王紹清， 鄭長升 ， 梁 森

(1. 聊城大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院， 山東 聊城 252000； 2. 濰坊科技學(xué)院， 智能制造學(xué)院， 山東 濰坊 262700；3. 青島理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院， 山東 青島 266000)

隨著國內(nèi)外高新技術(shù)的迅猛發(fā)展，材料的使用環(huán)境也越來越惡劣，高性能系統(tǒng)對于材料本身在輕量化與阻尼性能方面的要求也越來越苛刻，使得傳統(tǒng)復(fù)合材料已經(jīng)不能滿足其復(fù)雜環(huán)境下動力學(xué)性能的需求。如何在增加結(jié)構(gòu)剛度和承載能力的前提下，大幅度地提高復(fù)合材料加筋結(jié)構(gòu)阻尼性能是目前航空、航天以及精密儀器等領(lǐng)域未來的研究方向[1-2]。

目前對阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能研究方法主要有數(shù)值仿真、試驗研究以及理論研究。賀紅林等[3]建立了阻尼板的計算模型，分析了不同材料和尺寸參數(shù)結(jié)構(gòu)的振動特性。Huang等[4]利用有限元的方法對約束阻尼梁結(jié)構(gòu)的振動特性進行了分析，將求解的動力學(xué)性能參數(shù)同試驗結(jié)果對比驗證了數(shù)值結(jié)果的正確性，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對約束阻尼梁動力學(xué)性能的影響。張少輝等[5]在考慮復(fù)合材料層對振動能量的耗散情況下，利用模態(tài)應(yīng)變能有限元的方法對共固化阻尼復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)損耗因子進行了求解，將求解結(jié)果同已發(fā)表的文獻(xiàn)對比驗證了有限元模型的有效性，給出了提高該結(jié)構(gòu)損耗因子的途徑。該方法計算結(jié)果精度會隨單元格大小浮動，且隨著層數(shù)的增加，振動方程自由度數(shù)的增加，有限元方法局限性更加明顯。翟彥春等[6]在考慮面板層和芯層轉(zhuǎn)動慣性項對計算結(jié)果的影響情況下，利用哈密頓爾原理對嵌入單層阻尼的共固化復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能進行了研究。劉嵐等[7]在考慮阻尼材料頻變特性的情況下，對附加阻尼結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)進行了計算，并通過試驗驗證了所計算模態(tài)參數(shù)的有效性。Kolahchi等[8]將精細(xì)zigzag理論(RZT)、正弦剪切變形理論(SSDT)以及一階剪切變形理論(FSDT)相結(jié)合研究了嵌入式納米三明治板的靜動力學(xué)性能，提出了一種新的數(shù)值方法，用該方法對結(jié)構(gòu)的固有頻率和臨界屈曲載荷進行了求解。孫巍等[9]對復(fù)合材料加筋夾層板的動力學(xué)性能進行了研究，探討了不同的加筋方案對結(jié)構(gòu)振動特性的影響。Kamareh等[10]將試驗方法和數(shù)值模擬相結(jié)合研究了加強筋位置對復(fù)合材料加筋板力學(xué)性能的影響。

綜上所述，約束阻尼結(jié)構(gòu)、嵌入單層阻尼薄膜復(fù)合材料結(jié)構(gòu)以及傳統(tǒng)復(fù)合材料加筋結(jié)構(gòu)的研究報道較多[11-16]。嵌入單層阻尼薄膜復(fù)合材料結(jié)構(gòu)有一定剛度損失，承載能力有限；傳統(tǒng)加筋復(fù)合材料結(jié)構(gòu)剛度較大，但結(jié)構(gòu)能量耗散能力有限。嵌入雙層阻尼薄膜共固化復(fù)合材料帶筋結(jié)構(gòu)(co-cured and stiffened composite structure with double-layer damping membranes embedded，CSCSDDME)兼具大阻尼和高剛度的優(yōu)點，對于噪聲和振動的控制以及設(shè)備工作精度的提高具有重要的意義，在航空航天、汽車、仿生以及船舶等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，如機翼、船體甲板和車身面板等。由于該結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，理論建模需要考慮大量的變量，目前對該結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能的研究鮮有文獻(xiàn)報道。

本文將一階剪切變形理論與瑞利-里茲法相結(jié)合研究了嵌入雙層阻尼薄膜共固化復(fù)合材料帶筋結(jié)構(gòu)的振動特性，計算了該結(jié)構(gòu)的固有頻率和損耗因子，獲得了其隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，為輕質(zhì)大阻尼復(fù)合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了理論支撐。

1 模型描述與基本假定

為推導(dǎo)CSCSDDME動力學(xué)控制微分方程，對其作如下假設(shè)：

(1) 層與層之間結(jié)合理想，無縫隙無滑動；

(2) 筋條高度遠(yuǎn)小于主體結(jié)構(gòu)的尺寸；

(3) 垂直板面變形忽略；

(4) 各層之間的位移關(guān)系符合分段連續(xù)折線模式。

CSCSDDME面內(nèi)位移如圖1 所示，其中hi表示第i層的厚度，hb為加強筋的高度，u(k-1)、u(k+1)和u(K+3)分別代表復(fù)合材料層中面上點在x方向的位移，u(k)和u(k+2)分別代表阻尼層中面上點在x方向的位移；α(k-1)、α(k+1)和α(k+3)分別代表板內(nèi)復(fù)合材料層中面法線繞x軸的轉(zhuǎn)角，α(k)和α(k+2)代表板內(nèi)阻尼層中面法線繞x軸的轉(zhuǎn)角。本文研究對象為嵌入雙層阻尼薄膜的復(fù)合材料帶筋結(jié)構(gòu)，k取2。

圖1 CSCSDDME幾何尺寸

2 主體結(jié)構(gòu)的幾何方程和本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)上述假設(shè)和一階剪切變形理論，結(jié)構(gòu)各層任意一點位移可表示為

(1)

(2)

(3)

由于CSCSDDME層和層之間為理想粘接，無縫隙無滑動，可知阻尼層和復(fù)合材料層位移關(guān)系如下式所示

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，k為偶數(shù)(k=2,4)

結(jié)構(gòu)第i層的位移-應(yīng)變關(guān)系表示如下

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

各層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表示為

(13)

(14)

3 加強筋的應(yīng)變方程

CSCSDDME如圖2所示，a和b分別代表結(jié)構(gòu)的長和寬，hb為加強筋高度，c為加強筋的寬度，h為薄板總厚度，Cx為兩筋條x方向距離，Cy為兩筋條y方向距離，基于Timosimko梁理論建立加筋板的力學(xué)解析方程，平行于x軸方向筋條的位移表達(dá)式為

Ub(x,y,z)=ub(x,y0)+zα1(x,y0)

(15)

Vb(x,y,z)=vb(x,y0)+zβ1(x,y0)

(16)

Wb(x,y,z)=wb(x,y0)-yβ1(x,y0)

(17)

式中：Ub，Vb，Wb分別為加強筋上任一點在x，y，z方向的位移；ub，vb，wb分別表示加強筋中面上各點在x，y，z方向的位移。

平行于y軸方向筋條位移表達(dá)式為

Ub(x,y,z)=ub(x0,y)+zα1(x0,y)

(18)

圖2 CSCSDDME示意圖

Vb(x,y,z)=vb(x0,y)+zβ1(x0,y)

(19)

Wb(x,y,z)=wb(x0,y)-yβ1(x0,y)

(20)

建立加強筋中面上各點的位移和板中面上各點的位移關(guān)系，具體如下式所示

ub=u1-eα1

(21)

vb=v1-eβ1

(22)

wb=w

(23)

式中，e為加強筋中面與板中面的距離，平行于x軸加強筋位移-應(yīng)變關(guān)系表示如下

(24)

(25)

(26)

εy=εz=0,γyz=0

(27)

平行于y軸加強筋位移-應(yīng)變關(guān)系表示如下

(28)

(29)

(30)

εx=εz=0,γxz=0

(31)

4 控制微分方程的推導(dǎo)

根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式，主體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能和動能，如下式所示

(32)

(33)

忽略加強筋中面的剪切作用，將加強筋條的應(yīng)變能和動能平均分布到CSCSMDME的主體結(jié)構(gòu)上，其應(yīng)變能和動能分別表達(dá)為

(34)

(35)

(36)

(37)

式中：kx和ky為加強筋在x方向和y方向的修正系數(shù)；Ix和Iy分別為加強筋對x軸和y軸的慣性矩；Ax以及Ay為平行于x軸和y軸的筋條的截面積；Jx和Jy為扭轉(zhuǎn)系數(shù)。

(38)

(39)

四邊簡支嵌入雙層阻尼薄膜共固化復(fù)合材料帶筋結(jié)構(gòu)的自由振動邊界條件為

當(dāng)x=0,a時，邊界條件如下式所示：

(40)

當(dāng)y=0,b時，邊界條件如下式所示：

i=1,3，5

(41)

根據(jù)Navier型解法，滿足四邊簡支邊界條件的位移函數(shù)表達(dá)式為

ui(x,θ,t)=Uicos(nπx/a)sin(mπy/θ0)eiw*t

vi(x,θ,t)=Visin(nπx/a)cos(mπy/θ0)eiw*t

w(x,θ,t)=Wsin(nπx/a)sin(mπy/θ0)eiw*t

αi(x,θ,t)=Ficos(nπx/a)sin(mπy/θ0)eiw*t

βi(x,θ,t)=Hisin(nπx/a)cos(mπy/θ0)eiw*t

i=1,3，5

(42)

利用瑞利-里茲法求解固有頻率和模態(tài)損耗因子，如下式所示

(43)

(44)

(45)

(46)

i=1,3,5

(47)

在MATLAB中計算并將計算結(jié)果簡化成矩陣形式

M(ω*)2X=(K+jC)X

(48)

式中：M表示質(zhì)量矩陣；(K+jC)表示剛度矩陣；

X=(U1,U3,U5,V1,V3,V5,W,F1,F3,F5,H1,H3,H5)T

嵌入雙層阻尼薄膜共固化復(fù)合材料帶筋結(jié)構(gòu)的固有圓頻率和損耗因子按下式進行計算

(49)

5 算例分析與討論

為驗證本文理論方法的有效性，應(yīng)用模態(tài)應(yīng)變能有限元法分別計算CSCSDDME前三階固有頻率和一階損耗因子，將ANSYS仿真結(jié)果同理論求解值進行比較，復(fù)合材料和粘彈性材料參數(shù)分別如表1和表2所示。該試件上下蒙皮層厚度均為1 mm，芯層厚度為1 mm，嵌入兩層厚度為0.12 mm的阻尼薄膜，結(jié)構(gòu)的長和寬都為400 mm，板單元類型選為Solid185，加強筋單元采用Beam 2 node188單元，筋條尺寸和材料參數(shù)如表3所示。結(jié)構(gòu)的長度和寬度方向各劃分22個單元，厚度方向劃分為5個單元(纖維增強復(fù)合材料層厚度方向劃分3個單元，阻尼層厚度方向劃分2個單元)，有限元模型如圖3所示，將式(43)～(49)計算的固有頻率和損耗因子和ANSYS仿真結(jié)果進行比較，如表4所示。前三階階模態(tài)振型的理論計算結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果的對比如圖4所示。

圖3 有限元模型

表1 復(fù)合材料參數(shù)

表2 黏彈性材料參數(shù)

表3 加強筋材料參數(shù)與尺寸

表4 計算結(jié)果對比

由表4和圖4知：由于理論所做的基本假定、有限元模型中單元格大小以及節(jié)點數(shù)量的影響，有限元計算出的固有頻率、損耗因子以及模態(tài)振型與本文算法計算的固有頻率、損耗因子以及模態(tài)振型有一定差異，但兩種方法求解結(jié)果基本是吻合的，驗證了解析模型和解析方法的有效性。為了觀察到不同材料參數(shù)和幾何參數(shù)對試件固有頻率和損耗因子影響，下面應(yīng)用已驗證的理論方法探討結(jié)構(gòu)不同參數(shù)對CSCSDDME動力學(xué)性能的影響規(guī)律。

5.1 筋高度對CSCSDDME振動特性的影響

將嵌入式共固化雙層阻尼薄膜復(fù)合材料帶筋結(jié)構(gòu)作為算例來研究加強筋的高度對結(jié)構(gòu)基頻和一階損耗因子的影響。h1、h3以及h5分別代表上蒙皮層、復(fù)合材料芯層以及下蒙皮層厚度，h2和h4分別為上阻尼層和下阻尼層厚度。取不同的筋高度hb，利用瑞利-里茲法求解不同hb對應(yīng)加筋結(jié)構(gòu)的基頻和一階損耗因子，結(jié)果如圖5和6所示。

圖5 加強筋高度對結(jié)構(gòu)基頻的影響

圖6 加強筋高度對結(jié)構(gòu)一階損耗因子的影響

由圖5和圖6知：結(jié)構(gòu)的一階固有頻率隨著筋條高度的增大而增大，筋條彈性模量較大結(jié)構(gòu)的基頻值較大；隨著筋條高度hb的增大，一階損耗因子先減小，然后趨于平緩。原因是：隨著加強筋高度hb的增大，結(jié)構(gòu)的抗彎截面模量增大，結(jié)構(gòu)的剛度增大，剛度與質(zhì)量的比值為固有頻率的平方，故結(jié)構(gòu)的基頻隨之增大；筋條彈性模量較大結(jié)構(gòu)的剛度較大，故基頻值較大；筋條高度的增大，減弱了結(jié)構(gòu)動態(tài)變形中能量耗散能力，一階損耗因子隨之減小。合理地選擇加強筋的高度不僅可以提高結(jié)構(gòu)的剛度，還可以提高其在動態(tài)變形過程中能量耗散的能力。

5.2 筋寬度對CSCSDDME振動特性的影響

下面研究加強筋寬度c對結(jié)構(gòu)基頻和一階損耗因子的影響。圖7為不同加強筋彈性模量Eb所對應(yīng)的加強筋寬度c與結(jié)構(gòu)固有頻率的關(guān)系曲線圖，圖8為不同h1/h3值所對應(yīng)的加強筋寬度c與結(jié)構(gòu)一階損耗因子的關(guān)系曲線圖。

圖7 加強筋寬度對結(jié)構(gòu)基頻的影響

圖8 加強筋寬度對結(jié)構(gòu)一階損耗因子的影響

由圖7和圖8知：增大加強筋的寬度c，結(jié)構(gòu)的基頻隨之增大，其一階損耗因子隨之減小，減小的速度隨著加強筋寬度的增加而逐漸放緩。原因是：隨著筋條寬度c的增大，其抗彎截面模量增大，剛度隨之增大，剛度與質(zhì)量的比值為固有頻率的平方，故結(jié)構(gòu)的基頻隨之增大；筋條彈性模量較大結(jié)構(gòu)的剛度較大，故結(jié)構(gòu)基頻較大；隨著筋條寬度的增大，動態(tài)變形中結(jié)構(gòu)的能量耗散能力減弱，一階損耗因子隨之減小。

5.3 剪切模量之比對CSCSDDME振動特性的影響

在其它參數(shù)不變的情況下，研究上下阻尼層剪切模量對結(jié)構(gòu)振動特性的影響規(guī)律。上下阻尼層的剪切模量分別用G2和G4表示，圖9為不同h1/h3值所對應(yīng)的剪切模量之比G2/G4與結(jié)構(gòu)固有頻率的關(guān)系曲線圖，圖10為不同尺寸規(guī)格帶筋板所對應(yīng)的剪切模量之比G2/G4與結(jié)構(gòu)一階損耗因子的關(guān)系曲線圖。

圖9 剪切模量之比對結(jié)構(gòu)基頻的影響

由圖9和圖10可知：結(jié)構(gòu)的固有頻率隨著兩阻尼層剪切模量的比值的增大而增大，增速隨著剪切模量比值的增大而放緩。結(jié)構(gòu)的損耗因子隨著G2/G4的增大而減小，尺寸較小的板件具有較大的一階損耗因子。

圖10 剪切模量之比對結(jié)構(gòu)一階損耗因子的影響

6 結(jié) 論

本章將復(fù)模量理論和分段折線位移理論相結(jié)合對CSCSDDME動力學(xué)性能進行了研究，基于納維法求解了滿足位移邊界條件的理論解，將理論解同有限元結(jié)果進行對比，驗證了理論方法的有效性，探討了幾何和材料參數(shù)對CSCSDDME動力學(xué)性能的影響規(guī)律，主要結(jié)論有：

(1) 合理地選擇加強筋的高度不僅可以提高結(jié)構(gòu)的剛度，還可以提高結(jié)構(gòu)在動態(tài)變形過程中能量耗散的能力。

(2) 結(jié)構(gòu)一階固有頻率隨著筋條寬度的增大而增大；增大筋條寬度，結(jié)構(gòu)損耗因子隨之減小。

(3) 增大兩阻尼剪切模量之比，結(jié)構(gòu)的一階固有頻率隨之增大，結(jié)構(gòu)的一階損耗因子隨之減??；當(dāng)剪切模量比值增大到一定值時，結(jié)構(gòu)的振動特性對該參量的變化不再敏感。