劉榮榮，陳永洪，杜 興，陳兵奎

(機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶大學(xué))，重慶 400044)

行星滾柱絲杠(Planetary roller screw mechanism，PRSM)在航空、航天、船舶、石化、電力、醫(yī)療機(jī)械等領(lǐng)域中具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]。嚙合特性研究方面，Jones、Fu等[4-5]建立了PRSM的嚙合模型并計(jì)算了嚙合點(diǎn)位置及嚙合間隙。喬冠等[6]建立了法截面內(nèi)零件的輪廓方程和滾道螺旋曲面方程，并討論了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)接觸特性的影響規(guī)律。Ma等[7]基于有限元的方法對(duì)嚙合特性進(jìn)行了研究。在承載特性研究方面，Lisowski等[8]建立了PRSM中各構(gòu)件間的載荷分布模型，并通過(guò)有限元方法對(duì)接觸區(qū)剛度進(jìn)行了分析。Aurégan等[9]利用有限元方法得出了絲杠-滾柱側(cè)嚙合的最大接觸應(yīng)力。Jones等[10]將絲杠等效成彈簧系統(tǒng)，利用直接剛度法，對(duì)PRSM的剛度及承載能力開(kāi)展了研究。楊家軍等[11]以Hertz彈性接觸理論為基礎(chǔ)，將滾柱作為整體并建立了剛度模型，得到了載荷分布曲線。劉柱等[12]建立了考慮裝配誤差的滾柱兩側(cè)螺紋牙載荷分布計(jì)算模型。

現(xiàn)有研究中，PRSM的絲杠和螺母螺紋牙截面輪廓通常為直線，滾柱的螺紋牙截面輪廓為凸圓弧，實(shí)際上牙型輪廓的設(shè)計(jì)對(duì)于PRSM的承載和壽命有著重要的影響。本文將絲杠和螺母的牙型輪廓設(shè)計(jì)為凹圓弧，滾柱牙型輪廓仍采用凸圓弧，形成凸-凹接觸，建立凸凹接觸式PRSM的嚙合模型和承載模型，并系統(tǒng)分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)嚙合點(diǎn)位置、軸向間隙和載荷分布的影響規(guī)律，將計(jì)算得出的接觸應(yīng)力分布與標(biāo)準(zhǔn)式進(jìn)行了對(duì)比。

1 空間嚙合模型的建立

根據(jù)PRSM的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了如圖1所示的空間嚙合坐標(biāo)系及構(gòu)件坐標(biāo)系。

(a)空間嚙合坐標(biāo)系

圖1(a)中，整體坐標(biāo)系O-XYZ的Z軸與絲杠的軸線重合，X軸穿過(guò)滾柱的軸線；絲杠坐標(biāo)系O-xsyszs、螺母坐標(biāo)系O-xnynzn的z軸和x軸與整體坐標(biāo)系O-XYZ的Z軸和X軸重合，滾柱坐標(biāo)系的O-xryrzr的zr軸與滾柱軸線重合，xr與X軸重合。

圖1(b)為構(gòu)件坐標(biāo)系o-xiyizi(i=s,r,n分別表示絲杠、滾柱和螺母)，點(diǎn)P為零件i螺旋曲面上的任意一點(diǎn)，則螺旋曲面的參數(shù)方程可以表示為

Qi=[rPcosθP,rPsinθP,Fi(rP,θP)]

(1)

式中：rP、θP為曲面坐標(biāo)，F(xiàn)i(rP,θP)是由曲面坐標(biāo)確定的螺旋曲面方程。

由圖1可得導(dǎo)程Li、螺旋角λi及中徑ri的關(guān)系：

Li=2πritanλi=niPi

(2)

式中：ni為頭數(shù)，Pi為螺距。

1.1 曲面方程

圖2為絲杠、滾柱及螺母的牙型輪廓圖，凸凹接觸式與標(biāo)準(zhǔn)式PRSM的絲杠、螺母有著不同的牙型輪廓，因此曲面方程也有所不同。

(a)絲杠在xsoszs面的牙型輪廓

1.1.1 絲杠的曲面方程

圖2(a)為絲杠在絲杠坐標(biāo)系xsoszs面中的牙型輪廓，設(shè)ose是絲杠圓弧的圓心，坐標(biāo)ose(xso,zso)與牙型角αs、半牙厚cs和絲杠圓弧半徑Rs的關(guān)系如下：

(3)

接觸線上任意一點(diǎn)(rPs,zs)滿足

(4)

最終得到絲杠螺旋曲面的曲面方程

θsLs/2π

(5)

式中：rPs、θs為絲杠螺旋曲面的參數(shù)坐標(biāo)；ρs=1表示上螺旋曲面ΠSU；ρs=-1表示下螺旋曲面ΠSB。

1.1.2 滾柱的曲面方程

圖2(b)是滾柱在滾柱坐標(biāo)系xrorzr面中的牙型輪廓，設(shè)ore是滾柱圓弧的圓心，坐標(biāo)ore(xro,zro)與牙型角αr、半牙厚cr和滾柱圓弧半徑Rr的關(guān)系如下：

(6)

接觸線上任意一點(diǎn)(rPr,zr)滿足

(7)

最終得到滾柱螺旋曲面的曲面方程

(8)

式中：rPr、θr是絲杠螺旋曲面的參數(shù)坐標(biāo)；ρr=1表示上螺旋曲面ΠRU；ρr=-1表示下螺旋曲面ΠRB。

1.1.3 螺母的曲面方程

圖2(c)為螺母在螺母坐標(biāo)系xnonzn面中的牙型輪廓，設(shè)one是螺母圓弧的圓心，坐標(biāo)one(xno,zno)與牙型角αn、半牙厚cn和絲杠圓弧半徑Rn的關(guān)系如下：

(9)

接觸線上任意一點(diǎn)(rPn,zn)滿足

(10)

最終得到螺母螺旋曲面的曲面方程

θnLn/2π

(11)

式中：rPn、θn為螺母螺旋曲面的參數(shù)坐標(biāo)，ρn=1表示上螺旋曲面ΠNU，ρn=-1表示下螺旋曲面ΠNB。

1.2 嚙合方程

PRSM要保持連續(xù)嚙合，要求兩嚙合曲面在傳動(dòng)過(guò)程中時(shí)刻處于相切接觸狀態(tài)，同時(shí)為了保證行星滾柱絲杠的正常裝配和運(yùn)動(dòng)的流暢性，各零件的螺紋之間通常具有一定的間隙[13]。圖3為PRSM在O-XYZ下兩嚙合曲面的相切接觸關(guān)系，圖中Π1和Π2為凸凹接觸的PRSM中兩個(gè)可能發(fā)生接觸的螺旋曲面，曲面Π2沿著向量Δ12=[0,0,e12]移動(dòng)后與曲面Π1在點(diǎn)O12處相接觸，e12即為兩螺旋曲面的軸向間隙。根據(jù)齒輪嚙合原理[14]，可以得到凸凹接觸式行星滾柱絲杠兩螺旋曲面的相切接觸條件：

(12)

式中μ12為常數(shù)。

由式(12)可得：

(13)

由式(13)可得PRSM在絲杠-滾柱側(cè)的嚙合方程為：

(14)

(15)

同理可以得到PRSM在絲杠-滾柱側(cè)的嚙合方程為：

(16)

(17)

當(dāng)ρi=1時(shí)，表示螺母下螺旋面和滾柱上螺旋面嚙合；ρi=-1時(shí)，表示螺母下螺旋面和滾柱上螺旋面嚙合。由式(17)可得具有5個(gè)未知數(shù)rn′、θn′、rr′、θr′和enr的5個(gè)獨(dú)立的非線性方程，可以求得螺母和滾柱的嚙合半徑與軸向間隙。

2 行星滾柱絲杠承載模型

2.1 赫茲接觸變形

凸凹接觸式PRSM的滾柱與絲杠和螺母之間仍為點(diǎn)接觸，只是由原來(lái)的平面-曲面接觸變?yōu)榱饲?曲面接觸，可以利用赫茲接觸理論進(jìn)行接觸分析和承載分析。對(duì)于凸凹接觸的PRSM，主曲率在滾柱與絲杠接觸側(cè)為：

(18)

主曲率在滾柱與螺母接觸側(cè)為：

(19)

式中：dm為PRSM滾柱公轉(zhuǎn)直徑，且dm=dr+ds。

以絲桿側(cè)為例，當(dāng)PRSM受負(fù)載作用后，滾柱與絲杠之間的點(diǎn)接觸發(fā)生彈性變形，瞬時(shí)接觸點(diǎn)會(huì)變成瞬時(shí)接觸橢圓，絲杠與滾柱接觸時(shí)的赫茲彈性變形量及嚙合區(qū)域的接觸應(yīng)力可以表示為

δs=Cs rFn2/3

(20)

(21)

長(zhǎng)短半軸a、b表示為[16]：

(22)

式中：Csr為絲杠與滾柱的赫茲接觸剛度，F(xiàn)n為法向接觸力，E為綜合彈性模量，∑ρ為主曲率和且∑ρ=ρ11+ρ12+ρ21+ρ22。

2.2 變形協(xié)調(diào)關(guān)系

PRSM受載后滾柱與絲杠之間產(chǎn)生的接觸力沿螺旋曲面法線方向，可分解為3個(gè)方向的分力，如圖4所示，根據(jù)單根滾柱軸向力受力平衡可得從m-1到m節(jié)螺紋牙滾柱受絲杠傳遞的力為

(23)

(24)

圖4 滾柱接觸點(diǎn)受力分解Fig.4 Force decomposition of roller contact point

PRSM在載荷的作用下，除存在絲杠和螺母與滾柱之間產(chǎn)生赫茲接觸變形、各軸段的軸向變形外，螺紋牙的變形也不可忽略。PRSM的螺紋牙變形主要包括螺紋牙彎曲變形σ1、螺紋牙剪切變形σ2、牙根傾斜導(dǎo)致的變形σ3、牙根剪切導(dǎo)致的變形σ4及螺紋牙徑向分力導(dǎo)致的變形σ5。

螺紋牙5種變形分別為[17]：

2ln(a/b))cot3α-4(h/a)tanα]

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：μ為材料的泊松比，a為螺紋牙牙底寬，b為螺紋牙牙厚，h為螺紋牙牙底高，D0為螺母外徑，dp為螺紋牙中徑，F(xiàn)r,i為第i節(jié)螺紋牙所受徑向分力且Fr,i=Fa,itanα，σ5n為螺母螺紋牙的變形，σ5s-r為絲杠或滾柱螺紋牙的變形。

(31)

(32)

式中：

(33)

式中：Es和Er為絲杠和滾柱的彈性模量;As和Ar為絲杠和滾柱的有效接觸面積，As=πds2/4，Ar=πdr2/4;ds為絲杠中徑;dr為滾柱中徑。

相鄰螺紋對(duì)在絲杠側(cè)形成的兩個(gè)接觸點(diǎn)e、f滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系。根據(jù)赫茲接觸變形、軸向變形與螺紋牙變形的變形協(xié)調(diào)關(guān)系可得

Ps+ΔS=Pr+ΔR

(34)

圖5 PRSM的變形協(xié)調(diào)關(guān)系Fig.5 Deformation coordinated relations of PRSM

由于Ps=Pr，因此式(36)可寫(xiě)為ΔS=ΔR，于是由式(22)～(34)可得PRSM絲杠側(cè)螺紋牙載荷分布公式為

(35)

式中：Fa-n.j為螺母第j節(jié)螺紋牙所受軸向力，KST為絲杠的螺紋牙變形剛度且KST=Fa/σs，KRST為滾柱的螺紋牙變形剛度且KRST=Fa/σsr，KSB為絲杠的軸向變形剛度，KRB為滾柱的軸向變形剛度。

3 行星滾柱絲杠嚙合與承載分析

3.1 嚙合分析

利用MATLAB并使用本文的計(jì)算方法對(duì)凸凹接觸的PRSM的接觸點(diǎn)位置和軸向間隙進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)分析牙型半角、螺距、滾柱等效球半徑及絲杠和螺母等效球半徑對(duì)接觸點(diǎn)位置和軸向間隙的影響。由于參數(shù)變化對(duì)滾柱-螺母?jìng)?cè)接觸點(diǎn)位置和軸向間隙影響很小，下面僅對(duì)絲杠-滾柱側(cè)進(jìn)行分析，分析使用的PRSM幾何參數(shù)見(jiàn)表1，其中滾柱數(shù)為10。

表1 PRSM幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of PRSM

3.1.1 牙側(cè)角α對(duì)嚙合性能的影響

牙側(cè)角是影響PRSM嚙合特性的重要因素，為探究牙型角對(duì)凸凹接觸的PRSM嚙合性能的影響，牙側(cè)角α在[30°，75°]內(nèi)取值，其他參數(shù)保持不變，螺距P=2.0 mm,滾柱凸圓弧半徑rre=rr/sinα，絲杠和螺母凹圓弧半徑rse=rne=1.10rre。牙側(cè)角對(duì)接觸點(diǎn)位置和軸向間隙的影響如圖6所示。

(a)牙側(cè)角α對(duì)接觸點(diǎn)位置的影響

3.1.2 螺距P對(duì)嚙合性能的影響

螺距P在[0.5 mm，3.0 mm]內(nèi)取值，其他參數(shù)保持不變，牙側(cè)角α=45°,滾柱凸圓弧半徑rre=rr/sinα，絲杠和螺母凹圓弧半徑rse=rne=1.10rre。螺距P對(duì)接觸點(diǎn)位置的影響如圖7所示。

圖7 螺距P對(duì)接觸點(diǎn)位置的影響Fig.7 Influence of pitch P on contact point position and axial clearance

3.1.3 滾柱凸圓弧半徑rre對(duì)嚙合性能的影響

滾柱凸圓弧半徑rre分別取3.0000、9.8995、20.0000、30.0000、40.0000、50.0000 mm，其他參數(shù)保持不變，牙型半角α=45°,螺距P=2.0 mm，絲杠和螺母凹圓弧半徑rse=rne=1.10rre。滾柱凸圓弧半徑rre對(duì)接觸位置和軸向間隙的影響如圖8所示。

(a)滾柱凸圓弧半徑rre對(duì)接觸點(diǎn)位置的影響

3.1.4 絲杠和螺母凹圓弧半徑rse、rne對(duì)嚙合性能的影響

分別取絲杠和螺母凹圓弧半徑rse=rne為rre、1.06rre、1.10rre、1.50rre、2.00rre、2.50rre、3.00rre，其他參數(shù)保持不變，牙側(cè)角α=45°,螺距P=2 mm，滾柱凸圓弧半徑rre=9.899 5 mm。絲杠和螺母凹圓弧半徑對(duì)接觸位置和軸向間隙的影響見(jiàn)圖9和圖10。

圖9 絲杠和螺母凹圓弧半徑對(duì)接觸點(diǎn)位置的影響Fig.9 Influence of concave arc radius of screwand nut on contact point position

圖10 絲杠和螺母凹圓弧半徑對(duì)軸向間隙的影響Fig.10 Influence of concave arc radii of screw and nut on axial clearance

由圖9和圖10可知，絲杠和螺母凹圓弧半徑取值對(duì)接觸點(diǎn)位置和軸向間隙幾乎沒(méi)有影響。

3.2 承載特性分析

由于行星滾柱絲杠牙型輪廓發(fā)生變化，主曲率將會(huì)發(fā)生變化，從而引起接觸應(yīng)力的變化。施加30 kN的軸向力對(duì)接觸應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，并討論牙側(cè)角、螺距和滾柱螺紋牙數(shù)對(duì)凸凹接觸的PRSM接觸應(yīng)力的影響，并對(duì)標(biāo)準(zhǔn)式和凸凹接觸的PRSM的接觸應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比。幾何參數(shù)見(jiàn)表1中的參數(shù)，且取螺距P=2 mm，牙側(cè)角α=45°，滾柱等效球半徑rre=rr/sinα，絲杠和螺母凹圓弧半徑為rse=rne=1.10rre。

3.2.1 牙側(cè)角α對(duì)承載性能的影響

牙側(cè)角是影響PRSM承載性能的重要因素之一，如圖11所示，隨著螺紋牙序號(hào)的增加，PRSM的接觸應(yīng)力逐漸減小，不同牙側(cè)角的接觸應(yīng)力的變化趨勢(shì)基本一致，隨著牙側(cè)角的增大，PRSM的接觸應(yīng)力逐漸增加，且增大趨勢(shì)越來(lái)越小。

圖11 牙側(cè)角對(duì)接觸應(yīng)力的影響Fig.11 Influence of flank angle on contact stress

3.2.2 螺距P對(duì)承載性能的影響

如圖12所示，隨著螺紋牙序號(hào)的增加，螺紋牙上的接觸應(yīng)力仍然逐漸減?。坏S著螺距的減小，前8顆螺紋牙上的接觸應(yīng)力逐漸減小，后12顆螺紋牙上的接觸應(yīng)力逐漸增大；螺距P=3.0 mm，λ=12.094 8°時(shí)，最大和最小應(yīng)力差為505.63 Mpa；螺距P=0.5 mm，λ=2.054 5°時(shí)，最大和最小應(yīng)力差為79.13 Mpa，可見(jiàn)螺距越小應(yīng)力分布越均勻。

圖12 螺距P對(duì)接觸應(yīng)力的影響Fig.12 Influence of pitch P on contact stress

3.2.3 滾柱螺紋牙數(shù)對(duì)承載性能的影響

滾柱螺紋牙數(shù)直接影響著PRSM的接觸應(yīng)力分布，如圖13。

圖13 滾柱螺紋牙數(shù)對(duì)接觸應(yīng)力的影響Fig.13 Influence of thread tooth number on contact stress

隨著螺紋牙序號(hào)的增加，PRSM的接觸應(yīng)力逐漸減小，隨總螺紋牙數(shù)一定程度地增加，每顆螺紋牙上的接觸應(yīng)力均會(huì)減小，但應(yīng)力分布不均的現(xiàn)象加劇，接觸應(yīng)力整體變化趨勢(shì)保持一致。

3.2.4 標(biāo)準(zhǔn)式和凸凹接觸的PRSM的接觸應(yīng)力對(duì)比

圖14為標(biāo)準(zhǔn)式和凸凹接觸式PRSM在絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)的接觸應(yīng)力對(duì)比?？梢钥闯?，標(biāo)準(zhǔn)式PRSM的接觸應(yīng)力在絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)應(yīng)力分布規(guī)律基本一致，但均大于凸凹接觸式PRSM的，當(dāng)絲杠和螺母牙型凹圓弧半徑為滾柱凸圓弧半徑的1.06倍時(shí)，凸凹接觸的PRSM最大接觸應(yīng)力較標(biāo)準(zhǔn)式的減小了1/2左右。隨著絲杠和螺母凹圓弧半徑的增大，兩側(cè)的接觸應(yīng)力也逐漸增大，對(duì)承載能力的提高就越不明顯，且圓弧半徑的增大可能會(huì)引起滑動(dòng)；絲杠和螺母圓弧半徑越小，雖然兩側(cè)的接觸應(yīng)力有明顯的降低，但絲杠和螺母圓弧半徑的減小將增加嚙合干涉和安裝困難的風(fēng)險(xiǎn)，因此絲杠和螺母要選擇合理的凹圓弧半徑。

(a)絲杠側(cè)接觸應(yīng)力對(duì)比

4 結(jié) 論

1)提出了一種凸凹接觸的PRSM，將絲杠和螺母的牙型輪廓設(shè)計(jì)為凹圓弧，建立了凸凹接觸式PRSM的空間嚙合模型和承載模型，系統(tǒng)分析了牙側(cè)角、螺距等結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其嚙合特性和承載特性的影響。

2)隨牙側(cè)角增大，絲杠和滾柱的接觸點(diǎn)將逐漸靠近絲杠和滾柱回轉(zhuǎn)中心連接線，且軸向間隙逐漸增大；隨螺距增大，其接觸點(diǎn)位置將遠(yuǎn)離絲杠和滾柱回轉(zhuǎn)中心連接線，且接觸點(diǎn)均在絲杠中徑附近；隨滾柱凸圓弧半徑增大，接觸點(diǎn)位置往絲杠牙根方向變化，軸向間隙逐漸減??；絲杠和螺母的凹圓弧半徑對(duì)接觸點(diǎn)位置和軸向間隙幾乎沒(méi)有影響。

3)凸凹接觸的PRSM承載能力隨牙側(cè)角的增大而減?。浑S螺距減小，前8顆螺紋牙上的接觸應(yīng)力逐漸減小，后面螺紋牙上的接觸應(yīng)力逐漸增大，且整體接觸應(yīng)力分布逐漸均勻；隨滾柱螺紋牙數(shù)一定程度地增加，每顆螺紋牙上的接觸應(yīng)力減小，但應(yīng)力分布不均現(xiàn)象加劇。

4)凸凹接觸的PRSM與標(biāo)準(zhǔn)式PRSM在滾柱螺紋牙上的接觸應(yīng)力分布規(guī)律基本一致，凸凹接觸式PRSM的滾柱在絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)的接觸應(yīng)力都有明顯降低，且隨絲杠和螺母的凹圓弧半徑的減小接觸應(yīng)力逐漸減?。坏珵楸ＷCPRSM的性能，絲杠和螺母要選擇合理的凹圓弧半徑。