譚偉美 劉燕萍 凌海全

（廣西玉林農(nóng)業(yè)學(xué)校，廣西 玉林 537000）

制造業(yè)的集成化水平、自動化水平，已經(jīng)成為衡量一個國家科技實(shí)力的重要標(biāo)準(zhǔn)。我國是制造業(yè)大國，涵蓋了世界上絕大多數(shù)的機(jī)械加工門類[1]，其中的數(shù)控技術(shù)和數(shù)控系統(tǒng)發(fā)揮了非常重要的作用。對各種復(fù)雜類型的機(jī)械加工任務(wù)，只有具備更多軸數(shù)聯(lián)動的數(shù)控加工技術(shù)和方法，才能更高效率地將其完成[2]。因此，多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)的設(shè)計以及多軸聯(lián)動的數(shù)控加工方法已經(jīng)成為判斷機(jī)械加工制造行業(yè)競爭力的核心內(nèi)容[3]。目前，我國在5軸及5軸以上的聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)研制和數(shù)控加工方法方面與世界先進(jìn)水平存在一定差距，這也成為制約我國機(jī)械加工行業(yè)深度發(fā)展的瓶頸問題。為此，該文以5軸聯(lián)動的數(shù)控系統(tǒng)為研究對象，通過數(shù)學(xué)模型分析和控制過程研究，給出其在曲面加工中的具體應(yīng)用。

1 多軸數(shù)控系統(tǒng)位姿的數(shù)學(xué)模型

多軸聯(lián)動的數(shù)控系統(tǒng)，其控制功能和加工效果實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于位置和姿態(tài)的準(zhǔn)確刻畫與合理動態(tài)連接。為此，該文先以齊次坐標(biāo)的形式對多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)的位置和姿態(tài)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

多軸聯(lián)動數(shù)控加工系統(tǒng)一系列動作的完成，在三維空間中表現(xiàn)為各個關(guān)節(jié)、各個軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和平移運(yùn)動的累加效果。因此，要從數(shù)學(xué)角度刻畫多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)，就依賴于對旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣的刻畫。

如果空間中任意一點(diǎn)A，通過平移變換變成A'點(diǎn)的位置，并且它在x、y、z這3個坐標(biāo)軸上分別平移了a、b、c個單位，那么存在如公式（1）所示的平移關(guān)系。

如果空間中任意一點(diǎn)A，通過旋轉(zhuǎn)變換變成A'點(diǎn)的位置，并且它繞z旋轉(zhuǎn)的角度為θ，那么存在如公式（2）所示的旋轉(zhuǎn)關(guān)系。

同理，還可分別得到任意一點(diǎn)繞y軸和繞x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，以及這2個矩陣的齊次表達(dá)。進(jìn)一步推廣這個做法，可以得到任意一點(diǎn)繞空間任意軸線的旋轉(zhuǎn)矩陣，它也將體現(xiàn)為繞x、y、z軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的組合形式。

得到了空間任意一點(diǎn)位置變化的平移矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣，就可以建立這一點(diǎn)位置變化的數(shù)學(xué)模型。這樣的思路同樣適用于空間任意一個坐標(biāo)系和空間任意一個物體。多軸聯(lián)動的數(shù)控加工過程就是承擔(dān)加工任務(wù)的操作端，進(jìn)行多個平移運(yùn)動和繞多個軸線做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的組合效果。

假設(shè)多軸聯(lián)動系統(tǒng)的末端操作裝置的位置變換如圖1所示。

圖1 多軸聯(lián)動系統(tǒng)的末端操作裝置的位置變換

如圖1所示，多軸聯(lián)動系統(tǒng)的末端操作裝置一共進(jìn)行了2次變換，一次是分別沿x軸和y軸進(jìn)行了2次平移運(yùn)動，一次是繞z軸做了90°的旋轉(zhuǎn)。

可見，有了上面的建模方法，就可以對多軸聯(lián)動系統(tǒng)任意關(guān)節(jié)、任意動作進(jìn)行平移運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的組合描述。

2 多軸數(shù)控系統(tǒng)的加工過程控制

能夠通過數(shù)學(xué)模型對多軸聯(lián)動的數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行描述以后，如何設(shè)定數(shù)控程序，讓系統(tǒng)按照既定的路線完成加工任務(wù)，是整個數(shù)控過程的難點(diǎn)。該文為多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)的加工過程設(shè)計了一個具有較好實(shí)時性的脈沖控制算法，簡稱RTPA（Real time pulse algorithm）算法。

數(shù)控加工的過程一般是通過插補(bǔ)算法來實(shí)現(xiàn)和完成的，而數(shù)控加工中的每個軸的控制是根據(jù)步進(jìn)電機(jī)的脈沖來實(shí)現(xiàn)的，這就需要形成插補(bǔ)過程和脈沖生成時序之間的對應(yīng)關(guān)系。但是，傳統(tǒng)的根據(jù)脈沖頻率進(jìn)行插補(bǔ)過程的設(shè)計的實(shí)時性并不理想。為此，該文從V-F變換算法（電壓-頻率）的角度出發(fā)，設(shè)計了一個新的具有更好實(shí)時性的脈沖生成算法。通過這個算法所產(chǎn)生的脈沖序列可實(shí)現(xiàn)對多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)更有效的控制。

這個算法使用了比較器組件、計數(shù)器組件和生成器組件共同產(chǎn)生具有較好實(shí)時性的脈沖序列，其算法的原理框圖如圖2所示。

根據(jù)圖2可知，多軸聯(lián)動系統(tǒng)某一關(guān)節(jié)或末端裝置的位移經(jīng)過采樣以后作為RTPA算法的輸入，采樣頻率是f。采樣位移值輸入以后，與反饋支路上根據(jù)脈沖計數(shù)器形成的脈沖當(dāng)量進(jìn)行比較，二者比較之后的差異進(jìn)入脈沖生成器作為脈沖序列產(chǎn)生的判斷依據(jù)。脈沖生成器會形成2個輸出，分別是正向脈沖和反向脈沖，這也分別對應(yīng)于步進(jìn)電機(jī)的正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)。

圖2 多軸聯(lián)動系統(tǒng)RTPA控制算法的原理框圖

對脈沖生成器產(chǎn)生正向脈沖還是反向脈沖的判斷，取決于輸入與反饋支路比較的累積誤差和設(shè)定域值（value）之間的比較，比較規(guī)則如下。規(guī)則一：如果輸入與反饋支路比較的累積誤差之和大于設(shè)定域值，則脈沖生成器生成正向脈沖并輸出。規(guī)則二：如果輸入與反饋支路比較的累積誤差之和小于設(shè)定域值的相反數(shù)，則脈沖生成器生成反向脈沖并輸出。

決定該文算法的關(guān)鍵參數(shù)還有位移作為輸入前的采樣頻率f。為了判斷采樣頻率f對RTPA算法性能的影響，該文分別設(shè)置采樣頻率為5 kHz和20 kHz，繪制其位移響應(yīng)曲線和速度響應(yīng)曲線，結(jié)果如圖3所示。

圖3（a）圖左側(cè)代表了采樣頻率為5kHz時RTPA算法的位移響應(yīng)曲線，右側(cè)代表了采樣頻率為20kHz時RTPA算法的位移響應(yīng)曲線；圖3（b）圖左側(cè)代表了采樣頻率為20kHz時RTPA算法的速度響應(yīng)曲線，右側(cè)代表了采樣頻率為20kHz時，RTPA算法的速度響應(yīng)曲線。

從圖3（a）可以看出，采樣頻率越大，采樣周期越小，RTPA算法的位移響應(yīng)速度越快。從左、右圖的對比可以看出，采樣頻率為5kHz時，RTPA算法的位移響應(yīng)經(jīng)過0.58s，多軸聯(lián)動系統(tǒng)的實(shí)際位移才能和理想位移吻合；采樣頻率為20kHz時，RTPA算法的位移響應(yīng)經(jīng)過0.16s，多軸聯(lián)動系統(tǒng)的實(shí)際位移就和理想位移吻合。這表明，采樣頻率為20kHz時的位移響應(yīng)比采樣頻率為5kHz時的位移響應(yīng)足足快了0.42s。

從圖3（b）可以看出，采樣頻率越大，采樣周期越小，RTPA算法的速度曲線響應(yīng)越快。從左、右圖的對比可以看出，采樣頻率為5 kHz時，RTPA算法的速度響應(yīng)經(jīng)過0.5 s，多軸聯(lián)動系統(tǒng)的實(shí)際速度才能和理想速度吻合；采樣頻率為20 kHz時，RTPA算法的速度響應(yīng)經(jīng)過0.13 s，多軸聯(lián)動系統(tǒng)的實(shí)際速度就和理想速度吻合。這表明，采樣頻率為20 kHz時的速度響應(yīng)比采樣頻率為5 kHz時的速度響應(yīng)足足快了0.37 s。

3 多軸數(shù)控系統(tǒng)的曲面加工仿真試驗(yàn)

在前面的工作中，分別針對多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行了位置姿態(tài)建模和RTPA控制算法設(shè)計，并通過關(guān)鍵參數(shù)的影響分析確定了多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)的有效控制策略。接下來將進(jìn)行仿真試驗(yàn)，以驗(yàn)證該文所提出的多軸聯(lián)動系統(tǒng)的RTPA算法控制性能。

仿真試驗(yàn)選擇曲面加工作為多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)的加工對象。曲面在各種加工單元中具有一定的復(fù)雜性，并且對控制算法有比較精細(xì)的要求。而整個曲面的加工完成是通過連續(xù)的曲線加工軌跡來完成的。該文要加工的曲面的仿真結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看出，該文要加工的曲面是在x方向上形成軸向?qū)挾?、在y方向上形成徑向?qū)挾鹊囊欢吻?，曲面的曲率半徑則位于z軸方向。圖4中還給出了刀具的初始位置即起刀點(diǎn)，曲面上的平行曲線則表明在RTPA算法控制下的加工軌跡。

圖4 該文要加工的曲面的仿真結(jié)果

曲面的數(shù)控加工方法有很多種，例如基于軌跡生成參數(shù)的加工路線法、基于CC路徑的截面數(shù)據(jù)加工路線法以及基于CL路徑的截面加工路線法等。該文選擇了基于CC路徑的截面數(shù)據(jù)加工路線法，同時結(jié)合Z字形走刀完成加工。

加工過程中，RTPA算法在x軸方向上、y軸方向上和z軸方向上，根據(jù)RTPA算法得到的位移和速度曲線的控制效果如圖5所示。

從圖5（a）中可以看出，RTPA算法在x軸方向上對位移的控制形成了三角波的曲線形式。受到加工任務(wù)的限制，RTPA算法在x軸方向上的位移最大值為0 mm，最小值接近-150 mm的位置，位移曲線的三角波周期4.17 s。RTPA算法在x軸方向上對速度的控制形成了矩形方波的曲線形式，但因?yàn)榧庸み^程的影響出現(xiàn)了一定的抖動。RTPA算法在x軸方向上的速度最大值接近80 mm/s，最小值接近-80 mm/s，速度曲線的矩形方波周期4.17 s。

從圖5（b）中可以看出，RTPA算法在y軸方向上對位移的控制形成了階躍波的曲線形式。受到加工任務(wù)的限制，RTPA算法在y軸方向上的位移最大值為0 mm，最小值接近-6 mm的位置，位移曲線的階躍波周期4.17 s。RTPA算法在y軸方向上對速度的控制形成了脈沖波的形式。RTPA算法在y軸方向上的速度最大值為0 mm/s，最小值為-10 mm/s，速度曲線的矩形方波周期4.17 s。

從圖5（c）中可以看出，RTPA算法在z軸方向上對位移的控制形成了正弦半波的曲線形式。受到加工任務(wù)的限制，RTPA算法在z軸方向上的位移最大值為6.2 mm，最小值為0 mm的位置，位移曲線的正弦半波周期2.08 s。RTPA算法在z軸方向上對速度的控制形成了鋸齒波的曲線形式。RTPA算法在z軸方向上的速度最大值接近15 mm/s，最小值接近-15 mm/s，速度曲線的鋸齒波周期2.08 s。

圖5 RTPA算法在3個方向上對位移和速度曲線的控制效果

4 結(jié)論

該文對多軸聯(lián)動的數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行了研究。首先，在齊次坐標(biāo)的形式下，對多軸聯(lián)動系統(tǒng)任意關(guān)節(jié)處的位置和姿態(tài)變化進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，推導(dǎo)了平移矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣的產(chǎn)生過程。其次，基于比較器組件、計數(shù)器組件和生成器組件構(gòu)建了反饋形式的RTPA算法，用于多軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)加工過程中的實(shí)際控制，并對采樣頻率的影響進(jìn)行了分析。最后，以曲面仿真加工為例進(jìn)行了驗(yàn)證性試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明：該文采用的基于CC路徑的截面數(shù)據(jù)加工路線法，同時結(jié)合Z字形走刀可以順利完成加工。同時，RTPA算法在3個坐標(biāo)軸方向上對位移和速度都進(jìn)行了有效的控制。