吳光華, 柯藝波, 張 林, 陶 猛

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 貴陽 550025)

聲學(xué)超材料是一類周期性排列，可以對振動波的散射特性進(jìn)行操控的人工結(jié)構(gòu)，展現(xiàn)出自然材料中未發(fā)現(xiàn)的、獨特的聲學(xué)特性，為亞波長尺度上的聲調(diào)控提供了可行性[1]。人工設(shè)計的超材料具有特殊的聲學(xué)性能，原因在于其特殊的結(jié)構(gòu)而不是材料成分，展現(xiàn)出廣泛的應(yīng)用前景，如聲聚焦[2-4]、聲學(xué)隱身[5]等。聲波的調(diào)控基于布拉格散射機(jī)理和局域共振機(jī)理，前者在低頻范圍內(nèi)產(chǎn)生帶隙時，需要很大的結(jié)構(gòu)尺寸[6]，后者是由亞波長尺度的共振單元引起的，可以不受空間尺寸的限制，產(chǎn)生低于傳統(tǒng)的布拉格散射帶隙的頻帶[7]?；诰钟蚬舱駲C(jī)理的人工聲學(xué)超材料，可以在低頻范圍內(nèi)進(jìn)行聲波調(diào)控，因而成為人們關(guān)注的焦點。

Liu等[8]將硅膠包覆在鉛球外構(gòu)成結(jié)構(gòu)單元，并嵌入基體材料中，在結(jié)構(gòu)共振頻率附近，第一次實現(xiàn)了負(fù)質(zhì)量密度的響應(yīng)。Fang等[9]將亥母霍茲共振腔周期性排列，實現(xiàn)了負(fù)體積模量的響應(yīng)，并通過改變共振腔腔體尺寸來調(diào)控帶隙的頻段。Yang等[10]采用薄膜結(jié)構(gòu)，設(shè)計出可以實現(xiàn)負(fù)質(zhì)量密度的聲學(xué)超材料。Lee等[11]在前人的基礎(chǔ)上，將薄膜型結(jié)構(gòu)和亥母霍茲共振腔結(jié)合起來，實現(xiàn)了質(zhì)量密度和體積模量同時為負(fù)值的超構(gòu)材料。結(jié)構(gòu)在特定頻帶內(nèi)的帶隙與聲學(xué)超材料的負(fù)參數(shù)有關(guān)，單極共振時引起負(fù)的體積模量，偶極共振引起負(fù)的質(zhì)量密度，當(dāng)這兩個參數(shù)任意一個為負(fù)數(shù)時，聲的相速度為純虛數(shù)，聲波無法在介質(zhì)內(nèi)傳播形成帶隙[12]。Cheng等[13]基于Mie共振設(shè)計出一個具有8個聲通道的圓形對稱空間卷曲結(jié)構(gòu)，研究了在單極和偶極共振時，結(jié)構(gòu)中心區(qū)域產(chǎn)生能量聚集，實現(xiàn)了負(fù)等效質(zhì)量密度和體積模量并設(shè)計出三維結(jié)構(gòu)，為設(shè)計新型聲學(xué)器件提供了新的途徑。張嵩陽等[14]基于局域共振原理，設(shè)計了一種輕量的聲學(xué)超材料板，并從試驗測試的角度證明了設(shè)計的超材料板具有良好的低頻寬帶隔聲性能。

基于結(jié)構(gòu)共振機(jī)理設(shè)計的聲學(xué)超材料會導(dǎo)致能量的高損耗，同時還有一些缺點，如結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，使用壽命短以及產(chǎn)生的帶隙窄等?；谟行Ы橘|(zhì)理論設(shè)計的空間卷曲超材料，結(jié)構(gòu)簡單，具有高對稱性，可以產(chǎn)生負(fù)的色散關(guān)系，實現(xiàn)負(fù)折射。卷曲空間作為一種可以實現(xiàn)聲學(xué)反常參數(shù)的方法，為超材料的設(shè)計提供了一種簡單、可靠的方法[15-16]。Liang等首先提出一種對稱性迷宮型超材料，通過延長聲波在結(jié)構(gòu)中的傳播路徑，實現(xiàn)了負(fù)折射率和密度接近零時的聲隧穿現(xiàn)象。Liu等設(shè)計了一個螺旋形迷宮超材料，實現(xiàn)了聲波在彎曲管道內(nèi)的均勻傳輸。Xia等[17]設(shè)計出的亞波長尺度超結(jié)構(gòu)，在低頻下可以進(jìn)行濾波和聲隱身。

分形曲線作為一種空間填充曲線，因其曲線排列的規(guī)律性和自相似性，受到了廣泛的關(guān)注[18-21]。本文基于Peano曲線，構(gòu)建出一個對稱的、具有亞波長內(nèi)部通道的聲學(xué)超材料，使聲波沿著聲通道傳播，延長了聲波路徑長度，相位發(fā)生延遲。當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸有限時，能夠通過改變結(jié)構(gòu)中聲通道的寬度來調(diào)控帶隙和負(fù)群速度模式到所需的頻率范圍內(nèi)。通過周期性排列結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行仿真分析，觀察到設(shè)計出的超材料具有波前整形、聲隱身以及聲隧穿等效應(yīng)，為構(gòu)建在低頻下具有雙負(fù)聲學(xué)特性的聲學(xué)超材料提供了一種新的思路。

1 分形結(jié)構(gòu)的設(shè)計

1.1 分形曲線

圖1表示Peano分形曲線的一階、二階形式。如圖1(a)所示，正方形區(qū)域被劃分為3×3個單元，從第一個單元的中心出發(fā)，按1-3-4-6-7-9順序連接各個單元的中心，構(gòu)成一階Peano分形曲線。如圖1(b)所示，將正方形區(qū)域劃分為9個區(qū)域，每一個區(qū)域都由一階分形曲線填充，按照同樣的連接方式的將各個小區(qū)域按照順序連接，構(gòu)成了二階分形曲線。二階分形曲線是一階分形曲線迭代延伸的結(jié)果，具有規(guī)律性和自相似性。

1.2 分形結(jié)構(gòu)

如圖2所示，基于上述Peano曲線設(shè)計出了分形結(jié)構(gòu)，通過卷曲空間和增加分形階數(shù)的方法，延長聲波的傳播路徑，使得結(jié)構(gòu)中的等效聲傳播速度低于在背景場中的速度，相當(dāng)于構(gòu)成了具有超低聲速的人工介質(zhì)。為確保結(jié)構(gòu)對于來自于各個方向的聲波都可以起到調(diào)控的作用，排列后可應(yīng)用于更加廣泛的場景，將其設(shè)計成對稱結(jié)構(gòu)。

(a) 一階

選擇環(huán)氧樹脂作為構(gòu)建分形結(jié)構(gòu)的基體材料，其密度ρ1=1 050 kg/m3，聲速c1=2 500 m/s；空氣密度ρ0=1.29 kg/m3，聲速c0=343 m/s。單元的晶格常數(shù)d=100 mm，基體材料邊長a=94 mm。一階Peano分形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部聲通道寬度w1=8 mm，二階分形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部聲通道寬度w2=2 mm。

2 帶隙特性與模態(tài)分析

量化分析與評價聲學(xué)超材料中聲波傳輸特性時，常用的表征參數(shù)包括帶隙特性、模態(tài)分析、傳輸特性、態(tài)密度、等頻率曲線、波長分布等。在本文中主要從其中主要的幾個表征量:帶隙特性、模態(tài)分布進(jìn)行分析。

2.1 帶隙特性

如圖3(a)所示，在正方形點陣中均勻分布分形結(jié)構(gòu)，其中正方形點陣的基向量為e=(e1,e2)，晶格點r的響應(yīng)為u(r)。因為正方形點陣具有周期性，響應(yīng)u(r)的周期性表達(dá)式為

u(r)=u(r+R)

(1)

式中，R是點陣的晶格矢量。

(a) 正方形點陣

位移響應(yīng)u(r)利用傅里葉級數(shù)展開表示

(2)

將式(2)代入(1)式可得

Gj·R=2πk

(3)

式中,Gj是晶格的倒易點陣，其基向量表示為:

(4)

根據(jù)Bloch定理，響應(yīng)向量u(r)可表達(dá)為

u(r)=eik·ruk(r)

(5)

式中：k=(kx,ky)是布里淵區(qū)的約束矢量；uk(rr)是點陣中的周期響應(yīng)矢量。采用有限元法對分形結(jié)構(gòu)的帶隙進(jìn)行分析，通過在單元周期性邊界上設(shè)置Bloch-Floquet條件，從而計算獲得結(jié)構(gòu)的能帶特性。

圖4是兩種分形結(jié)構(gòu)的帶隙分布圖。從圖4(a)中可以看出，在[0,1 600]Hz的頻率范圍內(nèi)，一階分形結(jié)構(gòu)存在2條完全禁聲帶，分別是[580.4,750.4]和[1 008.4,1 158.2]Hz，在這些范圍內(nèi)，不存在任何彈性波的本征模式，聲波或振動無法進(jìn)行傳播，實現(xiàn)了對彈性波能量傳播的控制，帶隙占比為20.3%。如圖4(b)所示，在[0,1 600]Hz范圍內(nèi)，二階分形結(jié)構(gòu)存在6條帶隙，分別是[210.1,327.6]、[408.8,423.0]、[630.2,695.4]、[813.4,845.8]、[1 209.8,1 276.8]和[1 559.9,1 600.0] Hz，帶隙區(qū)域之外的聲波都可以進(jìn)行傳播，帶隙占比為21.6%。

(a) 一階分形結(jié)構(gòu)

在波長大于結(jié)構(gòu)單元尺度的頻段內(nèi)，本文設(shè)計的亞波長結(jié)構(gòu)單元產(chǎn)生了彈性波帶隙，具有質(zhì)量小、尺寸小但控制的波長大的特點，有助于突破傳統(tǒng)降噪減振技術(shù)的局限。比較圖4(a)和4(b)中的帶隙分布特點不難看出：隨著階數(shù)的增加，帶隙出現(xiàn)在更低的頻段中。這是因為二階分形結(jié)構(gòu)的聲通道的卷曲程度增加，聲波的傳播的距離增加。從這個角度出發(fā)，可以通過增加分形曲線的階數(shù)，來設(shè)計出亞波長尺度的濾波器。

需要說明的是，分形結(jié)構(gòu)的兩個關(guān)鍵參數(shù)，聲通道寬度和中心區(qū)域的面積，是考慮到結(jié)構(gòu)體的魯棒性而取的兩個初始值，在合理的范圍內(nèi)可進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)需要應(yīng)用于不同的隔聲降噪場合時，可以通過調(diào)整和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的參數(shù)，來調(diào)整禁帶的區(qū)域從而滿足不同的需求。

2.2 模態(tài)分析

本征模態(tài)的計算是在有限元軟件特征頻率模塊下，基于建立的Peano分形結(jié)構(gòu)模型來進(jìn)行的，結(jié)果用于理解禁聲帶隙的產(chǎn)生機(jī)理。如圖5(a)所示，一階分形結(jié)構(gòu)的單極共振頻率為987.9 Hz，其中心區(qū)域產(chǎn)生單一振動模式，并且均勻地向外擴(kuò)展；如圖5(c)所示，偶極共振頻率為745.9 Hz，其結(jié)構(gòu)左右兩側(cè)區(qū)域產(chǎn)生了相位完全相反的振動。一階分形結(jié)構(gòu)的單極和偶極共振產(chǎn)生的帶隙分別為[1 008.4,1 158.2]和[580.4,750.4]Hz。圖5(b)和(d)分別表示的是，二階分形結(jié)構(gòu)單極共振頻率為328.4 Hz，偶極共振頻率為388.9 Hz，其振動規(guī)律與一階分形結(jié)構(gòu)相同，單極和偶極共振產(chǎn)生的帶隙分別為[210.1,327.6]和[408.8,423.0] Hz。不同于由局域共振單元產(chǎn)生的帶隙，分形結(jié)構(gòu)單極共振和偶極共振產(chǎn)生帶隙時，其自身結(jié)構(gòu)并不隨著振動而變化。

3 等效密度

由聲速與體積模量和質(zhì)量密度關(guān)系式

(6)

式中:c是聲速；ρ是質(zhì)量密度；B是體積模量。

可以得出，介質(zhì)的質(zhì)量密度和體積模量中，任意一個聲學(xué)參數(shù)為負(fù)值時，聲的相速度為純虛數(shù)，其中的聲波以指數(shù)形式衰減，不能在介質(zhì)中傳播[12]。因此，分形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生帶隙的原因在于材料的負(fù)等效聲學(xué)參數(shù)，其單負(fù)聲學(xué)參數(shù)處的頻帶對應(yīng)的是聲傳播禁帶。以下通過計算分形結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性曲線來驗證帶隙分布。

(a) 987.9 Hz

本文提出的分形結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布不均，沒有計算其動態(tài)質(zhì)量密度和體積模量的固定算式，但作為一種亞波長結(jié)構(gòu)，工作頻段的彈性波在其中傳播時，波長大于特征尺寸，從宏觀角度來看，結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性近似于均勻介質(zhì)，因此，可基于等效的理念，用均一化材料參數(shù)來描述其聲學(xué)響應(yīng)。

3.1 S參數(shù)提取法

研究周期性結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性的方法有以下幾種：S參數(shù)提取法、變分法、平面波擴(kuò)張法和傳遞矩陣法等。S參數(shù)提取法是在長波長尺寸的條件下，將材料結(jié)構(gòu)視作一塊各向同性的均勻等效介質(zhì)板，通過提取等效介質(zhì)板的反射系數(shù)(R)和透射系數(shù)(T)來計算材料的等效參數(shù)[22]。

如圖6所示，在有限元模型中，介質(zhì)兩邊設(shè)置周期性邊界條件，波導(dǎo)兩端區(qū)域設(shè)置完美匹配層模擬無限周期域，防止邊界處產(chǎn)生反射聲波，在壓力聲學(xué)模塊下進(jìn)行計算。圖中Pi表示入射聲波，Pr表示反射波，Pi表示透射波，箭頭表示聲波的傳播方向。超材料的厚度為d。

圖6 仿真計算原理圖

如圖7(a)所示，一階分形結(jié)構(gòu)在其偶極共振頻率745.9 Hz附近產(chǎn)生了負(fù)等效質(zhì)量密度，負(fù)響應(yīng)的頻率范圍為[760.2,1 173.9] Hz。如圖7(b)所示，結(jié)構(gòu)在單極共振頻率987.9 Hz附近，產(chǎn)生了負(fù)等效體積模量，對應(yīng)的頻率范圍為[564.7,1 013.7] Hz。

(a) 等效質(zhì)量密度

如圖8(a)所示，二階分形結(jié)構(gòu)在[404.2,423.4] Hz頻率范圍內(nèi)有負(fù)等效質(zhì)量密度，對應(yīng)其偶極共振頻率388.9 Hz。如圖8(b)所示，在[210.1,574.8] Hz頻率范圍內(nèi)有負(fù)等效體積模量，對應(yīng)其單極共振頻率328.4 Hz。

分形結(jié)構(gòu)的單極共振頻率附近產(chǎn)生負(fù)等效體積模量，偶極共振頻率附近產(chǎn)生負(fù)等效質(zhì)量密度。從一階、二階分形結(jié)構(gòu)的等效聲學(xué)參數(shù)可以看出，兩者都存在負(fù)等效質(zhì)量密度和負(fù)等效體積模量同時存在的頻率范圍，分別是[760.2,1 013.7]和[404.2,423.4] Hz，具有雙負(fù)特性，相較于單負(fù)聲學(xué)特性的結(jié)構(gòu)，可以帶來更多新穎的物理現(xiàn)象。計算出的負(fù)等效聲學(xué)參數(shù)出現(xiàn)的頻率范圍，與帶隙分布的頻率范圍相一致，驗證了計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

3.2 傳遞矩陣法

周期排列后的分形結(jié)構(gòu)可以使聲波發(fā)生全透射，還可以產(chǎn)生零相位差傳輸效應(yīng)以及其它的新奇物理效應(yīng)，可以用于新型聲學(xué)功能器件的設(shè)計。其理論依據(jù)為，當(dāng)超材料的動態(tài)質(zhì)量密度ρe→0時，結(jié)構(gòu)中等效聲速ce→∞，這意味著背景聲場中的聲波經(jīng)過超材料介質(zhì)后，相位不會發(fā)生變化。由于多個分形單元之間存在共振耦合的作用，會影響其等效質(zhì)量密度近零頻率點的選取，因此，需要以周期排列的多個結(jié)構(gòu)為研究對象進(jìn)行計算。周期排列后的結(jié)構(gòu)，不再滿足于S參數(shù)法中的長波長尺寸條件，此時可采用一種評價均勻和各向同性材料的聲學(xué)特性的方法：傳遞矩陣法，來分析周期性排列的分形結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量密度[23]。

(a) 等效質(zhì)量密度

如圖9(a)和10(a)所示，5×5排列的一階分形結(jié)構(gòu)在頻率為786.3 Hz和977.7 Hz處質(zhì)量密度接近于0。如圖9(b)和10(b)所示，相應(yīng)頻率處存在聲壓透射峰值，透射系數(shù)接近于1，表明該頻率下的聲波經(jīng)過分形結(jié)構(gòu)時發(fā)生了全透射，沒有能量的損耗，可以證明該頻率點為質(zhì)量密度近零頻率點。

(a) 等效質(zhì)量密度

計算多胞等效質(zhì)量密度曲線，不僅可以找出其質(zhì)量密度近零頻率點，也可以用于驗證帶隙分布。如圖10所示，在977.7 Hz之后的頻率范圍內(nèi)，分形結(jié)構(gòu)的動態(tài)等效質(zhì)量密度逐漸降低成負(fù)值，并且在相應(yīng)的透射系數(shù)圖中可以看到，透射聲壓逐漸降低，這一頻率范圍與一階分形結(jié)構(gòu)的帶隙區(qū)域[1 008.4,1 158.2]Hz是一致的。

(a) 等效質(zhì)量密度

如圖11(a)和12(a)所示，5×5排列的二階分形結(jié)構(gòu)在頻率為423.0 Hz、435.8 Hz和850.8 Hz、867.8 Hz處質(zhì)量密度接近于0。圖11(b)和12(b)表示的是，二階結(jié)構(gòu)在對應(yīng)頻率處存在聲波透射系數(shù)峰值，透射系數(shù)接近于1。需要指出圖12中，在845.0 Hz之前的頻率范圍內(nèi)，二階分形結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量密度為正值，但其聲壓透射系數(shù)接近于0，其原因在于二階分形結(jié)構(gòu)的動態(tài)等效體積模量為負(fù)值，也就是產(chǎn)生了單負(fù)聲學(xué)響應(yīng)，從而出現(xiàn)了禁聲帶隙，這一頻率范圍對應(yīng)于上文中分析的二階結(jié)構(gòu)的禁聲帶隙[813.4,845.8] Hz。

(a) 等效質(zhì)量密度

(a) 等效質(zhì)量密度

4 聲波調(diào)控

通過以上分析可知，5×5排列的一階、二階分形結(jié)構(gòu)，在特定頻率點處動態(tài)等效質(zhì)量密度接近于0。為了進(jìn)一步說明周期排列的分形結(jié)構(gòu)具有特殊的聲學(xué)特性，可以在不同的單元數(shù)量和排列方式下進(jìn)行聲調(diào)控，在波導(dǎo)中對分形結(jié)構(gòu)單元以不同位置分布(z型波導(dǎo))、不同排列方式(5×7)的結(jié)構(gòu)中放置障礙物，進(jìn)行仿真分析。

4.1 近零密度傳輸

圖13(a)和(b)分別表示頻率為786.3 Hz和852.0 Hz的聲波，經(jīng)過一階分形結(jié)構(gòu)后波導(dǎo)中的聲壓分布。其中，圖13(b)作為對照組來研究不為近零密度頻率下的聲波穿過分形結(jié)構(gòu)后的聲壓分布。圖14(a)和(b)表示波導(dǎo)中放置二階分形結(jié)構(gòu)，在頻率分別為867.8 Hz和846.0 Hz處的聲壓分布。同樣，圖14(b)作為對比圖來研究分形結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性。圖13(c)和14(c)表示對應(yīng)頻率附近的聲壓透射系數(shù)。

(a) 786.3 Hz處的聲壓分布

在圖13(a)和14(a)中，聲波穿過周期排列的一階、二階分形結(jié)構(gòu)后，幅值沒有發(fā)生改變，近似以平面波的形式傳播，波陣面中沒有破壞點，很好的保持了平面波特征。而在圖13(b)和14(b)中，不處于近零密度頻率點的聲波經(jīng)過分形結(jié)構(gòu)后，波形出現(xiàn)了扭曲，對比結(jié)果可以說明分形結(jié)構(gòu)在近零密度頻率點處可以很好的調(diào)控聲波。在圖13(c)和圖14(c)中，結(jié)構(gòu)在對應(yīng)頻率下的透射系數(shù)接近1，說明聲波在傳播過程中發(fā)生了全透射，沒有能量的損耗，可以證明該頻率點為近零密度頻率點。需要指出的是，在圖13(a)中，一階分形結(jié)構(gòu)填充的波導(dǎo)入射和出射兩側(cè)出現(xiàn)了零相位差效應(yīng)，相位始終處于連續(xù)的狀態(tài)，而在圖14(a)中，二階分形結(jié)構(gòu)的兩側(cè)存在微小的相位改變。其原因在于，一階分形結(jié)構(gòu)的阻抗與空氣阻抗不完全匹配，從而有反射波的存在，聲波的疊加會產(chǎn)生相位的畸變[24]。

(a) 867.8 Hz處聲壓分布

4.2 波前整形

圖15和16表示的是，在波導(dǎo)的入射端口與分形結(jié)構(gòu)前表面之間，放置兩個尺寸不一的圓形塊來模擬不均勻散射聲場，研究其對散射聲場的整形作用。其中，圖15(b)和圖16(b)表示，在波導(dǎo)中不放置周期排列(5×5)的分形結(jié)構(gòu)，近零密度頻率下的聲波的聲場分布，可以看出，平面波受到圓形障礙物的干擾而變成雜亂無規(guī)律的散射聲波，經(jīng)過一段距離的傳播后，在波導(dǎo)內(nèi)仍然處于紊亂的狀態(tài)。相對應(yīng)的是，在圖15(a)和16(a)中，散射聲波通過分形結(jié)構(gòu)后，波陣面重新變得規(guī)整，不再出現(xiàn)斷裂、破壞的現(xiàn)象，并且近似于平面波，說明分形結(jié)構(gòu)在質(zhì)量密度近零頻率處可以平整紊亂的聲波，使其變得規(guī)整。

(a) 977.7 Hz處聲壓分布

(a) 850.8 Hz處聲壓分布

需要指出的是，在圖15(c)中，近零密度頻率點處的透射系數(shù)僅有0.65，同樣在圖16(c)中，最大透射系數(shù)也只有0.73。這是由于放置的兩個圓形障礙物對聲波起到了很大的反射作用，使得僅有部分聲波傳播至分形結(jié)構(gòu)的表面，從而在計算出口端與入口段的聲壓之比時會出現(xiàn)透射系數(shù)不為1的情況。因為波前整形仿真與傳遞矩陣法找近零密度頻率點時采用的排列方式(5×5)相同，調(diào)波頻率點一致，故能證明該頻率點為近零密度頻率點。

4.3 聲隱身

在周期排布的分形結(jié)構(gòu)單元中間放置鋼塊，并將有限元分析模型的物理場條件設(shè)置為聲固耦合，以考慮鋼塊振動對聲場的影響作用。圖17(b)和18(b)表示不同頻率下的平面聲波在有障礙物的波導(dǎo)中傳播的聲壓分布圖，這兩個頻率分別是一階和二階分形結(jié)構(gòu)的近零密度頻率?？梢钥闯?，聲波經(jīng)過鋼塊后，整體出現(xiàn)了散亂的狀態(tài)，也沒能還原成平面波。

(a) 963.8 Hz處聲壓分布

從圖17(a)和18(a)中可以發(fā)現(xiàn)，分形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部存在聲壓分布，結(jié)構(gòu)的兩側(cè)聲波都為平面波，并且相位沒有發(fā)生畸變，并且在圖17(c)和18(c)中可以找到對應(yīng)的近零密度頻率處的透射系數(shù)接近于1，表明入射波經(jīng)過分形結(jié)構(gòu)及其內(nèi)部包含的鋼塊后幾乎發(fā)生了全透射，并且仍以平面波的形式繼續(xù)傳播，波陣面不存在明顯的斷裂和錯位移動現(xiàn)象，整個系統(tǒng)變成了一個純粹的自由空間。仿真結(jié)果有效地說明了分形結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)目標(biāo)的聲隱身，結(jié)構(gòu)中的聲場強度不為零，隱藏在其中的物體不能被探測到的同時能捕捉到外界的信號，允許物體與外界進(jìn)行信息交流，解決了“盲”隱身的問題。

需要說明的是，如圖17(a)所示，在頻率為963.8 Hz的聲壓分布圖中，分形結(jié)構(gòu)前、后表面的聲壓分布與平面波傳播特點有所區(qū)別，這是因為相對于圖18(a)中852.2 Hz來說，頻率增加以后波長減小，近場的不均勻性有所增加，聲場存在一定的擾動。盡管如此，經(jīng)過一定的傳播距離后，聲場又逐漸恢復(fù)了初始的波陣面性質(zhì)，放置其中的物體得到了很好的隱藏，從這個角度來說，仍然很好地體現(xiàn)了聲隱身的特點。

(a) 852.2 Hz處聲壓分布

4.4 聲隧穿

為了說明分形結(jié)構(gòu)不僅在定截面的平直波導(dǎo)中可以進(jìn)行聲調(diào)控，而且在突變截面、存在狹窄區(qū)域的曲折波導(dǎo)中，同樣能起到調(diào)控作用，將兩個波導(dǎo)錯位排布，中間以z字形狹窄通道連接，在其中放置分形結(jié)構(gòu)，分析聲波通過狹窄通道的聲隧穿效應(yīng)。中間的狹窄區(qū)域可以視為一個聲負(fù)載，不僅可以壓縮聲波而且會引起部分聲波的反射。圖19(b)和20(b)表示，在不放置分形結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)中，聲波經(jīng)過變截面的通道后被擠壓和彎曲，進(jìn)而變得散亂。而對比于圖19(a)和20(a)，可以很明顯的看出經(jīng)過分形結(jié)構(gòu)后的聲波，其波陣面得到了很好的保持，進(jìn)一步從透射系數(shù)圖19(c)和20(c)中可以得到，該頻率下的聲波在傳播過程中發(fā)生了全透射，能量近乎于零損耗，整個過程可以認(rèn)為是一個解壓還原的過程。證明了分形結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性完全不受通道的曲折度、截面的變化影響，可以應(yīng)用于不同形狀的通道。并且在這一部分中，選用的是二階分形結(jié)構(gòu)422.7 Hz的近零密度頻率點來進(jìn)行仿真計算，經(jīng)過上述的比對分析，完全可以說明二階分形結(jié)構(gòu)獨特的低頻調(diào)波特性?？偟膩碚f，二階分形結(jié)構(gòu)的調(diào)波頻段要低于一階分形結(jié)構(gòu)，因此可以通過增加分形結(jié)構(gòu)的階數(shù)，來實現(xiàn)對低頻聲波的調(diào)控。

(a) 982.0 Hz處聲壓分布

綜上所述，(1) 在波前整形中，將一階、二階結(jié)構(gòu)5×5排列，分形結(jié)構(gòu)可以在質(zhì)量密度近零頻率點及其附近頻率下規(guī)整聲波；(2) 在變截面的波導(dǎo)如z型波導(dǎo)中排列分形結(jié)構(gòu)，同樣產(chǎn)生了近零密度傳輸現(xiàn)象，說明分形結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)能夠適應(yīng)于不同的場景，有潛在的廣泛應(yīng)用前景；(3) 在5×7排列的分形結(jié)構(gòu)中放置鋼塊，入射的聲波經(jīng)過整個系統(tǒng)后仍然保持著平面波的特征，說明分形結(jié)構(gòu)能在低頻下起到聲隱身的作用，為聲隱身提供了一個新的方法。(4) 進(jìn)行聲隧穿和聲隱身仿真模擬時，選用了不同的分形結(jié)構(gòu)單元數(shù)目，通過與5×5排列方式的比較，說明分形結(jié)構(gòu)的聲調(diào)控可以不受單元數(shù)量的限制；

(a) 422.7 Hz處聲壓分布

對比上文中一階、二階分形結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)曲線，可以看出二階分形結(jié)構(gòu)的聲透射峰值多于一階分形結(jié)構(gòu)，表明隨著分形階數(shù)的增加，近零密度頻率點數(shù)量增加，并且出現(xiàn)在更低頻的范圍內(nèi)。

此外，在進(jìn)行聲波調(diào)控的過程中，以一階分形結(jié)構(gòu)為例，計算等效密度時選取的近零密度頻率點為977.7 Hz，仿真中聲隱身963.8 Hz，聲隧穿982.0 Hz，質(zhì)量密度近零頻率點不一致。主要原因在于，不同數(shù)量、排列方式的多個單元之間存在共振耦合，造成了頻率點不同程度的偏移[21]。

5 試驗分析

如圖21(a)所示，為了驗證文中有限元分析方法的有效性，采用環(huán)氧樹脂材料打印出一階分形結(jié)構(gòu)的三維模型，結(jié)構(gòu)底部采用94 mm×99.8 mm×2 mm的基體板起固定支撐的作用?？紤]到樣品表面并非光滑界面，存在黏滯摩擦，因此仿真分析中選擇了壓力聲學(xué)-熱黏性聲學(xué)模塊下進(jìn)行分析。圖21(b)表示用于試驗的阻抗管測試系統(tǒng)，其內(nèi)部截面尺寸為100 mm×100 mm。

(a) 結(jié)構(gòu)樣品

圖21(c)表示分形結(jié)構(gòu)的試驗測量與仿真計算的結(jié)果對比?？梢钥闯觯瑑蓷l曲線總體趨勢符合良好，說明了本文采用的有限元分析方法的有效性。但是，兩條曲線存在幅值上的偏差和透射系數(shù)峰值頻率的偏差，其中熱黏性損耗只影響透射系數(shù)的幅值，并不會引起透射系數(shù)峰值頻率的移動。仿真中三個峰值所在的頻率分別是532 Hz、1 006 Hz和1 202 Hz，試驗測試中則為540 Hz、1 050 Hz、1 262 Hz，對比三個峰值位置處的頻率偏移大小，可以看出移動偏差最大位置在1 200 Hz附近，產(chǎn)生了60 Hz的偏移，但偏差只有5%。

通過多次的試驗測量，峰值頻率在低頻范圍內(nèi)移動的原因可以歸結(jié)于：① 模型底部的基體板的影響：基體板的存在阻礙了部分聲波的傳播。本文取基體板厚度初始值為2 mm，其作用為輔助構(gòu)建分形聲通道，而且由于打印模型時采用的材料為樹脂材料，質(zhì)量較輕，所以這一尺寸可以進(jìn)行適度的調(diào)整，從而降低對實際測量的影響；② 3D打印過程的誤差，即聲通道的寬度存在一定量的偏差。

6 結(jié) 論

在[0,1 600] Hz頻率范圍內(nèi)，一階、二階分形結(jié)構(gòu)在各自的單極共振頻率附近產(chǎn)生負(fù)體積密度，在偶極共振頻率附近產(chǎn)生負(fù)體積模量，當(dāng)結(jié)構(gòu)的體積模量和質(zhì)量密度中任意一個參數(shù)為負(fù)時，聲波無法在其中傳播，產(chǎn)生傳播帶隙。隨著分形階數(shù)的增加，分形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙數(shù)量增加，帶隙面積從20.3%增加到21.6%，并逐漸向著更加低頻的范圍內(nèi)移動，可以用于低頻下的濾波。在質(zhì)量密度接近于0的頻率點處，周期排列的分形結(jié)構(gòu)可以進(jìn)行聲波調(diào)控，如近零密度傳輸、波前整形、聲隱身以及聲隧穿，調(diào)控后聲波以近似平面波的形式傳播，且透射系數(shù)接近于1，聲能量接近無損耗。