莫長鑫，代紅艷

（重慶師范大學數學科學學院，重慶 401331）

社會的進步需要更專業(yè)化的人才，并促使更多學生追求更高的學歷。近年來，考研人數持續(xù)攀升，在2022年已達457萬人，比12年前約翻了一番。然而，筆者在考研復試中發(fā)現，學生對數學課程中的許多概念、定理等或死記硬背現象嚴重，或在解題中未考慮全面直接套用，或遺忘嚴重直接支支吾吾等，由此展現出學生在學習對應知識時并未理解透徹，即使在考研階段投入大量精力復習后仍停留在秀而不實的階段.由此看來，學生在備考階段對考研知識點進行總結歸納并充分吸收尤為重要。矩陣分解一直是考研數學的一個重難點，許多分解形式不僅在表示上極為方便，而且根據問題特征還可選擇適當的分解形式來降低計算復雜度，極大地節(jié)約解題時間，提升解題效率.對教師來說，在對應內容授課時采取合理的授課方式及教學方法，并在關鍵細節(jié)處予以強調以及對重要內容予以總結，將會促進學生對矩陣分解內容的充分理解，進而達到課程的培養(yǎng)目的。

1 幾類常用的矩陣分解介紹

1.1 矩陣等價分解

若矩陣A通過有限次初等變換后得到矩陣B，則稱A和B等價[1]。初等變換并不改變矩陣的秩，故秩為r的矩陣A便可通過等價關系與秩為r的單位陣相聯(lián)系Er。即有等價分解：

定理 1[1]：設矩陣A是秩為r的矩陣，則存在階可逆矩陣與階可逆矩陣使得，其中矩陣為分塊矩陣。

1.2 矩陣相似分解

對于矩陣A與矩陣B，若存在可逆矩陣P，使得，則稱矩陣與矩陣相似[1]。相似關系下的兩個矩陣B具有相同的特征多項式，進而有相同的特征值，跡及行列式。如果上述矩陣具有對角或上三角形的簡單形式，那么便可直觀地體現出原矩陣A的特征值等關鍵信息，進而有利于簡化分析。

定理 2[2]：若階實方陣有個線性無關的特征向量，則存在可逆矩陣，使得，其中對角陣且為矩陣的特征值。稱該分解稱為特征值分解。

實對稱矩陣一定可以進行特征值分解，其特征值全是實數且對應特征向量可選為實的。由施密特正交化過程知，實對稱矩陣存在正交相似分解。

定理3[2]：對矩陣，若其有特征值且對應重數分別為，則存在非奇異矩陣，使得，其中。若不計若爾當塊的排列順序，則唯一。

相似關系比等價關系更復雜，但兩矩陣相似可轉化為兩矩陣的等價情形。一個常用的結論就是兩個階矩陣A和B相似的充要條件是它們的特征矩陣等價[1]。

1.3 矩陣合同分解

定理 4[1]：設為階實對稱陣，那么存在可逆矩陣使得，其中的取值為 1，-1 或 0。

實二次型中，正定二次型占據著重要地位，由此正定矩陣受到廣泛關注.在實數范圍內正定矩陣一定是實對稱矩陣，且其規(guī)范型對應的矩陣中的取值皆為1，即實正定陣合同于單位陣[1]。

2 矩陣分解在考研數學中的應用

考研數學中矩陣相關的代數問題綜合程度較高，矩陣分解就是幫助我們簡化問題的得力工具.下文將從等價、相似與合同三類情形出發(fā)，對近年來相關考研試題進行整理與分析，以期為考研學子在矩陣分解不同類型問題上提供梳理和參考，并為教師在矩陣分解內容教學案例選取上提供借鑒.

2.1 等價分解在考研數學中的應用

在解決矩陣相關問題時，若題目給出的矩陣信息極少，如什么都未知或只知道矩陣的秩，通?？煽紤]利用矩陣等價分解來解決問題。利用其證明滿秩分解、冪等分解等都是十分常見的題型，此外，等價分解也是解矩陣方程的重要法寶。

由于線性空間中的線性變換在某一組基下具有矩陣形式，所以部分線性變換有關的題目也可通過矩陣分解來求解，如：

解析：該問題實質上就是利用等價分解證明冪等分解，這里只需要任取線性空間的一組基，然后假設在該組基下的矩陣為，根據例2類比可知，令和在下矩陣分別為冪等矩陣與滿秩矩陣即可.

上文介紹了兩個可以由等價分解推導的重要分解，可以發(fā)現在題目信息極少的情況下，等價分解的重要性.矩陣方程求解的題型也一直是各個高?？佳性囶}中的高頻考點,接下來我們體會等價分解在矩陣方程求解中的應用并給出一個思考題，解答方法與技巧與例題大體相同。

證明：設矩陣A的秩為r，將定理1中的等價分解形式帶入矩陣方程，同時等式左右兩邊左乘，右乘，記，則有現對進行分塊，令，代入上式化簡后可以發(fā)現，而矩陣可以任意取，所以可解得即證該矩陣方程始終有解。

2.2 相似分解在考研數學中的應用

相似關系下的矩陣分解出題頻率高且綜合性強，所以對其解題思路與方法進行整理與歸納是非常必要的。常見的題型主要分為數值矩陣計算與抽象矩陣證明兩大類。（1）計算類：求解數值矩陣的特征值、特征向量以及可逆矩陣P，進而求矩陣A的對角化形式或若爾當標準型。除此之外，還有簡化矩陣的高次冪計算問題和數值矩陣的相似判定等。（2）證明類：抽象矩陣相關的矩陣等式證明。

例5：（西南大學2020，重慶大學2016）①求矩陣A的特征值與特征向量，并求；②求矩陣B的若爾當標準型。其中，

解析：①是一道求矩陣高次冪的考研基礎試題，只需求出矩陣的特征值并判斷其可對角化即可，利用相似分解就可以轉化為對對角矩陣的求冪.對②，只需求出該矩陣各個特征值所對應的代數重數與幾何重數，然后寫出各特征值對應的若爾當塊，將他們組合起來即可.

使用特征值或秩來判斷兩矩陣是否相似往往并不充分。比如和都是 4階上三角矩陣且只有四個非零元素。該兩個矩陣有相同的特征多項式、特征值、跡及行列式，且有相同的秩，但它們并不相似，這是因為，但[3].事實上，在判斷兩個數值矩陣是否相似時，通常也需要計算矩陣的若爾當標準型來進行判定，如下例所示：

例6：（南開大學2020）證明下列兩個矩陣不相似：

解析：首先可以觀察兩個矩陣的特征值，若不同，則不相似，若相同則需進一步計算各特征值對應的幾何重數.對此例，能夠計算出矩陣A與B的特征根皆為1（3重），但，則對應的若爾當標準型也不同，即可證明不相似。

上述例題皆與計算有關，事實上部分矩陣等式的證明也離不開相似分解，若題目與特征值、特征向量有關，通常會用到矩陣相似分解。

例7：（華南理工大學2022）已知A，B為數域P上的n階方陣，A有n個互異的特征值，證明：若A的特征向量是B的特征向量，則。

解析：由題可知A，B可對角化.設A，B，的特征向量組合得到的可逆矩陣為P，于是有且，顯然。

解析：首先按例3的思路將線性變換問題轉化為矩陣問題，即設在中基下的矩陣為，且的特征值為，則根據若爾當分解，存在可逆矩陣 有

實對稱矩陣的正交相似對角化在求正定矩陣的次方根問題中發(fā)揮重要作用，類比例5，求解時倒著進行即可，如下例：

2.3 合同分解在考研數學中的應用

合同關系下的分解常與二次型相結合，常見的題型有求解二次型平方和形式的標準型、系數僅為1，-1和0情形的規(guī)范型以及相應的非退化線性替換，此類題中最常見的方法是配方法和合同變換法，而后者是考研數學中的常用方法，即對構造的矩陣實施初等變換：

右半邊的轉置即為需要求解的變換矩陣.根據該方法，易解決如下例題：

例10：（北京郵電大學大學2018）求下述二次型的規(guī)范型以及所做變換：

此外，由于正定矩陣具有合同于單位矩陣的特殊性質，故合同分解也常是正定矩陣相關題型的突破口。

3 教學建議

數學教學是一個宏觀課題，關于此方面相關研究并不少[4]，本文僅對矩陣分解相關內容就課堂教學展開思考，為教與學提供借鑒。中國科學院院士李大潛在第四屆大學數學課程報告論壇上談數學教學方法時說道[4]：“離開目標談方法，不免無的放矢”，對矩陣分解的內容教學來說亦是如此.在高等代數的教學中，等價、相似與合同分別從線性方程組求解、線性變換的簡單表示矩陣及二次型的化簡引入，進而轉化為對矩陣的簡化研究。教學中，首先要盡量增強矩陣分解與實際應用的結合，增加案例分析，啟迪學生聯(lián)系理論與應用，避免將相關內容變得抽象化。其次，充分運用對比思想加深學生對基本理論的認識。許多學生學完高等代數后，對等價、相似及合同概念容易混淆，教師在教授后一塊內容時要與前面內容加強對比，通過實例強調它們的區(qū)別，并要求學生自行總結，鞏固并掌握本質思想。最后，需充分利用現代化技術手段展示矩陣分解的魅力。數學教學不僅為知識的傳授，更重要的是讓學生掌握數學思想方法，引領學生自發(fā)學習并使用數學工具解決實際問題，故在課堂中可適當增加一些矩陣分解前沿應用展示，讓學生從拓展中增強對此塊內容的理解并啟發(fā)學生用于探索，挖掘矩陣分解的無限魅力。