張俊峰 柳軍

（1.臨泉縣第三中學(xué)，安徽 阜陽 236400；2.臨泉縣教育局教研室，安徽 阜陽 236400）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022 年版）》）指出：注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，設(shè)計生動的教學(xué)活動，提供豐富的學(xué)習(xí)資源，促進教學(xué)方式方法的變革。教師可以利用信息技術(shù)數(shù)學(xué)專用軟件開展數(shù)學(xué)實驗，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)。在實際問題解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2017 年版）》）也強調(diào)：注重信息技術(shù)運用，實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用信息技術(shù)，是時代發(fā)展的必然要求，不以人的意志為轉(zhuǎn)移。教師必須改變自己的教學(xué)行為，把提高信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合水平作為專業(yè)化發(fā)展的必由之路。本文從幾何畫板的功能簡介、直觀想象的內(nèi)涵理解、直觀想象的案例研究出發(fā)，提出信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)融合的一些思考。

一、幾何畫板的功能簡介

幾何畫板（The Geometer's Sketchpad）軟件，是美國Key Curriculum Press 公司研發(fā)的優(yōu)秀教育軟件，它的全名是“幾何畫板—21 世紀(jì)的動態(tài)幾何”。1996 年，該公司授權(quán)人民教育出版社發(fā)行該軟件的中文版，同年，全國中小學(xué)計算機教育研究中心開始大力推廣“幾何畫板軟件”。該軟件具有強大的幾何繪圖、測量與計算、構(gòu)圖與變換、函數(shù)作圖與分析等功能，能夠把隱藏的數(shù)學(xué)關(guān)系顯性化，把抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化，把靜態(tài)的圖形動態(tài)化，使學(xué)生在一種直觀、動態(tài)的情境中觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象和關(guān)系的變化，體會探索數(shù)學(xué)規(guī)律和奧秘的藝術(shù)享受。

二、直觀想象的內(nèi)涵理解

（一）直觀想象的內(nèi)涵

《課標(biāo)（2017 年版）》把“直觀想象”描述為：“借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)?！彼c其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)密切聯(lián)系。對于“幾何直觀”，徐利治教授認為它是一種感知，即借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知[1]?？追舱?、史寧中教授則認為幾何直觀屬于能力范疇，即借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進行直接感知、整體把握的能力[2]?！翱臻g想象”則是以人們以已有的事物表象為基礎(chǔ)，對該事物的幾何表象進行加工、改造，甚至創(chuàng)造新的形象。二者既有區(qū)別，也有密切的聯(lián)系，即幾何直觀為空間想象提供了認識基礎(chǔ)，空間想象直接為幾何直觀和由之向整體把握的發(fā)展提供了方法[3]。因此，直觀想象并非幾何直觀與空間想象的簡單相加，而是二者的一種有機整合，即直觀想象素養(yǎng)作用在學(xué)生身上所表現(xiàn)出來的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。

關(guān)于初中階段的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)，《課標(biāo)（2022 年版）》已經(jīng)明確指出，它對應(yīng)著“幾何直觀”和“空間觀念”。因此，初中階段培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，實質(zhì)上就是發(fā)展學(xué)生的“幾何直觀”與“空間觀念”。

（二）直觀想象的內(nèi)容領(lǐng)域

“直觀想象”素養(yǎng)的適用領(lǐng)域，基本涵蓋初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計、綜合與實踐）的各個模塊。

在“數(shù)與代數(shù)”模塊，基于數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特征，建構(gòu)相應(yīng)的幾何模型；或依據(jù)幾何模型的特征，想象相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)；把數(shù)與式的特征、大小與相互關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何圖形的形狀、大小與位置關(guān)系。比如由“平方差公式”“完全平方差”的代數(shù)結(jié)構(gòu)，聯(lián)想、構(gòu)建幾何圖形，借助幾何直觀理解公式，了解公式的幾何意義。再比如依托數(shù)軸建立數(shù)（實數(shù)）與形（點）之間的聯(lián)系；借助數(shù)軸直觀、形象地描述絕對值的幾何意義、不等式的解集；借助平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)“有序數(shù)對”與點的內(nèi)在統(tǒng)一；由函數(shù)解析式畫出相應(yīng)函數(shù)的圖像利用函數(shù)的圖像研究它的性質(zhì)等，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與空間觀念。

在“圖形與幾何”模塊，借助圖形直觀，運用觀察、思考、實驗、猜想、證明等思維活動方式，探索圖形的性質(zhì)和運動變化規(guī)律等。

在“概率與統(tǒng)計”模塊，利用計算機從數(shù)據(jù)庫中獲得數(shù)據(jù)，繪制合適的統(tǒng)計圖（表），根據(jù)統(tǒng)計圖（表）描述和分析問題；也可以利用計算機的隨機模擬結(jié)果，幫助學(xué)生更好地理解隨機事件以及隨機事件發(fā)生的概率等。

在“綜合與實踐”模塊，借助幾何直觀與空間觀念，解決實際（或綜合性）問題，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。

三、直觀想象的案例研究

基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、思維水平，以發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)為導(dǎo)向，依托幾何畫板教學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)合適的課堂教學(xué)情境與問題，引領(lǐng)學(xué)生積極主動參與數(shù)學(xué)知識的獲取過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與直觀想象素養(yǎng)。以此思想為指導(dǎo)，舉以下三個案例作示范。

案例1：探索角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)是滬科版數(shù)學(xué)八年級上冊第15 章第4 節(jié)第2 課時的內(nèi)容（第1 課時內(nèi)容是尺規(guī)法畫“角平分線”和“過一點畫垂線”），教材因篇幅所限僅給出一個“思考”，然后呈現(xiàn)性質(zhì)的證明過程，進而歸納性質(zhì)定理。之后，通過“思考”性質(zhì)定理的逆命題得到判定定理。筆者以為“角的平分線”與“線段的垂直平分線”類似，“性質(zhì)的探索與發(fā)現(xiàn)”是教學(xué)的重點，同時也是難點。從知識邏輯看，“尺規(guī)法”作出的角平分線是性質(zhì)探索的起點，以“尺規(guī)法”得到的圖形為背景材料探究性質(zhì)，能體現(xiàn)知識的自然延伸和發(fā)展。從學(xué)生思維的視角看，“怎么想到研究角平分線上的點到角兩邊的距離”“怎樣能體現(xiàn)角平分線上點的任意性”是學(xué)生的疑點。因此，通過數(shù)學(xué)實驗讓學(xué)生經(jīng)歷定理的形成過程，理解“角平分線上點的任意性”和“到角兩邊距離相等”的含義，是加深定理理解和應(yīng)用的關(guān)鍵。教學(xué)時可做如下設(shè)計：

活動1：任意畫一個角，并用“尺規(guī)法”作出這個角的平分線如（圖1）。

活動2：（以圖1 為背景材料提出問題）若已知OC=OD,OP是∠AOB的平分線，PC與PD相等嗎？為什么？若點P是∠AOB的平分線上任意點，上述結(jié)論還成立嗎？由此，你能得到什么結(jié)論？（待學(xué)生思考交流后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫板進行數(shù)學(xué)實驗。即在幾何畫板中度量出PC與PD的長度，鼠標(biāo)拖動點P在角平分線上移動，觀察PC與PD長度的變化，歸納結(jié)論）

活動3：活動2 說明“角平分線上任意點到角兩邊的特殊點（滿足OC=OD的點）的距離（兩點間的距離）相等”，如果把這里的“距離”改為“點P到角兩邊OA與OB的距離（點到直線的距離），即從點P分別向OA、OB作垂線，設(shè)垂足為點C、D，那么PC，PD的長度還相等嗎？引導(dǎo)學(xué)進行如下實驗：

步驟1：在角平分線上任意取一點，從這個點向角兩邊作垂線，通過度量、折疊的方法，猜想：這個點到角兩邊的距離有何關(guān)系？

步驟2：在幾何畫板中，構(gòu)造出∠AOB的平分線OM和任意點P，從點P向角的兩邊構(gòu)造垂線（設(shè)垂足分別為點C、D）（圖2），度量出PC、PD的長。然后讓學(xué)生用鼠標(biāo)拖動點P移動，觀察PC、PD的長有何變化？再改變∠AOB度數(shù)的大小，重復(fù)上述操作，有什么發(fā)現(xiàn)？驗證“步驟1”的猜想，抽象結(jié)論。

活動4：證明猜想（略）。

案例2：探究函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象與參數(shù)的關(guān)系

對于函數(shù)性質(zhì)的研究，利用圖象在運動變化中進行觀察是基本方法。然而，課堂觀察發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，大多的教師通常是要求學(xué)生用“描點法”作出有限的幾個特殊函數(shù)的圖象（或教師自己先作好圖象），然后讓學(xué)生觀察圖象得到性質(zhì)。在這樣的教學(xué)環(huán)境下，學(xué)生對于為什么要畫這幾個函數(shù)的圖象，為什么這幾個函數(shù)的圖象可以代表一般，都是不得而知的。在信息技術(shù)環(huán)境下，教師利用幾何畫板強大的構(gòu)圖和圖形變換功能，使隱蔽的函數(shù)特征得到顯示，呈現(xiàn)“特殊到一般”的研究問題的過程，從而延伸學(xué)生的視角，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)?；诖怂伎?，可做如下設(shè)計：

活動1：請給出幾組特殊值，用描點法畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象特征，猜想函數(shù)的圖象與參數(shù)的關(guān)系。

活動2：實驗。

步驟1：引導(dǎo)學(xué)生運用幾何畫板“繪圖”工具，新建參數(shù)a,b,c，再新建函數(shù)y=ax2+bx+c，得到圖3。

步驟2：請學(xué)生任意改變參數(shù)a的值，其他參數(shù)值不變，觀察圖象的變化規(guī)律。然后再請學(xué)生操作（按Shift+“加號鍵”或“減號鍵”），使參數(shù)a的值逐漸增大或減小，感受取任意值時圖象的變化規(guī)律，歸納性質(zhì)。（同樣，改變參數(shù)b，c的值，觀察圖象的變化規(guī)律（見圖4）

步驟3：由上述操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=0，b≠0時，二次函數(shù)的圖象變?yōu)橐粭l直線，解析式化為一次函數(shù)。按照上述方式操作，分別改變b，c的值，可以探究一次函數(shù)的圖象與參數(shù)的關(guān)系。

案例3：精準(zhǔn)構(gòu)圖，發(fā)展直觀想象

北師大版數(shù)學(xué)選修2-1“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)，教材設(shè)計了一個“拉鏈試驗”，意在通過操作實驗畫出雙曲線模型，發(fā)現(xiàn)雙曲線的幾何特征，歸納定義。教材設(shè)計過程符合圓錐曲線概念生成的一般路徑。然而，雖然此試驗設(shè)計的理想是“豐滿”的，但現(xiàn)實卻是“骨感”的。如在一次省優(yōu)質(zhì)課課堂展示中，教師請兩位同學(xué)利用自制的畫圖工具合作畫雙曲線，然而嘗試了三次都沒能成功，第四次才勉強畫出圖形，此時圖形已經(jīng)看不出雙曲線的“模樣”了。雖然讓學(xué)生動手操作實驗，能夠積累畫雙曲線的活動經(jīng)驗，然而對于初次學(xué)習(xí)雙曲線的學(xué)生來說并不是很好的經(jīng)歷。基于上述思考，可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和研究思路，然后類比橢圓定義提出問題：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之差為常數(shù)的點的軌跡是什么呢？”讓學(xué)生思考，嘗試畫圖、猜想結(jié)論。接著利用幾何畫板模擬“拉鏈試驗”（見圖5），并度量計算出拉鏈上的點到兩定點的差，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)拉鏈在打開與閉合時它們的“差”是否發(fā)生改變。通過幾何畫板演示，直觀、形象、精準(zhǔn)地呈現(xiàn)雙曲線的動態(tài)生成過程，進而發(fā)現(xiàn)雙曲線的幾何特征，水到渠成地得到雙曲線的概念，使數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)自然落地。

四、兩點思考

（一）信息技術(shù)的運用應(yīng)遵循數(shù)學(xué)學(xué)科整合原則

現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。例如借助幾何畫板的“可視化”，能夠為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)背景，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問題提供直觀感受，引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源等。但是，我們要做到真正地理解技術(shù)，理解信息技術(shù)只是服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的手段；理解技術(shù)不能改變數(shù)學(xué)教學(xué)的性質(zhì)和規(guī)律，不能被用來代替基本的數(shù)學(xué)活動，更不能期望依賴信息技術(shù)創(chuàng)造數(shù)學(xué)教育的奇跡；理解信息技術(shù)的使用不是要替代傳統(tǒng)的教學(xué)工具，而是要發(fā)揮信息技術(shù)的功能，做傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)不能做或做得不太好的事情。因此，對信息技術(shù)的運用要把握好“度”，即要遵循“必要性”“平衡性”“實踐性”“實用性”“廣泛性”原則[4]。對于有些教學(xué)內(nèi)容，使用技術(shù)有利于學(xué)生更好地理解，我們就使用；而有些內(nèi)容不需要使用，我們也不要勉強。要認清信息技術(shù)“輔助手段”的角色，不能喧賓奪主，為了使用而使用。畢竟數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，學(xué)生思維能力的培養(yǎng)還要靠獨立思考與自主探究，更離不開數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，這些都是信息技術(shù)所不能獨立完成的。

（二）信息技術(shù)的運用應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生發(fā)展為本理念

《課標(biāo)（2017 年版）》指出：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)課程融入信息技術(shù)的初衷也是如此。而信息技術(shù)作為一種功能強大的教學(xué)軟件，在培育學(xué)生的信息素養(yǎng)、幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)方面起著獨特的作用。只有清楚了這一點，我們的教學(xué)才不會“跑偏”。由于數(shù)學(xué)的高度抽象性、數(shù)學(xué)概念聯(lián)系的廣泛性和復(fù)雜性等，這就使得有些教學(xué)內(nèi)容利用傳統(tǒng)的教學(xué)手段學(xué)生往往很難理解，或不易操作。而信息技術(shù)所具有的“形象化”“多元聯(lián)系表示”“連續(xù)性”等功能恰好可以很好地彌補這一缺憾。同時，信息技術(shù)可以推動數(shù)學(xué)實驗，嘗試模擬，提出猜想等非形式化的、具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動，使得形象思維與抽象邏輯思維相得益彰，促進“學(xué)生發(fā)展為本”理念的有效落實。