章瑩瑩
(江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 220006)
必修二教材所學(xué)立體幾何知識(shí),主要考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力,同時(shí)又突出地體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”“轉(zhuǎn)化思想”“分類與整合思想”等數(shù)學(xué)思想方法在解題中的靈活運(yùn)用能力.關(guān)注立體幾何這部分知識(shí)在試題中一般是如何考查的,有利于幫助同學(xué)們鞏固基本知識(shí),理清常用思想方法,進(jìn)而提高學(xué)習(xí)的針對(duì)性和有效性.
例1 設(shè)α,β,γ是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,有以下四個(gè)命題:
①若α⊥β,m∥α,則m⊥β;
②若α∥β,α∥γ,則β∥γ;
③若m∥n,n?α,則m∥α;
④若m⊥α,m∥β,則α⊥β.
上述命題中的真命題有( ).
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
解析考慮長(zhǎng)方體,我們很容易找到反面例子,可說(shuō)明命題①和③均不正確.根據(jù)平面與平面之間的平行傳遞性,可知命題②正確.根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理以及平面與平面垂直的判定定理,可以證明命題④正確.從而,上述命題中的真命題有②④.故選B.
反思與總結(jié)關(guān)于空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷,一般來(lái)講,如果要說(shuō)明所給位置關(guān)系是正確的,那么就需要利用相關(guān)的公理、判定定理、性質(zhì)定理等加以具體證明;如果要說(shuō)明所給位置關(guān)系是不正確的,那么只需要我們找出一個(gè)具體的反例即可(而找反例時(shí),經(jīng)常考慮的是正方體、長(zhǎng)方體、三棱錐、圓柱等熟悉的幾何體).
例2如圖1所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,棱A1B,A1C的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F(xiàn),點(diǎn)D在B1C1上,且滿足A1D⊥B1C.
圖1
(1)求證:直線EF∥平面ABC;
(2)求證:平面A1FD⊥平面BB1C1C.
證明(1)因?yàn)镋,F(xiàn)分別為A1B,A1C的中點(diǎn),所以EF是△A1BC的中位線,所以根據(jù)三角形中位線性質(zhì)定理可得EF∥BC.
又因?yàn)橹本€EF?平面ABC,直線BC?平面ABC,從而根據(jù)直線與平面平行的判定定理即得直線EF∥平面ABC.
(2)根據(jù)直三棱柱ABC-A1B1C1,可得BB1⊥平面A1B1C1.
又注意到A1D?平面A1B1C1,
從而可得BB1⊥A1D.
于是,結(jié)合A1D⊥B1C,BB1∩B1C=B1,
根據(jù)直線與平面垂直的判定定理即得
A1D⊥平面BB1C1C.
又A1D?平面A1FD,
故由平面與平面垂直的判定定理得平面A1FD⊥平面BB1C1C.
反思與總結(jié)立體幾何中證明有關(guān)平行或垂直問(wèn)題時(shí),由于試題主要考查的就是有關(guān)判定定理在解題中的靈活運(yùn)用,所以需要優(yōu)先考慮對(duì)應(yīng)的判定定理,以便迅速找到具體的解題思路.此外,值得特別提醒的是:作為證明題,利用立體幾何中有關(guān)平行或垂直的判定定理時(shí),必須將理由書寫完整,這是解答題規(guī)范書寫的基本要求.否則,就會(huì)被適當(dāng)扣分.
例3如圖2所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn),而E是棱AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),底面ABCD是等腰梯形,且滿足AB∥CD,AB=2CD,求證:直線A1E∥平面FCC1.
圖2
證明因?yàn)橛深}意知
所以可知四邊形AFCD是平行四邊形.
從而可得CF∥AD.
又直線CF?平面FCC1,直線AD?平面FCC1,
從而可得AD∥平面FCC1.
①
根據(jù)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,
可得CC1∥DD1.
又因?yàn)橹本€CC1?平面FCC1,
直線DD1?平面FCC1,
從而可得DD1∥平面FCC1.
②
于是,根據(jù)①②及AD∩DD1=D,
可知平面AA1D1D∥平面FCC1.
又因?yàn)橹本€A1E?平面AA1D1D,
所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)即得直線A1E∥平面FCC1.
反思與總結(jié)證明立體幾何中有關(guān)平行或垂直問(wèn)題時(shí),如果對(duì)應(yīng)的判定定理不能夠直接運(yùn)用,那么就需要我們?nèi)タ紤]其他的證明途徑.例如:要證明線面平行就可以先證面面平行,再利用面面平行的性質(zhì).再例如:要證明線面垂直就可以先證面面垂直,再利用面面垂直的性質(zhì).
圖3
解析如圖3所示,作出正三棱錐P-ABC的側(cè)面展開(kāi)圖,則△AEF的周長(zhǎng)就是折線段AEFA′的長(zhǎng).
又結(jié)合圖形知折線段AEFA′的長(zhǎng)的最小值為線段AA′的長(zhǎng).從而,本題即求線段AA′的長(zhǎng).
故所求△AEF周長(zhǎng)的最小值為6.
反思與總結(jié)立體幾何中遇到有關(guān)求最小值問(wèn)題,往往不能直接求解,而需要先考慮其對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開(kāi)圖,從而便于我們將不熟悉的“立體幾何”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的“平面幾何”問(wèn)題,顯然有利于目標(biāo)問(wèn)題的進(jìn)一步分析與順利求解.
例5如圖4所示,已知△ABC,滿足∠C=90°,∠A=30°,BC=1.在△ABC內(nèi)挖去一個(gè)半圓,且半圓的圓心O在邊AC上,半圓與邊BC,AB分別相切于點(diǎn)C,M,與邊AC交于點(diǎn)N,那么圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)___.
圖4
解析根據(jù)題意,可知得到的旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐中挖去了一個(gè)球.
反思與總結(jié)處理立體幾何中有關(guān)體積計(jì)算問(wèn)題,一般比較簡(jiǎn)單的情形就是能夠直接利用相關(guān)體積公式加以求解.而對(duì)于比較復(fù)雜的情形,就需要我們靈活運(yùn)用“分割組合思想”去分析、解決問(wèn)題.
以上,通過(guò)歸類解析的形式,著重歸納總結(jié)了必修二立體幾何部分有關(guān)??碱}型.結(jié)合具體例題的剖析,可幫助學(xué)生加深對(duì)教材中有關(guān)公理、判定定理、性質(zhì)定理的準(zhǔn)確理解,提高對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的整合與運(yùn)用能力,拓寬解題思維視野,積累解題經(jīng)驗(yàn),從而提升直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的核心素養(yǎng).