饒三平

(南昌工程學(xué)院 理學(xué)院，江西 南昌 330099)

Domain理論是程序語言指稱語義學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。序與拓?fù)涞南嗷ソY(jié)合，相互作用是這一理論的基本特征。正是由于Domain理論的這一特征及其與計(jì)算實(shí)踐的緊密聯(lián)系，從70年代Scott開創(chuàng)Domain理論以來[1]，一直受到數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)諸多學(xué)者的關(guān)注，更成為拓?fù)鋵W(xué)的一個重要的研究方向。

量化Domain理論主要是為并發(fā)式程序語言提供數(shù)學(xué)語義模型。經(jīng)過多年來的發(fā)展，取得了迅速發(fā)展。Zhang和Fan引進(jìn)L-Fuzzy擬序集構(gòu)成量化Domain理論的基本框架[2]，促進(jìn)了量化Domain理論的發(fā)展。他們首先定義模糊偏序，實(shí)質(zhì)上是非空集上的程度映射，然后再研究L-Fuzzy的一些基本性質(zhì)?；谕陚涫Ｓ喔?，Yao和Shi研究了模糊dcpos和它上面的連續(xù)性[3-4]，并對模糊dcpos上的模糊Scott拓?fù)溥M(jìn)行了系統(tǒng)的研究。此外，從范疇的角度，Hofmann和Waszkiewicz對量化Domain理論也進(jìn)行了研究[5-6]?；诳蓳Q單位Quantale上的Ω-范疇，Lai和Zhang也研究了量化Domain理論[7]?？梢哉f，這些研究都是對經(jīng)典Domain理論進(jìn)行了進(jìn)一步推廣。

在對量化Domain理論研究的過程中，最重要的研究對象無疑是模糊Domain[8]。那么怎樣刻畫這么一個重要概念顯得尤為重要。眾所周知，在經(jīng)典的Domain理論中，基和Galois聯(lián)絡(luò)扮演著重要角色，其結(jié)果不僅僅體現(xiàn)在刻畫Domain，對研究Domain的其它一些性質(zhì)也起了重要作用。那么，在模糊Domain中，是否有類似的概念及性質(zhì)？為此，本文進(jìn)行了相應(yīng)的研究。

1 預(yù)備知識

本文選取完備剩余格作為格值，完備剩余格L是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，它滿足：

(1)(L，∧，∨，*，→，0，1)是完備格，最小元為0，最大元為1；

(2)(L，*，1)是可交換的monoid，基中1是單位元，即?a∈L，a*1=a；

(3)*，→構(gòu)成Galois聯(lián)絡(luò)，即?a，b，c∈L，a*b≤c?a≤b→c。

有關(guān)詳細(xì)完備剩余格的知識可參考文獻(xiàn)[9]，若無特別聲明，本文中L表示完備剩余格。下面列出運(yùn)算*，→的一些基本性質(zhì)。

引理1[9]設(shè)L是完備剩余格，則?a，b，c∈L，下列式子成立：

(I1) 0*a=0且1→a=a；

(I2)a≤b?a→b=1；

(I3) (a→b)*(b→c)≤a→c；

(I6)a→(b→c)=b→(a→c)=a*b→c；

(I7)a*(a→b)≤b.

設(shè)X為一非空集合，X上的模糊子集就是從X到L上的映射，X上的所有模糊子集記為LX。?A，B∈LX，A和B之間的相等可以通過一般映射之間的相等來定義，也就是說，A=B??x∈X，A(x)=B(x)。

定義1[9]X上的模糊關(guān)系e是X×X上的模糊子集，即e：X×X→L。X上的模糊關(guān)系e稱為是模糊偏序。若e還滿足：

(1)?x∈X，e(x，x)=1；

(2)?x，y，z∈X，e(x，y)*e(y，z)≤e(x，z)；

(3)?x，y∈X，e(x，y)=e(y，x)=1?x=y.

稱(X，e)為模糊偏序集。若e是X上的模糊偏序，A∈LX稱為模糊上集。若?x，y∈X，A(x)*e(x，y)≤A(y)，A∈LX稱為模糊下集。若A(x)*e(y，x)≤A(y)。

定義2[2]設(shè)(X，e)是模糊偏序集，x0∈X稱為模糊子集A的并，記為x0=凵A。若滿足下列條件：

(1)?x∈X，A(x)≤e(x，x0)；

在引理2中，若A=↓x，則

定義3[3]設(shè)(X，e)是模糊偏序集，模糊子集D∈LX為模糊定向的。 若它滿足：

記X上所有的模糊定向子集為DL(X)。稱模糊偏序集(X，e)為模糊dcpo。若?D∈DL(X)，凵D存在。

定義4[3]設(shè)(X，e)是模糊dcpo。?x，y∈X，：X×X→L定義如下：

定義5[3]模糊dcpo(X，e)稱為模糊Domain若它滿足：?x∈X，

(2)x=凵x.

此外，?x，y∈X，定義映射k：X→LX如下：k(x)(y)=e(y，x)*y(y)。若?x∈X，k(x)是模糊定向子集且滿足x=凵k(x)，則稱(X，e)為模糊代數(shù)Domain。

引理3[3]設(shè)(X，e)是模糊dcpo，則?x，y，u，v∈X，下列式子成立：

(2)e(u，x)*y(x)*e(y，v)≤v(u).

引理5[4]設(shè)(X，e)為模糊dcpo，?x∈X，若存在模糊定向子集A滿足x=凵A和A≤x，則x是模糊定向子集且x=凵x。

定義7[10]設(shè)(X，eX)、(Y，eY)為模糊偏序集，f：(X，eX)→(Y，eY)、g：(Y，eY)→(X，eX)為模糊單調(diào)映射。稱有序?qū)?f，g)為(X，eX)和(Y，eY)之間的模糊Galois聯(lián)絡(luò)，若?x∈X，y∈Y，eY(y，f(x))=eX(g(y)，x)，其中，稱f為g的上(左)伴隨；對偶地，g為f的下(右)伴隨。

2 連續(xù)擴(kuò)張

下面要建立基于模糊Galois聯(lián)絡(luò)的連續(xù)擴(kuò)張。為此，首先提出以下的概念。

定義8在模糊dcpo(X，e)中，稱B?X為X的基，若它滿足：

下面用上面介紹的定義來刻畫模糊Domain。

定理1對于一個模糊dcpo來說，它有基當(dāng)且僅當(dāng)它是模糊Domain。

證明充分性：易證X?X是X的基，顯然，它是最大的基。

定理2在模糊Domain(X，e)中，B?X，下列命題等價(jià)：

(1)B是X的基；

證明(1)?(2)，由定義8可得。

事實(shí)上，?x，y∈X，

(3)?(4)，?x，y∈X，有

y(x).

(4)?(1)，若(4)成立，下證B是X的基，?y∈X，

e(凵

首先，?a′，b′∈X，

y(a′)*y(b′)≤

定理3在模糊Domain(X，e)、(Y，e)中，B?X、C?Y分別是(X，e)、(Y，e)的基，(g，d)是從(B，e)到(C，e)之間的模糊Galois聯(lián)絡(luò)。則存在唯一的從(X，e)到(Y，e)的模糊Galois聯(lián)絡(luò)(G，D)，且G是g的連續(xù)擴(kuò)張。

同理，?y∈C，D(y)=d(y)，易驗(yàn)證G是模糊連續(xù)的，下證(G，D)是從(X，e)到(Y，e)之間的模糊Galois聯(lián)絡(luò)。 ?x∈X，y∈Y，

e(D(y)，x).

唯一性是顯然的。

3 結(jié)束語

本文基于模糊dcpo，給出了基的概念，從而獲得模糊Domain的等價(jià)刻畫，同時(shí)借助于模糊Galois聯(lián)絡(luò)，給出了模糊Domain基的連續(xù)擴(kuò)張。對于模糊Domain基的連續(xù)擴(kuò)張的研究，不僅豐富了模糊Domain的理論知識，拓展了模糊Galois聯(lián)絡(luò)的應(yīng)用，還為其它模糊對象的相應(yīng)擴(kuò)張?zhí)峁┝艘环N可行的方法。