何晉丞， 陳國平， 譚 星， 陳衛(wèi)婷， 何 歡

(1. 南京航空航天大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室, 南京 210016;2. 南京航空航天大學(xué) 振動工程研究所, 南京 210016)

船舶推進軸系、車輛傳動軸、房梁等多跨結(jié)構(gòu)往往受到橫向載荷而產(chǎn)生振動，這種振動會通過支承傳遞到基座上，從而導(dǎo)致疲勞損傷和噪聲等問題。傳統(tǒng)方法是在支承處安裝橡膠等阻尼裝置。另一種方法是利用壓電材料對結(jié)構(gòu)進行減振。

從上個世紀(jì)開始，研究人員對壓電片在梁、板等結(jié)構(gòu)中起到的抑振作用進行了廣泛研究[1-3]。利用壓電材料的正/逆壓電效應(yīng)可將機械能和電能進行互相轉(zhuǎn)換，基于此原理的被動、主動和主被動混合控制技術(shù)近年來得到了長足發(fā)展[4-6]。壓電片在較薄的結(jié)構(gòu)中能起到很好的抑振作用，但是對于質(zhì)量過大或者厚度過大的結(jié)構(gòu)，壓電片的減振效果會受到影響。且在工程中當(dāng)壓電片粘貼在運動機構(gòu)上時，外接電路的電線往往阻礙結(jié)構(gòu)運動和軸系轉(zhuǎn)動。對于柱狀的壓電陶瓷，尤其是通過壓電片復(fù)合燒制的壓電堆疊，研究人員主要利用其對結(jié)構(gòu)進行主動控制[7]，壓電堆疊具有逆壓電效應(yīng)優(yōu)異，載荷輸出性能強，遲滯現(xiàn)象低等優(yōu)點[8]，采用該材料進行的主動控制魯棒性高，遲滯現(xiàn)象低[9]，但是需要輸入較高電壓，且控制設(shè)備大，在一些地方狹小且能源緊張的工程環(huán)境中難以施展。

如圖1所示，為尋求一種適用于較大型多跨度結(jié)構(gòu)的控制方法，本文將研究利用壓電換能技術(shù)，直接將柱狀壓電陶瓷作為支承材料，在多跨度結(jié)構(gòu)中引入壓電的機電耦合邊界條件，對梁和軸系的橫向振動進行被動控制。該技術(shù)能抑制大部分結(jié)構(gòu)中由支承傳遞到基座、機身和船身等外部結(jié)構(gòu)的橫向振動。且相比于橡膠等傳統(tǒng)阻尼材料，壓電陶瓷剛度接近鋼材剛度，作為支承結(jié)構(gòu)時可避免系統(tǒng)固有頻率出現(xiàn)過大的頻移。

本文采用柱狀壓電陶瓷作為梁的支承，建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，分析該壓電陶瓷支承的減振原理。并通過有限元軟件對比分析不同種類壓電陶瓷支承的減振性能。

1 機電耦合邊界條件下的歐拉梁數(shù)學(xué)模型

1.1 含壓電陶瓷支承的歐拉梁模型

為驗證壓電陶瓷柱支承結(jié)構(gòu)對多跨度結(jié)構(gòu)的減振作用，本文提出一種無源壓電陶瓷為支承的歐拉梁系統(tǒng)，其中壓電陶瓷柱的極化方向為豎直方向，且與外接電路相連。

如圖2所示，在工程運用中，壓電陶瓷受拉時容易損壞，所以采用兩個柱狀壓電陶瓷夾持固定梁的端部，充當(dāng)梁的支承。每個壓電堆疊分別串聯(lián)一個電阻和電感。在建立數(shù)學(xué)模型時，可以將其分別簡化為一個受拉又能受壓的壓電陶瓷柱，同時該壓電陶瓷柱連接RL外接電路后可以等效為一個彈簧和阻尼系統(tǒng)[10]。梁上表面受到橫向激勵。該模型可簡化為如圖3所示的壓電機電耦合邊界條件下的歐拉梁模型。

圖2 壓電支承-歐拉梁系統(tǒng)

圖3 壓電機電耦合邊界條件下的歐拉梁模型

1.2 壓電支承-歐拉梁系統(tǒng)振動微分方程

壓電陶瓷連接的是RL電路,所以外接電路的電阻抗Ze為

Ze=R+Ls

(1)

式中:R為外接電路中電阻；L為外接電路中的電感；s為拉普拉斯算子。

壓電陶瓷在連接外接電路可等效為梁的機電耦合邊界條件。針對壓電陶瓷的機電耦合邊界，存在如下關(guān)系

yi=qi/θP(i=1,2)

(2)

(3)

kP=AP/(sElP)

(4)

(5)

(6)

從該等效模型中可以看出，壓電陶瓷柱在系統(tǒng)中利用壓電能量轉(zhuǎn)換性質(zhì)，將外力輸入的機械能轉(zhuǎn)化為電能在電路中進行耗散，從而產(chǎn)生阻尼作用。另一方面，改變電路參數(shù)也可調(diào)節(jié)壓電陶瓷支承的諧振頻率，使其接近受控結(jié)構(gòu)的固有頻率，起到類似動力吸振器的作用。本文從能量角度對整體結(jié)構(gòu)進行分析。

由于壓電陶瓷變形量相對于梁變形很小，且壓電陶瓷的質(zhì)量相對于整個系統(tǒng)很小，所以不考慮壓電陶瓷的動能。整個系統(tǒng)的動能可以表示為

(7)

式中：ρ為梁的密度；A為梁的截面積；w(x,t)為坐標(biāo)為x的截面中性軸在時刻t的橫向位移。

整個系統(tǒng)的勢能包括梁的勢能和壓電陶瓷的勢能。其中壓電陶瓷勢能可根據(jù)簡化模型表示為機電耦合作用下等效彈簧的勢能。整個系統(tǒng)勢能表達式為

(8)

整個系統(tǒng)的虛功包括外力虛功和壓電陶瓷受外力產(chǎn)生電場的電虛功。在等效模型中電場的電虛功即為等效阻尼作用產(chǎn)生的虛功。系統(tǒng)虛功可表示為

(9)

根據(jù)Hamilton能量原理

(10)

將式(7)～(9)代入式(10)中化簡后可得梁的振動微分方程、機械邊界條件和電路邊界條件為

(11)

(12)

(13)

1.3 壓電堆疊的等效模型

壓電堆疊由n個壓電片疊加燒制而成。每個壓電片電極通過導(dǎo)電材料并聯(lián)連接。當(dāng)采用能量原理分析壓電堆疊時，如果分別對其中每個壓電片和電極進行分析會使計算過程變得復(fù)雜。且在有限元軟件對壓電堆疊進行建模時，由于壓電片和導(dǎo)電鍍層厚度方向尺寸遠遠小于梁的幾何尺寸，對整個壓電堆疊進行完整建模會造成有限元網(wǎng)格單元過密的問題。所以將壓電堆疊用同尺寸的等效長方體壓電陶瓷來代替將大大簡化仿真建模、網(wǎng)格劃分和計算的過程。如圖4所示，壓電堆疊受力和邊界條件和等效的同尺寸壓電陶瓷柱相同。

圖4 壓電堆疊和壓電陶瓷柱等效模型

單片壓電片的本構(gòu)方程可以轉(zhuǎn)化為

(14)

根據(jù)壓電堆疊和壓電片的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系可以得到如下關(guān)系式

FP=Fi,yP=nyi,VP=Vi,IP=nIi,L=nl

(15)

式中：yP為整個壓電堆疊的變形量；FP為壓電堆疊在極化方向(3方向)上所受的力；IP為壓電堆疊受壓時流出的電流；VP為壓電堆疊上下表面電極間的電壓；L為整個壓電堆疊在極化方向(3方向)上的厚度。

假設(shè)壓電堆疊等效為長方體壓電陶瓷后的本構(gòu)方程為

(16)

將式(15)代入到式(16)得到以下關(guān)系式

(17)

將式(14)代入到式(17)中可得

(18)

由式(18)可得

(19)

由此可知當(dāng)壓電堆疊等效為長方體的壓電陶瓷后，該等效長方體壓電陶瓷的機電耦合參數(shù)和壓電陶瓷材料的材料參數(shù)關(guān)系為

(20)

由此可見，相同尺寸的壓電堆疊和壓電陶瓷柱，壓電堆疊的壓電常數(shù)式壓電陶瓷柱的n倍，介電常數(shù)是壓電陶瓷柱的n2倍。

2 壓電陶瓷支承-梁系統(tǒng)有限元模型

如圖5所示，在壓電片-懸臂梁系統(tǒng)中，根據(jù)Hagood等[11]的研究，不同外接電路參數(shù)對應(yīng)的位移傳遞函數(shù)曲線，存在兩個共同交點，分別稱之為P點和Q點。根據(jù)PQ兩個交點的位置從而得到峰值最小的位移傳遞函數(shù)曲線對應(yīng)的最優(yōu)電路參數(shù)的數(shù)值計算方法稱之為PQ點法。

圖5 位移傳遞函數(shù)

然而在本身存在機械阻尼的系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)曲線不再存在PQ點。此時可通過窮舉法尋找最優(yōu)電路參數(shù)。采用COMSOL軟件，通過設(shè)置合適的壓電方程和固體力學(xué)偏微分方程可以解決對壓電支承-梁系統(tǒng)的動力學(xué)分析問題。并通過參數(shù)化求解模塊，設(shè)置電路參數(shù)為自變量來求解最優(yōu)電路值。

2.1 幾何模型

為更好驗證壓電支承的減振作用，在COMSOL軟件中，建立如圖6所示的仿真模型。其幾何尺寸如表1所示。

表1 模型幾何尺寸

圖6 壓電支承和梁系統(tǒng)模型

2.2 邊界條件

為模擬梁和支承之間的裝配情況，分別用兩個相同的壓電材料支承夾住金屬梁的兩端，在每個壓電支承的另外一端施加固定約束。邊界條件示意圖如圖7所示。為研究在不同載荷情況下壓電支承的減振性能，設(shè)置兩種載荷工況：

第一種工況：在梁中間對稱面豎直方向施加合力為50 N的集中簡諧激勵。

第二種工況：在梁的上表面垂直方向施加合力為50 N的均布簡諧激勵。

(a) 集中力

2.3 材料參數(shù)

仿真過程中采用的梁為結(jié)構(gòu)鋼材料，系統(tǒng)的阻尼設(shè)為0.02。其材料參數(shù)如表2所示。

表2 結(jié)構(gòu)鋼材料參數(shù)

本文中對不同材料的壓電陶瓷進行了對比研究。在對壓電堆疊進行分析時，將壓電堆疊等效為長方體壓電陶瓷柱，其中單片壓電陶瓷片的厚度為100 μm，一個10 mm厚的壓電堆疊中包含約100片壓電陶瓷片?？赏ㄟ^式(20)得到壓電堆疊等效為壓電陶瓷柱后的機電耦合參數(shù)。各壓電陶瓷材料參數(shù)如表3所示。

2.4 網(wǎng)格劃分

如圖8所示，采用六面體網(wǎng)格對模型進行網(wǎng)格劃分。

2.5 電路參數(shù)

本文在COMSOL軟件中增加一個由壓電和電路構(gòu)成的物理場，將固體力學(xué)物理場和電路物理場通過壓電陶瓷的壓電效應(yīng)進行耦合。在每個壓電陶瓷塊上下兩個電極之間接入RL串聯(lián)電路。對不同的電阻和電感值的電路進行仿真，計算相應(yīng)的力傳遞率曲線。

表3 不同壓電材料的參數(shù)

為求解各壓電陶瓷材料最優(yōu)外接電路的電感電阻值，采用窮舉法，即在仿真軟件中選取該壓電陶瓷材料并保持邊界條件不變，在參數(shù)化掃描模塊中設(shè)置電阻和電感的范圍和步長如表4所示。對表中所有電阻電感組合的電路情況進行動力學(xué)響應(yīng)計算。在接近最優(yōu)電路參數(shù)范圍內(nèi)可適當(dāng)采用更為精確的步長來增加精度。最后選取力傳遞率幅值最小的電路情況為最優(yōu)外接電路。

表4 外接電路電阻和電感值

3 模態(tài)分析

3.1 振型

根據(jù)以上設(shè)置，分別對結(jié)構(gòu)鋼和各壓電材料支承的梁系統(tǒng)進行模態(tài)分析。結(jié)構(gòu)鋼支承的梁和各類壓電材料支承的梁的振型結(jié)果如表5所示(其中各類壓電材料支承的梁的振型結(jié)果相同，所以舉其中一種壓電材料得到的結(jié)果與結(jié)構(gòu)鋼支承的梁系統(tǒng)進行對比)。

表5 振型

從表5可知，結(jié)構(gòu)鋼支承的梁和各類壓電材料支承的梁的前五階振型相同。由表5可知，用不同的壓電材料去替代結(jié)構(gòu)鋼作為支承并不會改變梁的振型。

3.2 固有頻率

各材料支承對應(yīng)的梁前五階固有頻率如表6所示。由于第一階和第四階的力傳遞率較大，所以主要分析第一階和第四階的模態(tài)情況。其中第一階和第四階的固有頻率變化量如圖9所示。

表6 各材料支承對應(yīng)的梁的固有頻率

圖9 第一階和第四階固有頻率變化量

從圖中可以看出，以壓電陶瓷和壓電堆疊作為支承后梁的各階固有頻率改變較小。

4 響應(yīng)分析

計算頻域內(nèi)兩種工況下系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)，并計算力傳遞率

通過系統(tǒng)頻響函數(shù)可計算得到各支承對應(yīng)的力傳遞率曲線。

4.1 金屬支承

當(dāng)四個支承都采用結(jié)構(gòu)鋼材料時，工況一和工況二的力傳遞率曲線如圖10和圖11所示。

圖10 工況一各支承力傳遞率曲線

圖11 工況二各支承力傳遞率曲線

由圖中可知，工況一工況二情況下系統(tǒng)力傳遞率一階共振頻率約為1 506 Hz，二階共振頻率約為8 008 Hz。第一階共振峰為主峰，為本文主要受控對象。工況一時，第一個共振峰值為17.8。工況二時，第一個共振峰值為9.5。在載荷合力處于梁對稱面時，四個支承力傳遞率情況相同，所以在后續(xù)研究中只對左下支承進行分析。

4.2 壓電支承開路情況下

將金屬支承替換為壓電材料支承后，在不連接外接電路的情況下，壓電支承-梁系統(tǒng)本身的的一階共振頻率和力傳遞率峰值如表7和表8所示。

表7 工況一一階共振頻率和力傳遞率峰值

表8 工況二一階共振頻率和力傳遞率峰值

由于各壓電材料的密度和結(jié)構(gòu)鋼存在區(qū)別，且壓電材料的無外接電路彈性模量都小于結(jié)構(gòu)鋼的彈性模量，導(dǎo)致壓電材料支承的梁系統(tǒng)一階共振頻率與鋼支承相比存在頻移。但是該頻移都在3%以內(nèi)。壓電堆疊因為內(nèi)部壓電片采用PZT-PST材料，根據(jù)之前的理論推導(dǎo)其等效彈性模量和PZT-PST材料相同，所以不連外接電路時，共振頻率和峰值幾乎相同。各壓電材料支承的梁系統(tǒng)的力傳遞率峰值相比結(jié)構(gòu)鋼支承都存在較大的增加，所以需要連接外接電路來降低峰值。

4.3 壓電支承閉路情況下

4.3.1 力傳遞率曲線隨電路參數(shù)變化規(guī)律

以PZT-2壓電陶瓷材料為例，針對工況一的載荷情況，以電路中電阻值和電感值為自變量進行參數(shù)化掃描，求解支承處力傳遞率曲線。為便于找到力傳遞率曲線隨電路參數(shù)的變化趨勢，列出電感值保持不變，改變電阻值對應(yīng)的力傳遞率曲線情況，選擇幾組典型的結(jié)果如圖12所示。

從圖12可以看出，在電感分別為100 H和500 H時，電阻值改變并不會造成力傳遞率曲線的峰值出現(xiàn)明顯變化，且力傳遞率曲線的峰值和無電路情況比并未有明顯下降。在電感分別為280 H和300 H時，電阻值改變會造成力傳遞率曲線的峰值出現(xiàn)變化。在電阻達到最優(yōu)電阻值附近時，力傳遞率曲線的峰值達到低谷。電阻值偏離最優(yōu)電阻值時，力傳遞率曲線的峰值增大。在電感分別為290 H和295 H時，電阻改變會明顯改變力傳遞率曲線的峰值，且峰值出現(xiàn)明顯的下降。

由此可以得出結(jié)論，當(dāng)電感值偏離最優(yōu)電感值的時候，力傳遞率曲線峰值不會有明顯下降。連接該電路后，壓電支承起到的減振作用并不明顯。電阻值改變幾乎無法影響力傳遞率曲線。當(dāng)電感值接近最優(yōu)電感值時，力傳遞率曲線出現(xiàn)雙峰，雙峰峰值隨電阻值改變而發(fā)生較為明顯的改變，當(dāng)電阻值同樣接近最優(yōu)電阻值時，雙峰峰值相等，此時該峰值為其他電路參數(shù)情況下的力傳遞率曲線峰值的最小值。

4.3.2 最優(yōu)解

根據(jù)上文提到的變化規(guī)律，可以分別得到工況一和工況二下的各壓電材料對應(yīng)最優(yōu)外接電路參數(shù)，其中工況一和工況二合力都在梁的對稱面內(nèi)，所以兩種工況下相同材料的最優(yōu)電路參數(shù)相同。各材料對應(yīng)的最優(yōu)外接電路參數(shù)如表9所示。

表9 各壓電材料對應(yīng)的最優(yōu)外接電路參數(shù)

明顯可以看出，因為壓電堆疊的等效壓電常數(shù)和等效介電常數(shù)遠大于壓電陶瓷材料，所以壓電堆疊所需要的最優(yōu)電路的電阻值和電感值都遠遠小于其他壓電陶瓷材料。

工況一和工況二下，各壓電材料連接最優(yōu)外接電路前后力傳遞率曲線及結(jié)構(gòu)鋼支承的力傳遞率曲線對比分別如圖13和圖14所示。

將壓電材料支承連接最優(yōu)外接電路后的力傳遞率峰值相較于結(jié)構(gòu)鋼支承的力傳遞率峰值的降幅設(shè)為降幅1，將壓電材料支承連接最優(yōu)外接電路前后的力傳遞率峰值降幅設(shè)為降幅2。從降幅1的數(shù)值可以看出替換為壓電材料后的結(jié)構(gòu)相較于原結(jié)構(gòu)的力傳遞率下降的幅度，從而判斷該裝置的減振效果。從降幅2的數(shù)值可以看出壓電材料連接外接電路后電路起到的減振作用，更方便評估電路的性能和機電耦合效率。

工況一和工況二下，各材料支承的一階共振峰處的力傳遞率峰值降幅分別如圖15和圖16所示。

從仿真結(jié)果中可得出以下結(jié)論：

(1) 各壓電材料支承都能大幅降低梁的力傳遞率曲線峰值，例如工況一下PZT-PST材料在連接最優(yōu)電路后比連接電路前的力傳遞率峰值下降了75%左右，比金屬支承的力傳遞率峰值下降了69%。說明壓電陶瓷連接外接電路后能發(fā)揮良好的阻尼作用，能起到降低支承傳遞到基座的振動力的效果。

(a) PZT-2

圖15 工況一力傳遞率峰值降幅

圖16 工況二力傳遞率峰值降幅

(2) 壓電支承在集中力和均布力的情況下都能發(fā)揮減振作用。同一種壓電材料在激勵頻率一定的情況下，這兩種工況下減振效果基本相同，說明在線性系統(tǒng)中壓電支承的減振性能和力傳遞率大小無關(guān)。

(3) 壓電支承連接電路后力傳遞率曲線會出現(xiàn)雙峰，這種現(xiàn)象與壓電片懸臂梁系統(tǒng)類似。當(dāng)電阻電感值達到最優(yōu)電路參數(shù)后，雙峰峰值相等且與其他電路情況相比降低到最低值。

5 結(jié) 論

本文以單跨度梁為例，對壓電陶瓷支承對梁的橫向振動的抑振作用進行了研究。建立了機電耦合邊界條件下的歐拉梁系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并用哈密爾頓能量原理求解了系統(tǒng)振動微分方程，并進行了多物理場有限元仿真分析。獲得如下結(jié)論：

(1) 由多片壓電片并聯(lián)燒制而成的壓電堆疊在壓電支承-梁系統(tǒng)中可等效為壓電陶瓷柱，等效后的壓電常數(shù)和介電常數(shù)遠大于同尺寸柱狀壓電陶瓷。

(2) 以壓電材料為支承并不會改變梁的振型，且不會造成固有頻率大幅頻移。

(3) 連接最優(yōu)外接電路的壓電陶瓷支承可大幅減小共振頻率下梁結(jié)構(gòu)支承處的力傳遞率。在諸多材料中，壓電堆疊由于有較大的壓電常數(shù)和介電常數(shù)，在工程實際中可以起到大幅降低最優(yōu)電路電感值和電阻值的作用。

本文只對歐拉梁的減振方法進行了原理性分析，驗證了壓電陶瓷作為支承結(jié)構(gòu)對跨度結(jié)構(gòu)的減振作用。但對多跨度的軸系、轉(zhuǎn)子等結(jié)構(gòu)還可以做進一步研究。