劉云龍， 羅彪， 黃苛， 羅運(yùn)杰， 凌濤， 尹來容

(1.中鐵五局集團(tuán) 第一工程有限責(zé)任公司， 湖南 長沙 410117；2.長沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院， 湖南 長沙 410114)

在當(dāng)前科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展的背景下，巖土工程中錨固技術(shù)應(yīng)用越來越普遍。王鵬設(shè)計(jì)了一種四臂錨桿鉆車，主要應(yīng)用于魏墻煤礦雙巷掘進(jìn)工作面。王威設(shè)計(jì)了一種用于完成巷道中全部頂板錨桿支護(hù)和側(cè)幫錨桿支護(hù)的錨桿鉆機(jī)，解決了掘錨機(jī)組無法一次性完成全部巷道錨桿支護(hù)的問題。并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有精度高、累計(jì)誤差小、承載能力大等特點(diǎn)。Li Y. B.等提出了一種5-PSS/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)并對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)求解。柳紀(jì)琛等提出了一種兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(2T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與工作空間及尺度優(yōu)化。沈惠平等提出了一種零耦合度、含1條冗余支鏈的三自由度2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu),并對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛度分析。葉偉等提出了一種用于微創(chuàng)手術(shù)的新型遠(yuǎn)中心并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與性能優(yōu)化。本文以5-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立位置反解模型進(jìn)行錨桿鉆機(jī)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。

1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)構(gòu)系統(tǒng)坐標(biāo)系的建立

如圖1所示，在5-SPS直線動(dòng)平臺(tái)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定平臺(tái)上建立定坐標(biāo)系O-XYZ(簡稱O坐標(biāo)系)，在直線動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz(簡稱P坐標(biāo)系)。定平臺(tái)上5個(gè)鉸鏈點(diǎn)中，第3個(gè)鉸鏈點(diǎn)S13位于O坐標(biāo)系Y軸正方向，其余4個(gè)鉸鏈點(diǎn)均勻分布在以坐標(biāo)系原點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓上，分布角為72°。直線動(dòng)平臺(tái)上第1個(gè)鉸鏈點(diǎn)S31至第5個(gè)鉸鏈點(diǎn)S35間隔均勻分布在P坐標(biāo)系x軸負(fù)方向，分布值為b/2,第5個(gè)鉸鏈點(diǎn)S35與P-xyz坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離為a。

P21～P25代表5個(gè)移動(dòng)副

P坐標(biāo)系相對(duì)于O坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

ORP=R(y,β1)R(z,β2)=

(1)

式中：β1、β2分別為末端輸出沿Y方向和Z方向轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)角。

1.2 機(jī)構(gòu)位置分析

該機(jī)構(gòu)的逆解可以簡單描述為：已知?jiǎng)悠脚_(tái)的空間位置和姿態(tài)，即給定動(dòng)平臺(tái)末端輸出點(diǎn)P的位姿(x，y，z，β1，β2)，求解該機(jī)構(gòu)的輸入量，即與定平臺(tái)相連接的該并聯(lián)機(jī)構(gòu)5個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的位移L1、L2、L3、L4、L5。機(jī)構(gòu)各鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)見表1。

表1 5-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)

OS3i在O坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

OS3i=ORP×PS3i+P

(2)

式中：P為P坐標(biāo)系的原心相對(duì)于O坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示，即輸出，P=[x,y,z]T。

對(duì)于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的5個(gè)驅(qū)動(dòng)桿，其桿長矢量為OS1iOS3i(i=1,2,3,4,5)。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置約束方程為：

(i=1,2,3,4,5)

(3)

給定該并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)a、b后，根據(jù)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由式(3)可求出該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解。

1.3 速度分析

對(duì)式(3)兩端求導(dǎo)，建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度方程，其矩陣形式為：

(4)

Jε、Jx的形式如下：

式中：

由式(4)可得速度方程為：

(5)

當(dāng)det(Jε)≠0和det(Jx)≠0時(shí)，Jε和Jx均為滿秩矩陣，此時(shí)Jε和Jx可逆。

(6)

式中：

1.4 加速度分析

對(duì)式(3)進(jìn)行二階求導(dǎo)，得：

(7)

式中：Hi為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的二階影響系數(shù)矩陣，為Hessian矩陣，是一個(gè)5層5行5列的五維立體矩陣，自上而下共分為5層，其中每個(gè)元素均為1×5的矩陣；J為雅克比矩陣。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析算例

取中間分布值b/2為162 mm，a為200 mm，定平臺(tái)外接圓半徑R為340 mm。設(shè)定機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)初始位置為P=(545，-134，920)T，驅(qū)動(dòng)函數(shù)為：

(8)

式中：t為時(shí)間變量，其取值范圍為0～10 s。

利用MATLAB編程，繪制各驅(qū)動(dòng)副位置、速度及加速度曲線(見圖2～4)。

圖2 驅(qū)動(dòng)副L1～L5的位移變化曲線

圖3 驅(qū)動(dòng)副L1～L5的速度變化曲線

圖4 驅(qū)動(dòng)副L1～L5的加速度變化曲線

通過ADAMS軟件對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，設(shè)定其運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)函數(shù)為：

(9)

式中：d為每秒轉(zhuǎn)的角度。

設(shè)置仿真時(shí)間為10 s，步數(shù)為200，在后處理中生成驅(qū)動(dòng)副L1～L5的位置、速度及加速度曲線(見圖5～7)。

圖5 驅(qū)動(dòng)副L1～L5的位移仿真曲線

圖6 驅(qū)動(dòng)副L1～L5的速度仿真曲線

圖7 驅(qū)動(dòng)副L1～L5的加速度仿真曲線

對(duì)比圖2～4和圖5～7，仿真分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果一致。根據(jù)上述逆向仿真結(jié)果，得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)曲線呈有規(guī)律的周期性變化，驅(qū)動(dòng)副L1～L5的運(yùn)動(dòng)變化平穩(wěn)，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有良好的逆向運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。

3 機(jī)構(gòu)奇異性分析

3.1 逆解奇異

矩陣Jε奇異而矩陣Jx非奇異，此時(shí)矩陣Jε行列式為零，矩陣Jx行列式不為零，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度增多，驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)沒有輸入，但動(dòng)平臺(tái)仍能運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)失控，此類奇異稱為逆解奇異。

求解矩陣Jε行列式為零需滿足的條件為L1、L2、L3、L4、L5的乘積為零，即矩陣對(duì)角線上的5個(gè)元素中至少需滿足其中一個(gè)為零。當(dāng)L1、L2、L3、L4、L5中任一個(gè)為零時(shí)，Jε行列式為零。

對(duì)于桿長L1、L2、L3、L4、L5，考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，由于伸縮桿的長度不可能為零，矩陣Jε和Jx行列式均不為零，不存在逆解奇異。

3.2 正解奇異

矩陣Jx奇異而矩陣Jε非奇異，此時(shí)矩陣Jε行列式不為零，矩陣Jx行列式為零，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度減少，機(jī)構(gòu)喪失某種功能，此類奇異稱為正解奇異。在MATLAB中編程，得出矩陣Jx的行列式分布(見圖8)。

圖8 Jx行列式分布

從圖8可以看出：Jx的行列式分布并沒有一個(gè)從零過渡的區(qū)間，不存在行列式為零的情況，Jx各行各列都不線性相關(guān)，矩陣Jx行列式不為零，并聯(lián)機(jī)構(gòu)不存在正解奇異。

3.3 混合奇異

矩陣Jε、Jx奇異，此時(shí)矩陣Jε和Jx行列式均為零，此為混合奇異。綜合以上分析，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)不存在混合奇異。

4 結(jié)論

本文利用空間位置矢量法構(gòu)建5-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，通過ADAMS仿真驗(yàn)證，所設(shè)計(jì)的理論模型與仿真模型正確、合理，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度變化較平穩(wěn)，具有較好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。求解該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣，并利用該矩陣對(duì)機(jī)構(gòu)奇異性進(jìn)行分析，結(jié)果表明該機(jī)構(gòu)不存在正解奇異、逆解奇異與混合奇異。