李曉貞, 蘇 闊, 李同杰, 王 娟

(安徽科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，安徽 滁州 233100)

0 引 言

正交面齒輪作為一種新型傳動齒輪，由于其具有較高的傳動比，較低的振動以及噪聲。正交面齒輪在國外已經(jīng)成功應(yīng)用于螺旋翼直升飛機(jī)傳動系統(tǒng)、汽車差速器、農(nóng)業(yè)機(jī)械傳動系統(tǒng)中，并初步確定了的正交面齒輪設(shè)計(jì)及校核標(biāo)準(zhǔn)[1-3]。面齒輪在國內(nèi)起步較晚，與上世紀(jì)八十年代引入國內(nèi)，開始相關(guān)理論技術(shù)研究，目前，國內(nèi)正交面齒輪還沒有推廣應(yīng)用，主要處于理論和實(shí)驗(yàn)階段，也不具完善設(shè)計(jì)及校核標(biāo)準(zhǔn)。

在正交面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算方面，國內(nèi)外大量科研工作者對其進(jìn)行了大量的研究[4-9]。北京航空航天大學(xué)的初曉孟，楊凱[10]等研究了相交軸系統(tǒng)面齒輪強(qiáng)度有限元分析，南京航空航天大學(xué)的靳光虎，周輝俊[11-13]等基于有限元法擬合了在集中載荷和均布載荷下的正交面齒輪彎曲應(yīng)力，中南大學(xué)的劉艷平[14]基于ABAQUS對正交面齒輪接觸應(yīng)力及彎曲應(yīng)力進(jìn)行了分析，哈爾濱工業(yè)大學(xué)的韋賢玕[15]通過誘導(dǎo)法計(jì)算了正交面齒輪接觸齒面的主曲率，西安科技大學(xué)徐琪超[16]通過面齒輪承載接觸仿真分析獲得面齒輪齒根彎曲應(yīng)力以及齒面接觸應(yīng)力等面齒輪承載接觸特性，西北工業(yè)大學(xué)付學(xué)中，方宗德[17]等對變位面齒輪進(jìn)行了承載接觸分析和應(yīng)力場分析。

目前，對于正交面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算公式的擬合，主要是正交面齒輪在集中載荷和均布載荷下受力進(jìn)行擬合，使正交面齒輪的受力過于極端化和理想化。沒有考慮正交面齒輪實(shí)際嚙合過程中的受力情況。通過建立標(biāo)準(zhǔn)安裝的正交面齒輪與圓柱齒輪裝配體模型，采用瞬態(tài)動力學(xué)模塊對裝配體模型進(jìn)行有限元分析，進(jìn)行正交面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算公式的擬合。

1 正交面齒輪齒面方程

正交面齒輪齒面是由加工面齒輪的刀具齒輪齒面，根據(jù)嚙合原理和包絡(luò)法推導(dǎo)得到。其過程建立如圖1所示的包絡(luò)加工坐標(biāo)系。其中，OT0-XTOYT0ZTO，OT-XTYTZT為刀具齒輪固定坐標(biāo)系和隨動坐標(biāo)系，OF0-XFOYF0ZFO，OF-XFYFZF為被加工正交面齒輪固定坐標(biāo)系和隨動坐標(biāo)系，且隨動坐標(biāo)系是由固定坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)過一定角度得到的。圖中φT,φF為刀具齒輪和被加工面齒輪兩坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)過的角度。ωT，ωF為刀具齒輪和被加工面齒輪的轉(zhuǎn)動角速度。

根據(jù)圖1所示的坐標(biāo)系關(guān)系與齊次坐標(biāo)變換原理，從刀具齒輪的隨動坐標(biāo)系OT-XTYTZT到面齒輪的隨動坐標(biāo)系OF-XFYFZF的齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(1)

式中：T為矩陣的轉(zhuǎn)置；ra為刀具齒輪的分度圓半徑。

刀具齒輪軸截面形狀如圖2所示。圖中“a-a”和“b-b”分別表示齒槽的兩側(cè)齒面。

圖1 正交面齒輪包絡(luò)加工坐標(biāo)系

根據(jù)圖2得到刀具齒輪的齒面方程為

(2)

式中：αk為k點(diǎn)處壓力角；uk為刀具齒寬方向的參變量；“+”表示右齒廓“b-b”，“-”表示左齒廓“a-a”；θk為k點(diǎn)處的矢徑與坐標(biāo)軸OTYT的夾角。

由式(1)和式(2)得到刀具齒面在面齒輪隨動坐標(biāo)系中的方程為

(3)

圖2 刀具漸開線齒廓

圖3 正交面齒輪齒面

根據(jù)包絡(luò)條件及式(3)，得到正交面齒輪齒面方程為

(4)

根據(jù)式(4)得到正交面齒輪齒面如圖(3)所示。

2 正交面齒輪建模與有限元分析

2.1 試驗(yàn)方案

對于齒輪設(shè)計(jì)來說，可以根據(jù)不同的需求確定相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行齒輪的設(shè)計(jì)，若對所有參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)是難以實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)正交實(shí)驗(yàn)方法具有高效、經(jīng)濟(jì)、快捷等優(yōu)點(diǎn)，本文選取齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)中最重要的三個(gè)參數(shù)(齒數(shù)、模數(shù)、壓力角)來確定正交面齒輪，并由此確定三因素三水平的正交面齒輪彎曲應(yīng)力分析模型的正交實(shí)驗(yàn)表，如表1。

表1 正交面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算模型參數(shù)

根據(jù)理論計(jì)算得到的正交面齒輪與圓柱齒輪的接觸半徑，部分正交面齒輪接觸半徑如圖4，使圓柱齒輪齒寬中間與正交面齒輪理論接觸半徑重合，且頂隙按照標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行裝配，建立9組不同的正交面齒輪與圓柱齒輪裝配體模型，部分裝配體模型如圖5。

圖4 齒數(shù)為224模數(shù)為8的正交面齒輪接觸半徑

圖5 齒數(shù)為224模數(shù)為8的正交面齒輪與圓柱齒輪裝配體模型

由表1中的參數(shù)根據(jù)理論計(jì)算可以得到，其中最小的正交面齒輪內(nèi)半徑為832mm，外半徑為1009mm，因此建立的9組裝配體模型較大。在有限元分析時(shí)，將劃分出大量的單元與節(jié)點(diǎn)，為了控制仿真時(shí)間，同時(shí)不影響仿真結(jié)果，將正交面齒輪與圓柱齒輪簡化為兩齒模型進(jìn)行瞬態(tài)動力學(xué)分析，簡化后的裝配體模型如圖6。

圖6 簡化后正交面齒輪與圓柱齒輪裝配體模型

2.2 有限元分析

將兩齒模型導(dǎo)入到ANSYA workbench中的瞬態(tài)動力學(xué)模塊，更改材料屬性為結(jié)構(gòu)鋼，進(jìn)行六面體網(wǎng)格劃分，同時(shí)為了使仿真結(jié)果精確，控制正交面齒輪與圓柱齒輪之間接觸面的網(wǎng)格大小，部分網(wǎng)格劃分如圖7所示。

圖7 部分裝配體模型網(wǎng)格劃分

在網(wǎng)格劃分完成后，在正交面齒輪與圓柱齒輪齒面之間添加接觸，部分接觸參數(shù)表2。根據(jù)運(yùn)動關(guān)系在正交面齒輪和圓柱齒輪內(nèi)圓孔面上分別與大地之間添加旋轉(zhuǎn)副，并在正交面齒輪與圓柱齒輪上添加相應(yīng)的負(fù)載扭矩與角速度。

表2 接觸參數(shù)設(shè)置

根據(jù)以上仿真設(shè)置，對建立的9組裝配體模型逐一進(jìn)行仿真，得到如表3所示的各組正交面齒輪負(fù)載扭矩與其對應(yīng)的彎曲應(yīng)力值。部分正交面齒輪應(yīng)力分布云圖如圖8，接觸區(qū)域云圖如圖9。

表3 9組正交面齒輪仿真分析負(fù)載扭矩與應(yīng)力值

圖8 部分正交面齒輪應(yīng)力分布云圖

圖9 部分正交面齒輪接觸區(qū)域分布云圖

3 正交面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算公式擬合與分析

目前關(guān)于正交面齒輪的彎曲應(yīng)力計(jì)算還沒有標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算公式，參考已經(jīng)成熟的齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算方法以及集中載荷方式下擬合公式的推導(dǎo)方法如文獻(xiàn)[11]，擬合基于標(biāo)準(zhǔn)安裝傳動下的正交面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算公式：

(5)

式中：A和B為待定擬合常數(shù)；σ0為全齒寬加載下最大彎曲應(yīng)力；σ為正確嚙合傳動下正交面齒輪最大彎曲應(yīng)力；φb=b/m；b,m分別為正交面齒輪齒寬和模數(shù)。

(6)

式中：KA為正交面齒輪工況系數(shù)；Ft為正交面齒輪所受圓周力；YS為齒形復(fù)合系數(shù)，由文獻(xiàn)[11]中的齒形復(fù)合系數(shù)理論公式計(jì)算得到。

文獻(xiàn)[18]中根據(jù)假設(shè)條件，簡化面齒輪分析模型，擬合了基于集中載荷下的面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算公式

(7)

文獻(xiàn)[12]在上述基礎(chǔ)上通過通過改變施加載荷的位置以及擬合時(shí)采用壓應(yīng)力進(jìn)行擬合，對正交面齒輪在受集中載荷時(shí)的彎曲應(yīng)力進(jìn)行優(yōu)化得到式(8)，并擬合了均布載荷下的正交面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算公式如式(9)

(8)

(9)

根據(jù)表3中的各組正交面齒輪有限元分析值與理論計(jì)算的全齒寬條件下的正交面齒輪最大彎曲應(yīng)力，獲得彎曲應(yīng)力比值與齒寬系數(shù)之間的關(guān)系繪制散點(diǎn)圖，由最小二乘法對彎曲應(yīng)力比與齒寬系數(shù)進(jìn)行曲線擬合，得到在標(biāo)準(zhǔn)安裝傳動下的正交面齒輪彎曲應(yīng)力比與齒寬系數(shù)擬合曲線如圖10所示。

圖10 正交面齒輪彎曲應(yīng)力比與齒寬系數(shù)關(guān)系

根據(jù)最小二乘法擬合曲線可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)基本分布在擬合曲線兩側(cè)，且靠近擬合曲線。得到了正交面齒輪齒根彎曲應(yīng)力比值與齒寬系數(shù)近似滿足一關(guān)系

(10)

則得到在標(biāo)準(zhǔn)安裝傳動下的正交面齒輪齒根彎曲應(yīng)力為

(11)

在進(jìn)行有限元分析時(shí)，是基于標(biāo)準(zhǔn)安裝條件下的正交面齒輪與圓柱齒輪裝配體進(jìn)行瞬態(tài)動力學(xué)分析，正交面齒輪的受力方式是由其自身的負(fù)載扭矩與圓柱齒輪的驅(qū)動，通過兩者之間的接觸產(chǎn)生的，與文獻(xiàn)[11][12]通過直接施加基于集中載荷或均布載荷下的單個(gè)正交面齒輪靜應(yīng)力分析不同，因此擬合公式系數(shù)存在不同，但本文所擬合的公式更適用于具體的工程案例。

根據(jù)相對誤差的定義，計(jì)算基于正交面齒輪正確嚙合傳動下的齒根彎曲應(yīng)力有限元分析值與擬合公式理論值的各組正交面齒輪相對誤差對比分析表如表4，誤差曲線分布如圖11。

圖11 標(biāo)準(zhǔn)傳動下正交面齒輪齒根彎曲擬合公式計(jì)算值與有限元分析值對誤差分布

表4 9組正交面齒輪應(yīng)力值分析

基于正確嚙合傳動下的正交面齒輪齒根彎曲應(yīng)力擬合公式，得到了9組正交面齒輪彎曲應(yīng)力擬合公式計(jì)算值與有限元分析值之間的相對誤差。9組正交面齒輪的平均相對誤差為9.08%，最小誤差為0.88%，最大誤差為23.55%，分別對應(yīng)的齒寬系數(shù)為8.33和15。由圖10可以看出，當(dāng)齒寬系數(shù)在8-14之間擬合公式計(jì)算值與有限元分析值之間的誤差較小，當(dāng)齒寬系數(shù)大于15時(shí)，擬合公式計(jì)算值與有限元分析值之間的誤差較大。

通過對比分析當(dāng)正交面齒輪壓力角在20°～25°之間，模數(shù)在8～12之間，且齒寬系數(shù)在8～14之間，通過有限元分析進(jìn)行彎曲應(yīng)力公式擬合計(jì)算的正交面齒輪彎曲應(yīng)力與有限元分析所得彎曲應(yīng)力之間的誤差較小，在標(biāo)準(zhǔn)安裝傳動的條件下可以作為正交面齒輪彎曲應(yīng)力的計(jì)算依據(jù)。

4 結(jié) 語

通過建立標(biāo)準(zhǔn)安裝的正交面齒輪與圓柱齒輪裝配體模型，使用有限元分析中瞬態(tài)動力學(xué)模塊，對正交面齒輪傳動過程中的彎曲應(yīng)力進(jìn)行分析，擬合出基于標(biāo)準(zhǔn)安裝傳動下的正交面齒輪彎曲應(yīng)力計(jì)算公式。根據(jù)擬合公式與有限元結(jié)果進(jìn)行對比分析得到兩者間的平均誤差為9.08%，當(dāng)模數(shù)在8～12之間，壓力角為20°～25°且齒寬系數(shù)在8～14之間，該計(jì)算方法可以在實(shí)際工程案例中作為正交面齒輪彎曲應(yīng)力的計(jì)算方法。