寇 斌，郭士杰，任東城

(1.復(fù)旦大學(xué) 工程與應(yīng)用技術(shù)研究院，上海 200433；2.智能機(jī)器人教育部工程研究中心(復(fù)旦大學(xué))，上海 200433)

隨著工作環(huán)境的日益復(fù)雜，對(duì)于工業(yè)機(jī)器人的定位性能提出了更高的要求。通常使用工業(yè)機(jī)器人的重復(fù)定位精度和絕對(duì)定位精度來評(píng)價(jià)它的定位性能[1]。在實(shí)際的工業(yè)環(huán)境中，由于工業(yè)機(jī)器人連桿變形等自身因素引起的幾何誤差占定位誤差的90%，所以將其作為機(jī)器人定位誤差研究的重點(diǎn)。常用的補(bǔ)償法為軟件法[2-3]，補(bǔ)償通常分為誤差建模、數(shù)據(jù)測(cè)量、參數(shù)辨識(shí)、誤差補(bǔ)償4步。建立合適的誤差模型可以對(duì)工業(yè)機(jī)器人的幾何誤差進(jìn)行分析，常用的誤差模型有D-H模型[4]；誤差測(cè)量法可分為開環(huán)法、閉環(huán)法和軸線測(cè)量法，測(cè)量工具有三坐標(biāo)測(cè)量儀和激光測(cè)距儀[5]；誤差辨識(shí)法有最小二乘法，還有Levenberg-Marquardt算法[6-7]。隨著智能算法的高速發(fā)展，近年來許多學(xué)者對(duì)智能算法在機(jī)器人定位誤差的應(yīng)用進(jìn)行了探索。粒子群算法尤其受到學(xué)者青睞，Wang 等[8]將改進(jìn)粒子群算法用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)標(biāo)定中最佳位姿選擇，實(shí)驗(yàn)證明了提出算法的有效性。房立金等[9]針對(duì)并聯(lián)機(jī)器人與串聯(lián)機(jī)器人，提出一種通用的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法，通過量子粒子群算法進(jìn)行了誤差求解，最后實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性?？偨Y(jié)現(xiàn)有研究發(fā)現(xiàn)，工業(yè)機(jī)器人幾何誤差方程是一個(gè)高維的非線性方程，粒子群算法在求解過程中迭代所需要的粒子群數(shù)目較大，導(dǎo)致粒子群算法的迭代效率降低。但是工業(yè)機(jī)器人對(duì)速率的要求卻越來越高。

有學(xué)者指出，粒子群數(shù)目對(duì)于算法的迭代時(shí)間影響很大，受此啟發(fā)，本文首先對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的數(shù)目進(jìn)行線性遞減，同時(shí)由于粒子群算法迭代后期大多數(shù)粒子都聚集在最優(yōu)解附近，所以按照算法的迭代規(guī)律對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的速度更新公式進(jìn)行了更改，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，證明了所提算法在保證收斂精度同時(shí)大幅提高了運(yùn)算效率[10]。

1 幾何誤差參數(shù)標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型

1.1 DH模型建立

機(jī)器人常用的模型是DH模型，目前，DH模型已被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人中[11]，由DH模型可得到工業(yè)機(jī)器人相鄰連桿的轉(zhuǎn)換公式：

(1)

式中：ai為工業(yè)機(jī)器人第i個(gè)關(guān)節(jié)的連桿長度；θi為關(guān)節(jié)角；di為連桿偏距；αi為關(guān)節(jié)扭角,i=1，2，…，n,n為關(guān)節(jié)數(shù)目。機(jī)器人名義位姿為

(2)

式中：Rn∈R3×3為名義姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣，Pn∈R3×1為位置平移矩陣。同理，當(dāng)機(jī)器人的幾何參數(shù)存在誤差Δθi、Δdi、Δai、Δαi時(shí)，機(jī)器人的實(shí)際姿態(tài)可以表示為

(3)

令ΔP=Pr-Pn，ΔP=(δpx,δpy,δpz)T表示工業(yè)機(jī)器人實(shí)際位置與名義位置的誤差。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

(4)

式中：N為機(jī)器人誤差標(biāo)定點(diǎn)的數(shù)目，f是幾何參數(shù)誤差集(Δai,Δdi,Δαi,Δθi,)的函數(shù)，當(dāng)工業(yè)機(jī)器人處于不同的關(guān)節(jié)角位置時(shí)刻，獲取實(shí)際位置與名義位置的誤差，然后通過優(yōu)化算法求解(Δai,Δdi,Δαi,Δθi,)的真實(shí)值，進(jìn)而減小實(shí)際誤差。由于在D-H模型中，需要求解的參數(shù)有24個(gè)，屬于高維非線性方程求解問題，可以用仿生算法求解。

2 改進(jìn)粒子群算法的幾何參數(shù)標(biāo)定

將傳統(tǒng)的粒子群算法用于工業(yè)機(jī)器人的幾何誤差標(biāo)定耗時(shí)較長，因?yàn)楂@取工業(yè)機(jī)器人6個(gè)關(guān)節(jié)的幾何誤差參數(shù)多達(dá)24個(gè)，參數(shù)的求解屬于高維函數(shù)優(yōu)化問題。粒子群迭代求解的粒子數(shù)目較大，迭代所需時(shí)間較長，所以提出改進(jìn)算法。

粒子群的每個(gè)粒子代表問題的一個(gè)潛在解，標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法更新公式可表示為[12].

vij(t+1)=wvij(t)+c1r1(pij(t)-xij(t))+

c2r2(gij(t)-xij(t))

(5)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(6)

從時(shí)間復(fù)雜度的角度看，傳統(tǒng)PSO算法每一次迭代的粒子數(shù)目不變，假設(shè)每次迭代的粒子數(shù)目都是N，Max dt表示最大迭代次數(shù)，每一個(gè)粒子每次迭代需運(yùn)行時(shí)間為T，則傳統(tǒng)PSO算法的每次迭代需要的總時(shí)間為N*Max dt*T。在求解工業(yè)機(jī)器人的幾何參數(shù)標(biāo)定這種高維函數(shù)問題時(shí)，由于粒子群數(shù)目較大且持續(xù)不變，就會(huì)導(dǎo)致算法迭代時(shí)間較長,所以本文提出將粒子群的粒子數(shù)目進(jìn)行線性遞減:

N=round(Nmax-(t-1)*(Nmax-Nmin)/

(Max dt-1))

(7)

式中：Nmax為粒子數(shù)目最大值，Nmin為粒子數(shù)目最小值,Max dt為粒子設(shè)定的迭代次數(shù)，t為當(dāng)前的迭代次數(shù)。傳統(tǒng)粒子群算法中，隨著t的變化，粒子群中粒子的數(shù)目N=Nmax始終不變；而改進(jìn)粒子群算法中，當(dāng)t=1時(shí)，N=Nmax，當(dāng)t>1以后，每次迭代的粒子數(shù)目N逐漸線性遞減，則改進(jìn)粒子群算法迭代總時(shí)間為(Nmax+Nmin)/2*Max dt*T,由于(Nmax+Nmin)/2小于Nmax，所以改進(jìn)粒子群算法的整體迭代時(shí)間減少。

2.2 粒子群算法的分段迭代

2.2.1 DSPSO算法簡介

傳統(tǒng)粒子群算法早期收斂速度高，但是在算法后期，求解精度降低。李洪亮等[13]借鑒協(xié)同進(jìn)化算法思想，提出了改進(jìn)粒子群算法DSPSO。DSPSO算法將粒子群分為“開發(fā)者”與“探索者”，將標(biāo)準(zhǔn)的粒子群體更改為3個(gè)子群s1、s2和s3，采用不同的進(jìn)化方程為

(8)

(9)

(10)

其中子群體s2是開采者，它的搜索區(qū)域主要在當(dāng)前群體最優(yōu)位置的小范圍內(nèi)。

2.2.2 改進(jìn)的粒子群速度更新公式

在求解機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定的前期，粒子群速度迭代是采用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行迭代；而在改進(jìn)粒子群算法的粒子數(shù)目線性遞減后期，粒子群的粒子數(shù)目變少，同時(shí)大多數(shù)粒子聚集在最優(yōu)解附近。則受DSPSO算法中式(9)啟發(fā),采用式(11)進(jìn)行迭代,

(11)

同時(shí)按照Shi等[14]的研究，在算法后期對(duì)w取值為0.4，使得改進(jìn)粒子群算法在迭代后期更集中于最優(yōu)解附近的局部。

2.3 改進(jìn)粒子群算法幾何參數(shù)標(biāo)定流程

本文所提算法簡稱為基于兩段式的動(dòng)態(tài)粒子群算法(LDPSO-BT算法)，求解工業(yè)機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定流程為：

1)在工業(yè)機(jī)器人幾何參數(shù)誤差范圍內(nèi)對(duì)算法初始化。

2)按照式(4)求得粒子的個(gè)體適應(yīng)度值與全局適應(yīng)度值。

3)按照式(7)更新粒子群的數(shù)目，以便提高幾何參數(shù)標(biāo)定的迭代效率。

4)判斷當(dāng)前迭代次數(shù)t是否>K*Max dt，若否，則按照式(5)對(duì)粒子群速度進(jìn)行更新；否則，按照式(11)對(duì)粒子群速度進(jìn)行更新。

5)更新種群的個(gè)體與全局極值。

6)判斷是否滿足結(jié)束條件，若不滿足，則轉(zhuǎn)到第2步；若滿足，則結(jié)束，進(jìn)而獲取幾何參數(shù)誤差。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

3.1 位姿產(chǎn)生

采用庫卡(KUKA)機(jī)器人有限公司生產(chǎn)的KUKA KR5 arc機(jī)器人驗(yàn)證所提算法的有效性。KUKA KR5 arc 機(jī)器人DH模型參數(shù)見表1[11]。幾何參數(shù)誤差如表2。

表2 KR5 arc 機(jī)器人幾何參數(shù)誤差Tab.2 Geometric parameters errors of KR5 arc robot

在[-0.25,0.25](mm)和[-0.05,0.05](rad)區(qū)間范圍內(nèi)，隨機(jī)均勻產(chǎn)生30組理論關(guān)節(jié)角，將之前設(shè)定的幾何誤差加入到機(jī)器人的名義幾何參數(shù)中，代入式(3)中，同時(shí)通過式(2)求出理論關(guān)節(jié)角，再將30組關(guān)節(jié)誤差代入式(4)，便可得到相應(yīng)的適應(yīng)度值公式。

3.2 結(jié)果與討論

設(shè)定改進(jìn)的LDPSO-BT粒子群算法初始最大粒子數(shù)Nmax為240，最小粒子數(shù)Nmin為40，迭代次數(shù)Max dt為500，w1為0.8,w2為0.4，參數(shù)k為0.8，加速系數(shù)c1和c2都為1.49[15]。表3是傳統(tǒng)PSO和LDPSO-BT算法分別迭代10次的平均適應(yīng)度、最佳適應(yīng)度和平均耗時(shí)。圖1為兩種粒子群算法在Intel(R)Core(TM)i7-8550U主頻4.00 GHz計(jì)算機(jī)上采用Matlab9.1迭代500次的最佳收斂曲線圖。圖2是機(jī)器人標(biāo)定前沿X、Y、Z軸方向的末端位置誤差，圖3和圖4分別是工業(yè)機(jī)器人經(jīng)過傳統(tǒng)PSO算法和LDPSO-BT算法標(biāo)定后的沿X、Y、Z軸方向的末端位置誤差。

表3 LDPSO-BT和PSO實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 LDPSO-BT and PSO experiment results

圖1 進(jìn)化過程Fig.1 Evolution process

圖2 補(bǔ)償前位置誤差Fig.2 Errors before compensation

圖3 補(bǔ)償后位置誤差(PSO方法)Fig.3 Errors after compensation (PSO)

圖4 補(bǔ)償后位置誤差(LDPSO-BT方法)Fig.4 Errors after compensation (LDPSO-BT)

從表3中可以看出，與傳統(tǒng)PSO算法相比，LDPSO-BT算法平均適應(yīng)度與最佳適應(yīng)度都基本相差不大，但LDPSO-BT算法在確保收斂精度的同時(shí)，迭代時(shí)間減少了41.85%，可以有效地提高算法的迭代效率。

從圖1中可以看出，兩種粒子群算法的收斂趨勢(shì)相近，收斂精度也相當(dāng)。

從圖2中可以看出，在標(biāo)定前，X、Y、Z軸的最大誤差絕對(duì)值分別為47.1、51.8、52.8 mm。由圖3可知，經(jīng)過傳統(tǒng)PSO算法標(biāo)定后，X、Y、Z軸的最大誤差絕對(duì)值降低為0.14、0.13、0.10 mm。從圖4中可以看出，經(jīng)過LDPSO-BT算法標(biāo)定后，X、Y、Z軸的最大誤差絕對(duì)值降低為0.18、0.18、0.15 mm，可見經(jīng)過標(biāo)定后，傳統(tǒng)PSO算法和LDPSO-BT算法均可大幅減小沿X、Y、Z軸方向的末端位置誤差，同時(shí)LDPSO-BT擁有更高的收斂速度。

4 結(jié) 語

1)本文提出了一種新的LDPSO-BT算法，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的迭代規(guī)律，對(duì)粒子群數(shù)目進(jìn)行線性遞減，同時(shí)在算法后期，使用改進(jìn)的速度迭代公式進(jìn)行迭代，仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提算法可以大幅提升工業(yè)機(jī)器人的定位精度，同時(shí)具備高效、快速的優(yōu)勢(shì)。

2)工業(yè)機(jī)器人末端定位誤差主要由于其幾何連桿參數(shù)誤差引起，通過辨識(shí)出實(shí)際的幾何連桿參數(shù)值，可以大幅提高工業(yè)機(jī)器人定位精度。

3)本文的研究為工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)提供了新的思路，適用于工業(yè)機(jī)器人離線或者在線動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識(shí)，但還需要進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證本文所提算法在實(shí)際動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)的效果。