徐睿東，郜中星，南方伯，韓瑩冰，張勇剛

（1.哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.青島哈爾濱工程大學(xué)創(chuàng)新發(fā)展中心，青島 266000）

半球諧振陀螺（Hemispherical Resonator Gyro,HRG）憑借其在高精度、高可靠性和抗輻射等方面的突出優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于軍用領(lǐng)域和民用領(lǐng)域。半球諧振陀螺具有兩種工作模式，分別為力平衡模式（Force-To-Rebalance,FTR）和全角模式（Whole-Angle,WA）。其中，力平衡模式具有檢測(cè)精度高的特點(diǎn)，但受限于控制器抑制駐波進(jìn)動(dòng)的能力，僅僅適用于動(dòng)態(tài)測(cè)量范圍較窄的應(yīng)用場(chǎng)景。全角模式下駐波能夠自由進(jìn)動(dòng)，陀螺具有無(wú)限大的帶寬和動(dòng)態(tài)測(cè)量范圍，因此有著廣闊的發(fā)展前景[1-4]。

然而，受到制備工藝的限制，在加工和裝配半球諧振陀螺的過(guò)程中會(huì)引入如：阻尼各向異性、剛度各向異性、電極裝配誤差等多種非理想因素。為了提升陀螺的性能指標(biāo)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于HRG 的誤差機(jī)理進(jìn)行了多角度的分析研究，并分別提出了誤差抑制與補(bǔ)償方法。郭錁琛等提出了基于電阻熱耗散原理的阻尼不對(duì)稱修調(diào)方法。然而，由于修調(diào)系統(tǒng)中存在干擾阻尼修調(diào)的非線性項(xiàng)，因此該方法不適用于振幅較大的諧振陀螺[1]。Z.X.Hu 等研究了速率積分陀螺中存在的多種非線性誤差因素，仿真并分析了多種非線性誤差源整體對(duì)于陀螺儀控制系統(tǒng)以及角度漂移的影響，但是沒(méi)有單獨(dú)分析每一種非線性誤差源對(duì)于陀螺輸出的影響[2]。寧友歡等研究了裝配傾角誤差能夠?qū)е掳肭蛑C振子剛度在周向角度上呈正弦規(guī)律變化進(jìn)而引起頻率裂解的問(wèn)題。研究結(jié)果表明，當(dāng)剛度變化0.05%時(shí)，可引起1 Hz 的頻率裂解[3]。張勇猛等給出了由檢測(cè)電極裝配誤差引起的電增益不一致可導(dǎo)致角度漂移在周向角度上呈周期性變化的結(jié)論[4]。

與上述誤差源不同的是，由電容變間距檢測(cè)方法導(dǎo)致檢測(cè)信號(hào)產(chǎn)生非線性失真（以下簡(jiǎn)稱為：檢測(cè)信號(hào)非線性）進(jìn)而引起的全角半球諧振陀螺漂移并不是由加工或裝配非理想造成的，而是由于系統(tǒng)自身特性產(chǎn)生的誤差，因此只能通過(guò)補(bǔ)償且很難利用修調(diào)等物理手段消除。綜上所述，針對(duì)檢測(cè)信號(hào)非線性進(jìn)行詳細(xì)的分析，對(duì)于明晰陀螺漂移的產(chǎn)生機(jī)理，探索漂移的補(bǔ)償方法以及提升陀螺的整體性能都具有重要意義。

本文針對(duì)電容變間距檢測(cè)方法引起全角半球諧振陀螺漂移誤差的問(wèn)題開(kāi)展研究，提出了一種用于描述這種角度漂移的數(shù)學(xué)模型。首先，本文給出了理想半球諧振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，闡明了電容變間距檢測(cè)方法的工作原理以及檢測(cè)信號(hào)中非線性項(xiàng)的來(lái)源；然后，介紹了全角半球諧振陀螺的控制系統(tǒng)，并根據(jù)駐波位置的解調(diào)原理逐步推導(dǎo)了檢測(cè)信號(hào)中的非線性項(xiàng)對(duì)于角度解算的影響，進(jìn)而提出了一種描述角度漂移的數(shù)學(xué)模型；隨后，對(duì)陀螺進(jìn)行了轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)并對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行了頻譜分析，結(jié)果表明在解算角速度的頻譜圖中存在四次諧波漂移和八次諧波漂移；最后，基于Simulink 工具箱搭建了全角半球諧振陀螺的多參數(shù)仿真平臺(tái)，利用該仿真平臺(tái)驗(yàn)證了檢測(cè)信號(hào)非線性對(duì)于陀螺輸出角度的影響。

1 半球諧振陀螺的電容變間距檢測(cè)方法

1.1 半球諧振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

為了解耦分析電容變間距檢測(cè)方法對(duì)于檢測(cè)信號(hào)的影響，需要忽略阻尼誤差、剛度誤差、裝配誤差等非理想因素，僅給出理想半球諧振子在笛卡爾坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程[5,6]。

式(1)中，x和y分別為半球諧振子在x模態(tài)和y模態(tài)上振動(dòng)的位移。τ為阻尼時(shí)間常數(shù)，ω為諧振角頻率，Ω 為外界輸入轉(zhuǎn)速，γ≈0.27為振型進(jìn)動(dòng)因子，n=2為振型階數(shù)。

半球諧振子的二階振型如圖1 所示，在科氏力的作用下，駐波以γ-Ω的角速度相對(duì)于半球諧振子進(jìn)行反向進(jìn)動(dòng)。半球諧振子的運(yùn)動(dòng)方程在笛卡爾坐標(biāo)系與橢圓坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換方程為[5,6]：

圖1 半球諧振子邊沿的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.1 Motion trajectory on the edge of hemispherical shell resonator

其中，a、q分別表示半球諧振子駐波的幅值信號(hào)和正交信號(hào)，θ表示半球諧振子的駐波方位角，φ表示等效質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相位，θ0和φ0分別為駐波的初始方位角和初始相位。

1.2 電容變間距檢測(cè)方法

半球諧振陀螺的電極分布如圖2 所示，在諧振子周向上均勻地分布著八個(gè)電極板。其中，D1、D2 分別為兩組差分驅(qū)動(dòng)電極，通過(guò)施加驅(qū)動(dòng)力來(lái)激勵(lì)諧振子起振并維持駐波穩(wěn)定。S1、S2 分別為兩組差分檢測(cè)電極，將半球諧振子的形變轉(zhuǎn)化為可量測(cè)的電壓信號(hào)。圖2 中的八個(gè)電極板被固定在基座上，而半球諧振子通過(guò)金屬化鍍膜工藝在表面上附著了一層金屬薄膜。電極板與其正對(duì)面積的金屬薄膜形成了可變間距的電容器，電容值由介電常數(shù)ε、電極板正對(duì)面積S和極板間距d決定。其中，d=d0-x，d0為初始極板間距，x為極板隨著半球諧振子形變產(chǎn)生的位移變化[7]。電容變間距檢測(cè)方法如圖2 所示。

圖2 半球諧振陀螺的電容變間距檢測(cè)方法Fig.2 Variable gap detection method for the capacitor of HRG

與此同時(shí)，由于半球諧振子的駐波在機(jī)械角度間隔90 °的任意兩個(gè)方向上具有完全相反的形變量，因此可以通過(guò)差分檢測(cè)方法來(lái)減小信號(hào)傳輸過(guò)程中引入的共模干擾。式(3)給出了間隔90 °的兩組差分檢測(cè)電極上量測(cè)的電壓檢測(cè)信號(hào)VSx+、VSx-。

其中，V dc為直流偏置電壓，C0為初始電容值，R為放大電阻值。為了分析檢測(cè)信號(hào)中的非線性項(xiàng)，將式(3)進(jìn)行泰勒展開(kāi)。由于振幅過(guò)大會(huì)增加半球諧振子損壞的風(fēng)險(xiǎn)，通常令x?d0，因此可以忽略泰勒展開(kāi)式中高于三階的余項(xiàng)[2]，如式(4)所示。

差分檢測(cè)信號(hào)VSx可表示為：

2 半球諧振陀螺工作原理與檢測(cè)信號(hào)非線性分析

全角半球諧振陀螺的控制系統(tǒng)框圖如圖3 所示。在檢測(cè)電極后端的模擬電路中依次使用了差分檢測(cè)、跨阻放大、帶通濾波等方法對(duì)檢測(cè)信號(hào)VSx、VSy進(jìn)行處理，以此提高檢測(cè)信號(hào)的信噪比。將優(yōu)化的檢測(cè)信號(hào)通過(guò)模數(shù)信號(hào)轉(zhuǎn)換模塊轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)，再與參考信號(hào)Vrc、V rs進(jìn)行乘法解調(diào)，分別通過(guò)IIR 低通濾波得到用于橢圓參數(shù)解算的信號(hào)：Cx、Sx、Cy、Sy。再通過(guò)橢圓參數(shù)解算方程分別得到半球諧振子駐波的橢圓參數(shù)：a、q、θ、δ[8]。其中a、q、δ分別應(yīng)用于幅值控制回路、正交控制回路、相頻控制回路。θ既是陀螺輸出信號(hào)，同時(shí)也參與驅(qū)動(dòng)信號(hào)的調(diào)制合成，來(lái)實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)力與駐波方位角的對(duì)準(zhǔn)。

圖3 全角半球諧振陀螺的控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of HRG control system with WA mode operation

在幅值控制回路與正交控制回路的作用下，a?q，因此可以將式(2)化簡(jiǎn)得到式(6)。隨后，將式(6)代入式(5)中，得到經(jīng)過(guò)帶通濾波器（Band Pass Filter,BPF ）后的檢測(cè)信號(hào)如式(7) 所示，其中N=-2aω RVdcC0/d0。

同理，可得：

在相頻控制回路的作用下，參考信號(hào)相對(duì)于檢測(cè)信號(hào)具有固定的相位差。令：Vrc=Accos（φ-π/2），Vrs=Acsin（φ-π/2），Ac為參考信號(hào)幅值。解調(diào)后通過(guò)低通濾波器（Low Pass Filter,LPF）濾除諧振頻率的二次諧波項(xiàng)，得到Cx、Sx、Cy、Sy，如式(9)所示。

其中，A=α2+αβ，B=α2+2αβ。

式(11)給出了解算角度θc與駐波方位角θ的關(guān)系表達(dá)式，式(12)給出了由檢測(cè)信號(hào)非線性引起的角度漂移數(shù)學(xué)模型。

在式(12)中，=γ-Ω表示駐波轉(zhuǎn)速，將A、B的展開(kāi)式帶入式(12)中進(jìn)一步化簡(jiǎn)，如式(13)所示：

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與仿真結(jié)果分析

陀螺正常工作時(shí)為了保證半球諧振子的安全，振幅間距比λ通常小于1/10。為了不失一般性，本文選擇λ=7.45%。首先，給出當(dāng)λ=7.45%時(shí)式(11)(12)的計(jì)算結(jié)果，如圖4 所示：橫坐標(biāo)為駐波進(jìn)動(dòng)角度；紅色線條對(duì)應(yīng)右側(cè)縱坐標(biāo)，為解算角度θc；藍(lán)色線條對(duì)應(yīng)左側(cè)縱坐標(biāo)，為解算角速度。圖4 表明，檢測(cè)信號(hào)非線性引起了中的八次諧波漂移誤差項(xiàng)。

圖4 λ=7.45%時(shí)，解算角度 θ c與解算角速度在駐波進(jìn)動(dòng)角度上呈現(xiàn)周期性變化Fig.4 The periodic variations of θ cand within the standing wave precession angle as λ=7.45%

隨后對(duì)陀螺進(jìn)行了轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)裝置包括單軸速率轉(zhuǎn)臺(tái)以及半球諧振陀螺，如圖5 所示。通過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)為陀螺提供穩(wěn)定的外界輸入轉(zhuǎn)速400 °/s，令駐波能夠保持勻速進(jìn)動(dòng)。通過(guò)傅里葉變換的方法對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，并對(duì)幅值特性進(jìn)行歸一化處理，如圖6 所示。

圖5 轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)裝置Fig.5 The equipment for turntable experiment

圖6 解算角速度的歸一化頻譜圖Fig.6 The normalized frequency spectrogram of the calculation angular velocity

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在解算角速度的歸一化頻譜圖中可以清晰地觀測(cè)到四次諧波項(xiàng)和八次諧波項(xiàng)，八次諧波項(xiàng)歸一化幅值為四次諧波項(xiàng)歸一化幅值的14.52%。其中，四次諧波漂移誤差[5]主要是由阻尼各向異性引起的，如式(16)所示。

八次諧波漂移誤差則主要是由檢測(cè)信號(hào)非線性引起的，如式(14)所示。為了驗(yàn)證所提出的檢測(cè)信號(hào)非線性理論對(duì)于陀螺控制系統(tǒng)的影響，利用Simulink 工具箱搭建全角半球諧振陀螺的多參數(shù)仿真平臺(tái)，如圖7 所示。靜電驅(qū)動(dòng)模塊包含了數(shù)模信號(hào)轉(zhuǎn)換與高壓放大電路；電容非線性檢測(cè)模塊包含了電容變間距檢測(cè)與模數(shù)信號(hào)轉(zhuǎn)換；信號(hào)解調(diào)模塊、橢圓參數(shù)解算模塊、信號(hào)調(diào)制模塊分別對(duì)應(yīng)了圖3 中的檢測(cè)信號(hào)幅相解調(diào)模塊、橢圓參數(shù)解算模塊以及驅(qū)動(dòng)信號(hào)調(diào)制合成模塊；理想半球諧振子模塊包含了式(1)中的運(yùn)動(dòng)方程，排除了半球諧振子振動(dòng)模型中的非理想因素，因此消去了解算中由阻尼各向異性和剛度各向異性引起的漂移誤差[5,9]。表1 列出了應(yīng)用于仿真模型的外界輸入轉(zhuǎn)速、理想半球諧振子的特征參數(shù)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)。圖8(a)展示了當(dāng)駐波轉(zhuǎn)速為108 °/s而振幅間距比變化時(shí)，在周向角度上的解算角速度曲線?？芍寒?dāng)使用電容變間距檢測(cè)方法時(shí)，中存在八次諧波誤差項(xiàng)，并且A8th與λ呈正相關(guān)。由圖8(b)可以得出如下結(jié)論：當(dāng)不變時(shí)，A8th與λ呈高階多項(xiàng)式正相關(guān)，與式(15)的趨勢(shì)一致。由于電極初始間距d0保持不變，可以通過(guò)減小半球諧振子的振幅來(lái)削弱八次諧波誤差。然而，振幅減小也會(huì)導(dǎo)致檢測(cè)信號(hào)信噪比降低，同樣不利于半球諧振陀螺精度的提高。因此，需要在后續(xù)研究過(guò)程中探索效果更好的補(bǔ)償方法。

圖7 全角半球諧振陀螺仿真模型Fig.7 Simulation model of HRG with WA mode operation

圖8 =108 °/s 時(shí)，振幅間距比不同的檢測(cè)信號(hào)非線性對(duì)于解算角速度以及八次諧波幅值的影響Fig.8 The influence of nonlinear detection signal with different amplitude gap ratio on the calculation angular velocity and the amplitude of 8th harmonic as =108 °/s

表1 半球諧振陀螺仿真參數(shù)設(shè)置Tab.1 Simulation parameters of HRG

圖9 中藍(lán)色線條表示當(dāng)λ=7.45%而駐波轉(zhuǎn)速變化時(shí)，全角HRG 仿真模型的運(yùn)行結(jié)果，紅色線條表示當(dāng)λ=7.45%而駐波轉(zhuǎn)速變化時(shí)直接利用式(15)計(jì)算A8th的運(yùn)算結(jié)果。由圖9 可知：當(dāng)λ不變時(shí)，A8th與駐波轉(zhuǎn)速呈線性正相關(guān)；此外，HRG 仿真模型的運(yùn)行結(jié)果與式(15)的計(jì)算結(jié)果基本一致，其中存在計(jì)算誤差的原因在于：在式(10)的化簡(jiǎn)過(guò)程中忽略了系數(shù)為2β的極小諧波誤差項(xiàng)。綜上所述，通過(guò)式(15)可以直接計(jì)算八次諧波誤差項(xiàng)的幅值，同時(shí)也為八次諧波誤差的補(bǔ)償提供了理論支持。

圖9 λ=7.45%時(shí)，駐波轉(zhuǎn)速對(duì)于八次諧波幅值的線性影響Fig.9 Linear influence of standing wave precession velocity on the amplitude of 8th harmonic as λ=7.45%

4 結(jié)論

本文分析了在理想半球諧振子中，電容變間距檢測(cè)方法引起的全角半球諧振陀螺角度漂移，并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。隨后分別對(duì)陀螺進(jìn)行了轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證以及Simulink 程序仿真，實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果均表明：電容變間距檢測(cè)方法會(huì)引起檢測(cè)信號(hào)的非線性失真，進(jìn)而導(dǎo)致解算角度中存在與周向角度八次諧波相關(guān)的漂移。進(jìn)一步的仿真結(jié)果表明：此項(xiàng)漂移的幅值與振幅間距比呈高階多項(xiàng)式正相關(guān)，與駐波轉(zhuǎn)速呈線性正相關(guān)。下一步的工作將會(huì)利用單軸速率轉(zhuǎn)臺(tái)采集陀螺輸出的數(shù)據(jù)集對(duì)八次諧波漂移進(jìn)行實(shí)時(shí)校準(zhǔn)與補(bǔ)償。