趙萬良，江文杰，張?zhí)煜?，?琦，邵添羿

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海慣性工程技術(shù)研究中心，上海 201109）

半球諧振陀螺具有穩(wěn)定的化學(xué)、物理性質(zhì)，其力平衡模式在衛(wèi)星、深空探索、潛艇等載體上已得到廣泛應(yīng)用[1]。力平衡模式控制下的半球諧振陀螺的測(cè)量范圍和帶寬較小，無法滿足捷聯(lián)慣導(dǎo)對(duì)陀螺儀的動(dòng)態(tài)要求，全角模式半球諧振陀螺有著更大的測(cè)量范圍和帶寬，更加適用于捷聯(lián)慣導(dǎo)、導(dǎo)彈制導(dǎo)等具有一定動(dòng)態(tài)性能要求的應(yīng)用場(chǎng)景。

不同于力平衡工作模式中被鎖定在固定軸的駐波[2]，全角模式中駐波可以自由進(jìn)動(dòng)。由于駐波可能出現(xiàn)在360 °的任意方向，對(duì)陀螺的對(duì)稱性提出了更高要求。這種對(duì)稱性要求主要體現(xiàn)在表頭的頻差、阻尼不均勻、電極安裝誤差，以及檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)電路的增益、相移非對(duì)稱[3-7]。目前國(guó)內(nèi)外針對(duì)陀螺非對(duì)稱性提出了補(bǔ)償或者校準(zhǔn)的方法[8-11]，文獻(xiàn)[12]從信號(hào)解調(diào)的角度分析了檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路增益非對(duì)稱誤差對(duì)駐波解算角度的影響[12]，但沒有研究檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路非對(duì)稱性對(duì)陀螺標(biāo)度因子和零偏的影響。

本文針對(duì)全角模式中檢測(cè)、驅(qū)動(dòng)電路的增益和相移非對(duì)稱，對(duì)駐波的進(jìn)動(dòng)特性進(jìn)行理論分析，得到檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路非對(duì)稱性對(duì)陀螺標(biāo)度因子線性度和穩(wěn)定度的影響機(jī)理，提出對(duì)0 °和45 °電極的檢測(cè)以及驅(qū)動(dòng)電路進(jìn)行復(fù)用，該方法基本消除了兩路的增益和相移非對(duì)稱性，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 增益與相移誤差理論分析

1.1 陀螺動(dòng)力學(xué)模型

帶有非理想因素的半球諧振陀螺諧振子動(dòng)力學(xué)模型可表示為[13]：

ωx和ωy為兩個(gè)振動(dòng)模態(tài)的諧振頻率，θ ω為剛性頻率簡(jiǎn)正軸，τx和τy為兩個(gè)阻尼簡(jiǎn)正軸的時(shí)間衰減常數(shù)，k為進(jìn)動(dòng)因子，Δω為陀螺的頻差，Ω 為外界輸入角速度，當(dāng)諧振子處于四波腹振蕩狀態(tài)時(shí)，n=1，ΔGx(ΔGy)和Δφx(Δφy)代表x(y)檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路的增益和相移非對(duì)稱性，f(ΔGx,Δφx)、f(ΔGy,Δφy)為控制電極對(duì)諧振子的施力項(xiàng)。

式(1)包含了表頭的頻差和阻尼不均勻?qū)ν勇莸挠绊懀鴻z測(cè)驅(qū)動(dòng)電路的增益和相移非對(duì)稱誤差對(duì)陀螺的影響機(jī)理尚不明確，為進(jìn)一步探討f(ΔGx,Δφx)和f(ΔG y,Δφy)的具體形式，分別對(duì)檢測(cè)端和驅(qū)動(dòng)端的電路進(jìn)行建模并代入到動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行分析。

1.2 檢測(cè)電路增益與相移非對(duì)稱誤差分析

信號(hào)檢測(cè)電路將陀螺的振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)化為可以利用的電信號(hào)，信號(hào)檢測(cè)電路示意圖如圖1 所示。

圖1 信號(hào)檢測(cè)電路Fig.1 Signal detection circuitry

定義x和y檢測(cè)電路的增益為Gx=KCVx K folx K difx KADx、G y=K CVyK foly K dify KADy，定義x和y檢測(cè)電路的相移為Δφ x、Δφ y，檢測(cè)到的振動(dòng)信號(hào)分別記為xt、yt，檢測(cè)信號(hào)滿足式(2)。

當(dāng)檢測(cè)電路相移很小時(shí)，檢測(cè)信號(hào)和陀螺振動(dòng)信號(hào)之間的關(guān)系滿足式(3)。

結(jié)合式(3)(4)得到式(5)：

對(duì)矩陣求逆，得到陀螺振動(dòng)信號(hào)的表達(dá)式：

將式(6)代入到式(1)，得到含有檢測(cè)電路增益和相移的半球諧振動(dòng)力學(xué)模型：益和相移的動(dòng)力學(xué)模型，將動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為描述振型的慢變量方程[14]：

與檢測(cè)驅(qū)動(dòng)增益和相移有關(guān)的項(xiàng)為：

其中a、q、θ和φ分別為陀螺駐波的振幅、正交誤差、進(jìn)動(dòng)角和相位，式(9)表示了檢測(cè)電路的增益與相移非對(duì)稱性對(duì)陀螺振幅、正交誤差、駐波進(jìn)動(dòng)角和振動(dòng)相位的影響，陀螺的標(biāo)度因子由第三項(xiàng)決定，其中-KΩ 為半球諧振陀螺的駐波進(jìn)動(dòng)角速度，別代表檢測(cè)電路增益和相移非對(duì)稱性造成的影響。

1.3 驅(qū)動(dòng)電路增益與相移非對(duì)稱誤差分析

半球諧振陀螺全角模式的控制環(huán)路包括頻相跟蹤環(huán)路、幅度控制環(huán)路、正交控制環(huán)路，陀螺的驅(qū)動(dòng)信號(hào)為：

其中FE為幅度控制環(huán)路驅(qū)動(dòng)力，F(xiàn) q為正交控制環(huán)路驅(qū)動(dòng)力，Gc和Δφc表示0°驅(qū)動(dòng)電路的增益和相移，Gs和Δφs表示45°驅(qū)動(dòng)電路增益和相移。

引入驅(qū)動(dòng)電路增益和相項(xiàng)后，增益和相移的非對(duì)稱導(dǎo)致駐波產(chǎn)生漂移，記引入增益項(xiàng)后的駐波角度為θd，θd滿足式(11)

將式(11)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到包含驅(qū)動(dòng)電路增益與相移的駐波角度表達(dá)式

其中T=2π/ω，則等式右邊第三項(xiàng)為零，可得

1.4 電路增益和相移誤差對(duì)陀螺的影響

綜合考慮檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)電路增益與相移非對(duì)稱對(duì)陀螺的影響，聯(lián)立式(8)(14)，忽略二階小量，得到包含檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路增益和相移非對(duì)稱性的駐波進(jìn)動(dòng)角速度表達(dá)式：

因此全角模式下陀螺的零偏為：

標(biāo)度因子為：

分析式(9)(17)可知，在標(biāo)度因子的影響因素中與相移有關(guān)的項(xiàng)為相移非對(duì)稱與正交誤差量的乘積，當(dāng)正交回路達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，該項(xiàng)的影響可以忽略。因此檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路非對(duì)稱性對(duì)陀螺的影響主要體現(xiàn)在增益非對(duì)稱。驅(qū)動(dòng)電路增益非對(duì)稱和檢測(cè)電路增益非對(duì)稱通過對(duì)陀螺振幅a和正交q的影響間接影響了陀螺的零偏，但在陀螺的閉環(huán)控制中，正交誤差被抑制到接近 0，所以對(duì)零偏的影響可以忽略，但它們對(duì)標(biāo)度因子則產(chǎn)生了直接影響，且驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)電路的非對(duì)稱性對(duì)標(biāo)度因子的影響形式基本相同。根據(jù)4.1 節(jié)實(shí)測(cè)的增益非對(duì)稱數(shù)據(jù)，按照式(17)繪制不同增益非對(duì)稱下的標(biāo)度因子與駐波角度的關(guān)系如圖2 所示。

圖2 標(biāo)度因子和駐波角度的關(guān)系Fig.2 The relationship between the scale factor and the standing wave angle

由圖2 可知，檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)電路的增益非對(duì)稱性會(huì)造成全角模式下陀螺的標(biāo)度因子和駐波的角度有關(guān)，導(dǎo)致的標(biāo)度因子的非線性；此外，非對(duì)稱性往往還會(huì)隨著溫度的變化而變化，導(dǎo)致了標(biāo)度因子的不穩(wěn)定性。

2 增益非對(duì)稱抑制方法

2.1 電路增益變化特性

在實(shí)際的電路中，以下因素會(huì)導(dǎo)致電路增益的非對(duì)稱：

1.陀螺檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)電路主要由運(yùn)算放大器和阻容元件組成，不同檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路的器件參數(shù)值存在誤差。

2.當(dāng)外界溫度變化時(shí)，由于溫度梯度的存在，不同器件的溫度變化不同，電阻、電容的值以及運(yùn)算放大器的開環(huán)增益、帶寬等參數(shù)隨溫度的變化呈非對(duì)稱性。

由于檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路主要由運(yùn)放與其外圍器件構(gòu)成，差分放大器的特性能較好反映電路增益變化規(guī)律，其結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

圖3 差分放大器結(jié)構(gòu)Fig.3 The architecture of differential amplifier

令R1=R3，R2=R4，考慮增益帶寬積，差分放大器的傳遞函數(shù)為

其中f0為運(yùn)放的開環(huán)增益低頻極點(diǎn)，Gbw為運(yùn)放的增益帶寬積，以O(shè)P470 和薄膜電阻為例，其參數(shù)如表1 所示。OP470增益帶寬積隨溫度變化如圖4所示。

表1 OP470 和薄膜電阻參數(shù)Tab.1 The parameters of OP470 and thin film resistance

圖4 OP470 增益帶寬積與溫度的關(guān)系Fig.4 OP470 gain bandwidth product vs.temperature

令R1、R2、R3和R4的初始值相等，R2和Gbw的值隨溫度變化，根據(jù)式(18)繪制增益-溫度變化圖，由圖5 可知，差分放大器增益變化與溫度基本呈線性關(guān)系。

圖5 差分放大器增益與溫度的關(guān)系Fig.5 Differential amplifier gain vs.temperature

2.2 增益非對(duì)稱抑制方法

根據(jù)第一章的分析結(jié)果，陀螺的檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)電路的非對(duì)稱會(huì)造成標(biāo)度因子非線性和不穩(wěn)定性，為解決這個(gè)問題，可以通過切換的方式使得兩路信號(hào)共用檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)回路來抑制增益非對(duì)稱性，原理如圖6 所示。

圖6 驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)電路單路復(fù)用原理圖Fig.6 Single-way multiplexing schematic ofdrive and detection circuits

1.狀態(tài)一：檢測(cè)0°軸，驅(qū)動(dòng)45°軸

2.狀態(tài)二：檢測(cè)45°軸，驅(qū)動(dòng)0°軸

陀螺0°軸和45°軸通過同一個(gè)檢測(cè)電路和驅(qū)動(dòng)電路，單路復(fù)用的電路增益和相移非對(duì)稱性滿足式(19)：

由式(19)可知，單路復(fù)用理論上可以消除檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路的增益和相移非對(duì)稱性，信號(hào)處理模塊前后的反切換使得信號(hào)恢復(fù)為0 °和45 °信號(hào)，所以單路復(fù)用在減少電路硬件的同時(shí)不用改變信號(hào)處理的邏輯，原理圖中的開關(guān)可以使用遠(yuǎn)高于陀螺諧振頻率的切換信號(hào)，當(dāng)切換頻率大于或等于AD(DA)兩倍采樣率時(shí)，數(shù)字信號(hào)處理電路理論上可以獲得與雙路驅(qū)動(dòng)檢測(cè)相同的信號(hào)，因此不會(huì)對(duì)陀螺的角度變化帶寬帶來影響，實(shí)際中可以采用具有高切換頻率的模擬開關(guān)器件，由FPGA 產(chǎn)生大于或等于AD(DA)兩倍采樣率的開關(guān)控制信號(hào)，單路復(fù)用的關(guān)鍵在于信號(hào)的切換，必須保證信號(hào)在切換過程中不互相干擾且能夠完全復(fù)原。

3 仿真驗(yàn)證

為確定單路復(fù)用的可行性，在matlab 中搭建陀螺的控制模型，進(jìn)行信號(hào)切換的功能性仿真并在全角模式下驗(yàn)證單路復(fù)用對(duì)標(biāo)度因子非線性和穩(wěn)定性的提升。

根據(jù)式(1)在matlab 中建立陀螺數(shù)學(xué)模型并作為控制系統(tǒng)的受控對(duì)象，用160 kHz 的方波作為開關(guān)控制信號(hào)將0 °軸和45 °軸的檢測(cè)信號(hào)切換到同一個(gè)檢測(cè)通道，信號(hào)切換結(jié)果如圖7 所示

圖7 檢測(cè)電路前端信號(hào)切換Fig.7 Detects front-end signal switching in the circuit

模擬信號(hào)經(jīng)過AD 采樣后變?yōu)閿?shù)字信號(hào)，在數(shù)字處理器中對(duì)該信號(hào)進(jìn)行反切換，將其還原為0 °軸信號(hào)和45 °軸信號(hào)，AD 采集的信號(hào)以及信號(hào)的還原過程如圖8 所示。

圖8 檢測(cè)電路后端信號(hào)還原Fig.8 circuit back-end signal restoration

驅(qū)動(dòng)端的信號(hào)切換過程與檢測(cè)端類似，所有切換的控制信號(hào)為同一個(gè)信號(hào)，保證信號(hào)切換的同步性。

根據(jù)1.3 節(jié)結(jié)論，檢測(cè)驅(qū)動(dòng)非對(duì)稱對(duì)陀螺的影響主要體現(xiàn)在增益非對(duì)稱，由下文中4.1 節(jié)的增益非對(duì)稱溫度實(shí)驗(yàn)可知在25℃到85℃的溫度范圍內(nèi)，增益非對(duì)稱最大值為5.8‰，根據(jù)理論以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在仿真中設(shè)置檢測(cè)驅(qū)動(dòng)增益非對(duì)稱GΔ 為6‰，其余仿真參數(shù)如表2 所示。

表2 陀螺雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)與單路復(fù)用仿真參數(shù)Tab.2 Gyro dual detection drive and single multiplexed simulation parameters

其中，f為陀螺諧振頻率，Δω為陀螺頻差，Q為陀螺的品質(zhì)因數(shù)，θw和θτ分別為陀螺頻率軸和阻尼軸，以上參數(shù)按照接近陀螺真實(shí)情況設(shè)置；模擬外界角速度，分別設(shè)置為 ±1 °/s、±1 0°/s、±5 0°/s、±100°/s，記錄全角模式下陀螺角度的輸出，對(duì)比雙路檢測(cè)和單路復(fù)用情況下標(biāo)度因子的線性度，陀螺的輸入輸出以及擬合曲線如圖9-10 所示。

圖9 雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)標(biāo)度因數(shù)仿真Fig.9 Dual-channel detection drives scale factor simulation

圖10 單路復(fù)用標(biāo)度因數(shù)仿真Fig.10 Single multiplexed scale factor simulation

全角模式標(biāo)度因子非線性度的計(jì)算方法為：

仿真結(jié)果顯示雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)的標(biāo)度因數(shù)非線性為296.7 ppm，單路復(fù)用的標(biāo)度因數(shù)非線性為0.3 ppm，提升了約4 個(gè)數(shù)量級(jí)。

按照4.1 節(jié)增益非對(duì)稱實(shí)驗(yàn)結(jié)果設(shè)置溫度從25℃到85℃時(shí)的增益非對(duì)稱性參數(shù)，共10 個(gè)溫度點(diǎn)，如表3 所示。

表3 不同溫度下的增益非對(duì)稱參數(shù)Tab.2 Gain asymmetrical parameters at different temperatures

不同溫度下設(shè)外界輸入角速度分別為±1°/s、±10°/s、±50°/s、±100°/s，計(jì)算不同溫度下的標(biāo)度因數(shù)，對(duì)比雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)和單路復(fù)用的標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性，仿真結(jié)果如圖11 所示。

圖11 標(biāo)度因子與溫度的關(guān)系Fig.11 The relationship between the scale factor and temperature

雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)和單路復(fù)用的標(biāo)度因子分別變化了970.7 ppm 和0.1 ppm，降低了約5 個(gè)數(shù)量級(jí)。

以上仿真結(jié)果表明，檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)電路的單路復(fù)用基本可以消除檢測(cè)增益非對(duì)稱性對(duì)標(biāo)度因子線性度和穩(wěn)定性的影響。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 電路增益非對(duì)稱性實(shí)驗(yàn)

為確定電路增益非對(duì)稱性與溫度的關(guān)系，用正弦信號(hào)測(cè)試陀螺0 °和45 °的驅(qū)動(dòng)檢測(cè)電路增益，原理如圖12 所示。

圖12 電路增益檢測(cè)原理Fig.12 The schematic of circuit gain detection

將陀螺檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路放進(jìn)溫箱，設(shè)置溫度變化程序?yàn)椋撼跏贾?5℃，保持10 分鐘后以1℃/min 的溫變速率上升到85℃并保持十分鐘，然后以-1℃/min 的溫變速率下降到初始值，記錄兩路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路的增益，并做歸一化處理，結(jié)果如圖13 所示。

圖13 電路增益非對(duì)稱溫度實(shí)驗(yàn)Fig.13 Circuit gain asymmetric temperature experiment

由圖16 可知，0 °和45 °檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路的增益在25℃存在0.9‰的差異，隨著溫度的上升，兩路的增益非對(duì)稱性也逐漸增大，且近似呈線性關(guān)系，到85℃時(shí)增益非對(duì)稱達(dá)到了5.8‰。

4.2 控制電路單路復(fù)用實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析和仿真結(jié)果，根據(jù)2.2節(jié)提出的單路復(fù)用方法設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)檢測(cè)切換電路并測(cè)試單路復(fù)用下的CV 輸出，如圖14 所示。

圖14 單路復(fù)用切換電路及CV 輸出Fig.14 Single multiplexed switching circuit and CV output

對(duì)比圖14 和圖7 可知，單路復(fù)用下的CV 輸出與仿真結(jié)果基本相符。接下來搭建陀螺測(cè)試平臺(tái)，分別開展雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)和單路復(fù)用的轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)，先后將兩種硬件狀態(tài)的陀螺和控制電路固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上，控制轉(zhuǎn)臺(tái)以±1 °/s,±5 °/s,±10 °s/ ±20 °/s,±50 °/s 的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，記錄每個(gè)轉(zhuǎn)速下60 s 的角度輸出數(shù)據(jù)，測(cè)試平臺(tái)如圖18 所示。

圖15 是測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)正向輸入20 °/s 時(shí)，雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)與單路復(fù)用的角速度-方位角曲線。

圖15 半球諧振陀螺測(cè)試平臺(tái)Fig.15 Hemispheric resonant gyroscope test platform

由圖16 可知，與雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)相比，單路復(fù)用將角速度漂移降低了82%，根據(jù)式(15)，剩余的角速度漂移為與阻尼不均勻有關(guān)的零偏。按照式(20)計(jì)算雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)與單路復(fù)用的標(biāo)度因數(shù)非線性，結(jié)果如圖17 所示。

圖16 雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)與單路復(fù)用的角度-角速度對(duì)比Fig.16 Angular-angular velocity comparison between dual detection driver and single multiplexed

圖17 雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)與單路復(fù)用的標(biāo)度因數(shù)非線性對(duì)比Fig.17 Nonlinear comparison of scale factor of dual detection driver and single multiplexing

由圖17 可知，單路復(fù)用將標(biāo)度因數(shù)非線性從6%降低到了1.3%，與角速度漂移一樣，如果需要進(jìn)一步降低標(biāo)度因數(shù)非線性，需要解決諧振子阻尼不均勻問題。

5 結(jié)論

本文首先推導(dǎo)了含有檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路非對(duì)稱項(xiàng)的半球諧振陀螺非理想動(dòng)力學(xué)模型，得出檢測(cè)驅(qū)動(dòng)電路非對(duì)稱對(duì)陀螺的影響主要體現(xiàn)在增益非對(duì)稱的結(jié)論；然后通過仿真得到在6‰檢測(cè)驅(qū)動(dòng)增益非對(duì)稱下標(biāo)度因子的非線性和不穩(wěn)定性分別為 296.7 ppm 和970.7 ppm，提出一種單路復(fù)用方法抑制電路的增益非對(duì)稱，仿真結(jié)果顯示通過單路復(fù)用可將增益非對(duì)稱帶來的標(biāo)度因數(shù)非線性和不穩(wěn)定性分別降到0.3 ppm 和0.1 ppm，證明了方法的有效性；接下來開展溫度實(shí)驗(yàn)證明了電路的增益非對(duì)稱與溫度基本呈線性關(guān)系；最后開展雙路檢測(cè)驅(qū)動(dòng)與單路復(fù)用的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示單路復(fù)用將角速度漂移降低了82%，將標(biāo)度因數(shù)非線性從6%降低到了1.3%，結(jié)合理論分析可知剩余的誤差主要取決于諧振子的阻尼不均勻；根據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出結(jié)論：?jiǎn)温窂?fù)用可以有效解決全角模式的電路增益非對(duì)稱問題。