薛紅琳 王家福 于先文

0 引言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System,GNSS)因其全天候、高精度的優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于自然保護(hù)地監(jiān)管、地質(zhì)礦產(chǎn)、國土空間規(guī)劃等領(lǐng)域[1-3].載波相位定位技術(shù)是GNSS精密定位最常用的方法.然而在載波相位測量過程中,始終存在著一個(gè)整周未知數(shù),該整周未知數(shù)常被稱作整周模糊度.準(zhǔn)確快速地確定整周模糊度是實(shí)現(xiàn)GNSS載波精密定位的必要條件和關(guān)鍵問題.

當(dāng)前,整周模糊度的解算普遍按照4個(gè)步驟進(jìn)行[4]:第1步,根據(jù)平差模型解算出模糊度及其他參數(shù)的實(shí)數(shù)解;第2步,對模糊度的實(shí)數(shù)解進(jìn)行整數(shù)估計(jì),得到模糊度的候選整數(shù)解;第3步,對模糊度的候選整數(shù)解進(jìn)行確認(rèn);第4步,一旦候選整數(shù)解通過確認(rèn),便將其作為模糊度真值進(jìn)行回代從而修正定位解.然而,由于載波相位觀測過程中存在著各種誤差,所求得的模糊度候選解不一定是正確的,因此在得到模糊度的候選整數(shù)解之后,對其進(jìn)行檢驗(yàn)確認(rèn)的步驟就顯得尤為重要.

早期的模糊度檢驗(yàn)方法主要是通過判斷最優(yōu)候選解與次優(yōu)候選解之間是否存在顯著差異來判斷最優(yōu)候選解能否通過檢驗(yàn)的.這類區(qū)別性檢驗(yàn)方法主要包括F-ratio Test[5]、R-ratio Test[6]、W-ratio Test[7]和差值檢驗(yàn)(Difference Test)[8]等.差值檢驗(yàn)是上述模糊度檢驗(yàn)方法中最常用的方法之一,它利用最優(yōu)候選解與次優(yōu)候選解對應(yīng)的殘差二次型進(jìn)行求差,用這個(gè)差值表示最優(yōu)解與次優(yōu)解之間的差異程度,并與給定的閾值相比較,以此來判斷最優(yōu)解是否能通過檢驗(yàn).在差值檢驗(yàn)的過程中,一個(gè)關(guān)鍵的步驟是給定閾值.通常,差值檢驗(yàn)的閾值主要是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給定固定值[6,9],這種方法簡單但可靠性難保障.整數(shù)孔徑估計(jì)理論提出后,Teunissen[10-11]提出一種基于固定失敗率的閾值確定方法.這種方法將閾值與失敗率聯(lián)系起來,給出了一種建立表格的方法,根據(jù)用戶需要的失敗率水平來確定對應(yīng)的閾值[12-13].隨后,吳澤民等[14-15]提出了后驗(yàn)概率檢驗(yàn),從貝葉斯理論入手深入研究了相應(yīng)的模糊度固定方法.對于應(yīng)用頗為廣泛的固定失敗率方法來說,雖然該方法能通過控制孔徑大小來控制失敗率水平,但是缺陷與經(jīng)驗(yàn)法類似,所得閾值不能直觀地反映定位解的正確程度.

本文首先對整數(shù)孔徑估計(jì)理論和固定正確率進(jìn)行分析,在此基礎(chǔ)上提出一種基于固定正確率的差值檢驗(yàn)閾值確定方法,并根據(jù)半仿真計(jì)算給出了相應(yīng)的閾值取值建議.

1 整數(shù)孔徑估計(jì)

1.1 基本理論

任何GNSS載波定位模型都可以用下式表示:

V=Aa+Bb-L,

(1)

Ua∩Ub=?,?a,b∈Zn,a≠b,

Uz=U0+z,?z∈Zn,

(2)

式中,Uz表示整數(shù)孔徑估計(jì)的歸整域,U表示整數(shù)孔徑估計(jì)的全體歸整域集合,U0表示原始?xì)w整域,z表示整數(shù)平移向量.

圖1 二維情況整數(shù)孔徑估計(jì)的歸整域(綠色:固定正確;紅色:固定錯(cuò)誤;白色:無法固定)Fig.1 Pull-in regions of integer aperture estimation for 2-dimensional case(green:fixed correctly;red:fixed incorrectly;white:could not be fixed)

圖1表示二維情況下整數(shù)孔徑估計(jì)的歸整域.由整數(shù)孔徑估計(jì)的定義可知模糊度估計(jì)對應(yīng)著3種結(jié)果,即成功、失敗以及無法固定.

1)模糊度實(shí)數(shù)解落入正確的歸整域Ωs,如圖1中綠色區(qū)域,此時(shí)模糊度固定成功;

2)模糊度實(shí)數(shù)解落入錯(cuò)誤的歸整域Ωf,如圖1中紅色區(qū)域,此時(shí)模糊度固定失敗;

3)模糊度實(shí)數(shù)解并未落入任一歸整域而是落入了不確定域,如圖1中白色區(qū)域,此時(shí)模糊度無法固定為整數(shù),只能采用實(shí)數(shù)解.

相應(yīng)地,模糊度估計(jì)的3種不同結(jié)果分別對應(yīng)著成功率Ps、失敗率Pf以及不確定率Pu:

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 固定正確率

(7)

在此基礎(chǔ)上,最優(yōu)整數(shù)解是模糊度真值的概率表示為

(8)

式中的Pc即為固定正確率.

2 基于固定正確率的閾值確定方法

針對經(jīng)驗(yàn)法缺乏理論基礎(chǔ)和固定失敗率方法不能反映模糊度估值正確程度的問題,本文提出了一種基于固定正確率來確定差值檢驗(yàn)閾值的方法.

2.1 差值檢驗(yàn)的概念

差值檢驗(yàn)對最優(yōu)整數(shù)解與次優(yōu)整數(shù)解的殘差二次型之間的差異程度進(jìn)行判斷.差值檢驗(yàn)定義為

(9)

2.2 閾值確定策略

基于固定正確率閾值確定方法的具體步驟如下:

1)對于一個(gè)特定GNSS模型,解算得到所有歷元的實(shí)數(shù)解及其方差矩陣.

4)將最小值umin作為閾值,統(tǒng)計(jì)模糊度固定正確的組數(shù)Ns和模糊度固定錯(cuò)誤的組數(shù)Nf,計(jì)算閾值umin對應(yīng)的固定正確率Pc(umin)=Ns/(Ns+Nf).如果此時(shí)固定正確率低于85%,則認(rèn)為此歷元精度太低而不適合固定,轉(zhuǎn)從下一歷元開始進(jìn)行;如果高于85%,則繼續(xù)進(jìn)行以下步驟.

5)在[umin,umax]區(qū)間內(nèi)改變閾值的取值,計(jì)算不同閾值對應(yīng)的固定正確率,得到眾多以閾值為橫坐標(biāo)、以正確率為縱坐標(biāo)的點(diǎn)對數(shù)據(jù)(ui,PC,i)(i=1,2,…).

6)通過改變測站、改變衛(wèi)星數(shù)目,或者說改變模糊度的維數(shù)來產(chǎn)生不同觀測環(huán)境下的定位模型,然后重復(fù)以上的步驟,便能得到不同定位模型下的點(diǎn)對數(shù)據(jù)(ui,PC,i)(i=1,2,…).

7)擬合散點(diǎn)數(shù)據(jù),得到相應(yīng)函數(shù)圖形.根據(jù)需要的固定正確率水平和模糊度維數(shù),即可通過擬合得到的函數(shù)圖形來確定滿足用戶要求的閾值.

2.3 半仿真計(jì)算

按照2.2節(jié)的具體步驟,本文設(shè)計(jì)了一個(gè)半仿真實(shí)驗(yàn)來確定差值檢驗(yàn)的閾值.為了避免系統(tǒng)誤差的影響,本節(jié)采用多組短基線數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,所用數(shù)據(jù)來自澳大利亞科廷大學(xué)的CORS基站和南京市東南大學(xué)校內(nèi)GNSS基站.

利用軟件進(jìn)行解算,得到測試數(shù)據(jù)所有歷元的實(shí)數(shù)解及其方差矩陣.然后按照2.2節(jié)中的相應(yīng)步驟,得到了模糊度維數(shù)(n)從3維到9維的情況下,差值檢驗(yàn)閾值與固定正確率之間的擬合函數(shù)圖形.由于篇幅有限,本文給出了部分?jǐn)M合結(jié)果如圖2和圖3所示.

圖2 6維模糊度擬合情況Fig.2 Fitting of 6-dimensional ambiguity

圖3 9維模糊度擬合情況Fig.3 Fitting of 9-dimensional ambiguity

擬合函數(shù)選用指數(shù)函數(shù),圖2和圖3對應(yīng)的擬合精度如表1所示.

表1中:RMSE代表擬合標(biāo)準(zhǔn)差,單位同正確率保持一致,描述的是擬合的正確率與原正確率之間的離散程度;R-square代表擬合優(yōu)度,取值為[0,1],越接近于1代表該模型對原數(shù)據(jù)擬合得越好.由表1可見,圖2和圖3中的擬合曲線能較好地?cái)M合原散點(diǎn)數(shù)據(jù).

表1 6維和9維模糊度擬合精度

2.4 閾值取值建議

2.3節(jié)得到了3維～9維模糊度的情況下差值檢驗(yàn)閾值與固定正確率之間的擬合圖形,由此便建立差值檢驗(yàn)閾值與固定正確率之間對應(yīng)的關(guān)系,進(jìn)一步可以根據(jù)固定正確率來確定閾值.

下面給出95%和99%兩種正確率水平下差值檢驗(yàn)的閾值表,如表2所示.

由表2可見:當(dāng)保持固定正確率一定時(shí),模糊度維數(shù)越高,相應(yīng)的閾值應(yīng)該選擇得越小;當(dāng)模糊度維數(shù)一定時(shí),選擇更大的閾值就能保證更大的固定正確率,從而獲得更可靠的定位結(jié)果.在實(shí)際定位中,使用者可以根據(jù)工程所需要的定位解可靠性水平以及當(dāng)前衛(wèi)星的數(shù)量,選擇對應(yīng)的差值檢驗(yàn)閾值.

表2 95%和99%的固定正確率水平下模糊度維數(shù)與閾值對應(yīng)表

3 結(jié)論與展望

針對經(jīng)驗(yàn)法缺乏理論基礎(chǔ)和固定失敗率方法不能直觀反映模糊度估值正確程度的問題,本文在對整數(shù)孔徑估計(jì)理論和固定正確率進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上,提出了一種基于固定正確率的GNSS模糊度差值檢驗(yàn)閾值確定方法,并利用半物理仿真實(shí)驗(yàn)給出了相應(yīng)的閾值取值建議.該方法既能保證模糊度固定之后的正確水平,同時(shí)又能根據(jù)不同的模糊度維數(shù)來確定對應(yīng)的閾值.

在以后的研究中,可以結(jié)合工程項(xiàng)目對該方法的實(shí)際表現(xiàn)進(jìn)一步進(jìn)行深入分析.