尹 慧, 馮 雪, 唐锎遠(yuǎn)

(1.沈陽(yáng)城市建設(shè)學(xué)院 基礎(chǔ)教研部, 遼寧 沈陽(yáng) 110167; 2.空軍航空大學(xué) 航空基礎(chǔ)學(xué)院, 吉林 長(zhǎng)春 130022)

0 引言

系統(tǒng)解的分析涵蓋穩(wěn)定性與可靠性等方面,與國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)、國(guó)防建設(shè)的關(guān)系極為密切,大到衛(wèi)星、飛機(jī)、導(dǎo)彈,小到家用電器均與可靠性息息相關(guān).最早被研究的領(lǐng)域之一是機(jī)器維修問(wèn)題,另一個(gè)重要的研究領(lǐng)域是將更新理論應(yīng)用于系統(tǒng)更換問(wèn)題.近些年來(lái),有大量文章對(duì)具有人為操作錯(cuò)誤的人機(jī)系統(tǒng)的可靠性和可靠度作了細(xì)致的研究,可靠性設(shè)計(jì)和分析已成為許多部門(mén)產(chǎn)品發(fā)展工作中不可缺少的重要一環(huán).并且可靠性是決定一個(gè)系統(tǒng)(或子系統(tǒng))是否能夠在整個(gè)系統(tǒng)中被運(yùn)用的重要指標(biāo)之一.

Dhillon用拉普拉斯變換的方法研究了內(nèi)部構(gòu)造安全保障體系系統(tǒng)的模型[1],馮雪等用半離散逼近方法將一個(gè)拋物型偏微分方程化為一個(gè)矩陣常微分方程,并保持了原問(wèn)題重要的物理意義[2-3].離散后的數(shù)學(xué)模型適合于計(jì)算機(jī)的計(jì)算和模擬.本文在系統(tǒng)解的唯一性[4]研究?jī)?nèi)容的基礎(chǔ)上運(yùn)用線(xiàn)性代數(shù)、泛函分析等理論方法研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性和可靠性,對(duì)研究該系統(tǒng)的解做了更為深入的分析.

1 系統(tǒng)模型介紹

本文討論的冗余機(jī)器系統(tǒng)是由兩臺(tái)相同機(jī)器和一個(gè)安全保障體系組成,且其可修機(jī)器和安全保障體系在應(yīng)用時(shí)是完好無(wú)損的.當(dāng)機(jī)器都故障時(shí)整個(gè)系統(tǒng)故障.各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移

圖1中的數(shù)字和字母表示相關(guān)的系統(tǒng)狀態(tài).i=0表示兩臺(tái)機(jī)器和安全保障體系均正常運(yùn)行;i=1表示臺(tái)機(jī)器和安全保障體系正常運(yùn)行,另一臺(tái)機(jī)器故障;i=2表示兩臺(tái)機(jī)器正常運(yùn)行,安全保障體系故障;i=3表示 一臺(tái)機(jī)器正常運(yùn)行,安全保障體系故障,另一臺(tái)機(jī)器故障;i=4表示 兩臺(tái)機(jī)器與安全保障體系均故障;i=5表示兩臺(tái)機(jī)器故障,安全保障體系正常運(yùn)行.

系統(tǒng)模型可由以下積分-微分方程描述:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

其中

a0=2λ+λs,a1=λ+λs+μ1,a2=2λ+μ2,a3=λ.

相關(guān)的邊值條件如下

p4(0,t)=λp3(t)

(6)

p5(0,t)=λp1(t)

(7)

相關(guān)的初始值如下

p0(0)=1,p1(0)=p2(0)=p3(0)=p4(x,0)=p5(x,0)=0

(8)

其中λ表示機(jī)器定常故障率;μi表示狀態(tài)i定常修復(fù)率;λs表示與機(jī)器相關(guān)聯(lián)的安全保障體系的定常故障率;pi(t)-t為時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i時(shí)的概率(i=0,1,2,3);pi(x,t)-t為時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i且已修復(fù)時(shí)間x的概率,并且pi(x,t)僅在t>0時(shí)有意義(i=4,5);μi(x)為系統(tǒng)處于狀態(tài)i,修復(fù)時(shí)間x時(shí)的系統(tǒng)修復(fù)率(i=4,5).且滿(mǎn)足

2 系統(tǒng)解的穩(wěn)定性

2.1 泛函分析處理

下面在Banach空間中用的抽象的Cauchy問(wèn)題的形式來(lái)描述該系統(tǒng).

(9)

2.2 系統(tǒng)非負(fù)時(shí)間依賴(lài)解存在且唯一

柳京愛(ài)等運(yùn)用初等方法得到系統(tǒng)非負(fù)強(qiáng)解的存在且唯一性[5-6].本文采用算子半群方法,對(duì)前面所建立的數(shù)字模型確立一正壓縮c0半群,得到系統(tǒng)存在唯一非負(fù)動(dòng)態(tài)解.

下面，分析具有內(nèi)部構(gòu)造安全保障體系系統(tǒng)解的穩(wěn)定解.

假設(shè)1該系統(tǒng)存在唯一非負(fù)時(shí)間依賴(lài)解P(x,t).

定理1 設(shè)A、E定義如前,那么

2)D(A)在X中稠密；

3)A+E生成一正壓縮c0-半群；

4) 正半縮c0-半群就是算子T(t).

由耗散算子的定義知為耗散算子,結(jié)合條件3)、Philips定理及系統(tǒng)定性分析[7],知算子生成一正壓縮c0-半群,再由生成c0-半群的唯一性,即知此正壓縮c0-半群就是T(t).

由定理1與定理2得到

則有

2.3 可修復(fù)系統(tǒng)解的漸進(jìn)穩(wěn)定性

在這部分討論系統(tǒng)解的漸進(jìn)穩(wěn)定性,前面討論了系統(tǒng)存在非負(fù)穩(wěn)定解,以及系統(tǒng)時(shí)間依賴(lài)解.當(dāng)t→∞時(shí),收斂于此穩(wěn)定解,因此證明了可修復(fù)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性.

定理3 0是算子A+E的簡(jiǎn)單特征值.

定理4 {r∈C|Rec>0或r=ia,a∈R,a≠0}屬于算子A+E的預(yù)解式.

3 系統(tǒng)算子特征值的存在性

3.1 系統(tǒng)算子非零特征值的存在性

得到有關(guān)于p0,p1,p2,p3方程組行列式如下,

易證|D|有界,且當(dāng)γ>0時(shí),|D|≠0.

3.2 系統(tǒng)非零特征值的存在性

由馮雪等對(duì)系統(tǒng)特征值的分析可知[8],預(yù)解式有極點(diǎn)等價(jià)于|D|=0.

其中

b0=γ3+(a1+a2+a3+λs)γ2+(4λλs+a1a2+a1λs+a2a3+a3λs+a1a3)γ+

2λλsa1+2λλsa2+a1a2a3+a1a3λs,

b4=4λ2λsγ+2λ2λsa1+2λ2λsa2,

b5=2λ2γ2+2λ2(a2+a3)γ+2λ2a2a3,

γ3+(a1+a2+a3+λs)γ2+(4λλs+a1a2+a1λs+a2a3+a3λs+a1a3)γ+2λλsa1+

2λλsa2+a1a2a3+a1a3λs<0

(10)

4λ2λsγ+2λ2λsa1+2λ2λsa2<0

(11)

2λ2γ2+2λ2(a2+a3)γ+2λ2a2a3<0

(12)

為了計(jì)算簡(jiǎn)便,舉例證明.

3.3 特征值與特征向量一一對(duì)應(yīng)

4 系統(tǒng)的可靠性

4.1 方程的轉(zhuǎn)換

令μi(x)=μ3(i=4,5),

(13)

(14)

原方程組可描述為Banach空間X中抽象Cauchy問(wèn)題，

(15)

4.2 單調(diào)性證明

下面證明p0(t)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).

定理5 當(dāng)λs=λ,μ1=μ2=μ3=μ時(shí),p0(t)為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù).

證明在上述條件下,方程(12)可化為

(16)

p0(t)為單調(diào)遞減函數(shù),即

（一）廣開(kāi)言路，聽(tīng)取民意。在“為災(zāi)區(qū)獻(xiàn)愛(ài)心”的志愿活動(dòng)中，學(xué)校大隊(duì)部充分尊重隊(duì)員的“主人翁”地位，積極發(fā)揮隊(duì)員的主觀(guān)能動(dòng)性，讓隊(duì)員直接參與活動(dòng)的決策，廣泛聽(tīng)取隊(duì)員的心聲。首先由學(xué)校大隊(duì)部召開(kāi)各中隊(duì)干部會(huì)議，在會(huì)上提前傳達(dá)志愿活動(dòng)的主題，接著由各中隊(duì)自主思考、自主討論、收集和整理意見(jiàn)，然后學(xué)校大隊(duì)部再整合大家意見(jiàn)，確定活動(dòng)實(shí)施方案。這樣一來(lái)，志愿活動(dòng)的策劃方案自始自終都體現(xiàn)了少先隊(duì)員的主體地位，并且融匯了每個(gè)少先隊(duì)員的想法，提升了少先隊(duì)員參與活動(dòng)的積極性。在這次“為災(zāi)區(qū)獻(xiàn)愛(ài)心”的志愿活動(dòng)中，學(xué)校根據(jù)各中隊(duì)的意見(jiàn)，決定開(kāi)展“中隊(duì)大義賣(mài)”的活動(dòng)。

(17)

解得

(18)

4.3 系統(tǒng)可靠性分析

下面分兩步對(duì)系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行分析.

1) 當(dāng)0

而λs=λ,μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ(i=4,5),由微分方程的求解[9-10]可得原方程的解為

則

當(dāng)t=t0時(shí),

顯然p(t0)≥p0(t0),t0∈(0,t),其中

c11=eλ1t+a(-3λ-μ-λ1)+ba41+cb41,

c21=a2λ+ba21+cb21,c31=aλ+ba31+cb21,c41=ba41+cb41.

而

a11=(3λ+μ+λ2)(3λ+μ+λ1),a21=2λ(-5λ-2μ-λ1-λ2),

a31=λ(-5λ-2μ-λ1-λ2),a41=4λ2,

b11=(-3λ-μ-λ3)a11-μ41,b21=2λa11-(2λ+μ+λ3)a21,

b31=λ11-(2λ+μ+λ3)a31,b41=λa21+2λ31-(λ+λ3)a41,

h11=-λ(2λ+μ)2|A|-1,h12=μλ(2λ+μ)|A|-1,

h13=2μλ(2λ+μ)|A|-1,h14=μ(2λ+μ)|A|-1,

|A|=(2λ+μ)(6λ3+9λ2μ+μ2λ),

λi(i=1,2,3,4)為A的特征根,Qi是各已知量代數(shù)表示.

2) 當(dāng)x≥x0,t0≤t≤∞時(shí),此時(shí)令μ4,μ5(常數(shù))μ4<μ5,此時(shí)原方程中解的初值為(p0(t0),0,0,0)T.

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)具有內(nèi)部構(gòu)造安全保障體系系統(tǒng)模型的方程,使用泛函分析中的壓縮映照原理及不動(dòng)點(diǎn)定理證明該系統(tǒng)解的唯一性、對(duì)系統(tǒng)非負(fù)時(shí)間依賴(lài)解的存在且唯一性.并對(duì)該系統(tǒng)解的非零特征值的存在以及特征值與特征向量一一對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行的證明.在此基礎(chǔ)上對(duì)系統(tǒng)的可靠性分析進(jìn)行了證明,即得到系統(tǒng)的瞬態(tài)可靠性不小于牢固可靠性的結(jié)論.