性質(zhì)進行拓展延伸.

        命題3如圖1,已知△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,P是布洛卡點,則有等式cotA+cotB+cotC=cotθ成立.

        證明如圖1,根據(jù)命題1,可得

        ∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ.

        設(shè)△ABC的面積為S,且AP=x,BP=y,CP=z,

        對以上cotθ三式使用合比定理,得

        命題4已知△ABC中,P為布洛卡點,當(dāng)A=2θ時,則有a2=bc.

        所以a2=bc成立.

        圖4

        證明根據(jù)命題3,有

        綜上,△ABC為等邊三角形.

        命題6在△ABC中,∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ,則有θ≤30°

        思考本例說明三角形中布洛卡角的取值范圍不會超過30°.并且根據(jù)命題5,當(dāng)布洛卡角恰好取到30°時,此時△ABC為等邊三角形.

        命題7 在銳角△ABC中,∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ,有不等式tanA+tanB+tanC>cotθ成立.

        同理,可得cotC

        以上相加,可得

        cotA+cotB+cotC

        根據(jù)命題3,即tanA+tanB+tanC>cotθ成立.

        根據(jù)命題3,a2+b2+c2=4Scotθ.

        命題9 在△ABC中,∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ,有不等式2cotθ≥cscA+cscB+cscC成立.

        證明根據(jù)a2+b2+c2≥ab+ac+bc,可得b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2≥ab+ac+bc,2bccosA+2accosB+2abcosC≥ab+ac+bc.

        根據(jù)正弦定理,可得

        2sinBsinCcosA+sinAsinCcosB+sinAsinBcosC

        ≥sinAsinB+sinAsinC+sinBsinC.

        不等式兩邊同除sinAsinBsinC,可得

        2cotA+cotB+cotC≥cscA+cscB+cscC.

        根據(jù)命題3,可得2cotθ≥cscA+cscB+cscC成立.

        3 對布洛卡點模型應(yīng)用的思考

        圖5

        分析當(dāng)∠APB=150°時,∠APC=120°,可知∠PCA+∠PAC=∠PCA+∠PCB=60°.

        所以∠PAC=∠PCB.

        同理可得∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAC=30°.

        所以∠PBA=∠PAC.

        設(shè)∠PAC=∠PBA=∠PCB=θ,可知點P為△ABC的布洛卡點.

        根據(jù)命題2,可得cotA+cotB+cotC=cotθ.

        思考本例首先通過證明∠PAC=∠PBA=∠PCB,說明點P是△ABC的布洛卡點,之后使用相關(guān)結(jié)論迅速解決∠PBA的正切值.當(dāng)然,在這樣的問題中,除了布洛卡點的性質(zhì)之外,我們還可以使用“角元塞瓦定理”,也即

        這說明布洛卡點的模型也可用塞瓦定理處理.

        布洛卡點是平面幾何中非常重要的幾何模型,總結(jié)本文,有幾點需要重點關(guān)注.

        (1)布洛卡點對任意三角形均存在,是三角形內(nèi)的等角點,因而可能得到角相等或者相似的結(jié)論.

        (2)布洛卡角和三角形的三個內(nèi)角有密切聯(lián)系,它們的三角函數(shù)值存在著很多相等與不等關(guān)系,這里有很多命題值得挖掘;布洛卡點的問題可以借助別的定理解決(如塞瓦定理等),在思考時要充分對數(shù)與形的關(guān)系進行結(jié)合.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中永恒不變的主題,良好的結(jié)合會對數(shù)學(xué)思維有極大地提升,這也是思考數(shù)學(xué)問題的樂趣所在.

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