鮑吳兵 謝恩東

(安慶市第一中學(xué) 安徽 安慶 246003)

1 多人追逐問(wèn)題

【例1】(第38屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第13題) 6個(gè)小朋友在操場(chǎng)上玩追逐游戲.開(kāi)始時(shí)，6個(gè)小朋友兩兩間距離相等，構(gòu)成一正六邊形.然后每個(gè)小朋友均以不變的速率v追趕前面的小朋友(即小朋友1追2，2追3，3追4，4追5，5追6，6追1)，在此過(guò)程中，每個(gè)小朋友的運(yùn)動(dòng)方向總是指向其前方的小朋友.已知某一時(shí)刻t0=0，相鄰兩個(gè)小朋友的距離為l，如圖1所示.試問(wèn)：

圖1 例1題圖

(1)從t0時(shí)刻開(kāi)始，又經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后面的小朋友可追到前面的小朋友？

(2)從t0時(shí)刻開(kāi)始，直至追上前面的小朋友，每個(gè)小朋友又跑了多少路程？

(3)在t0時(shí)刻，每個(gè)小朋友的加速度大小是多少？

以上問(wèn)題中物體B始終正對(duì)物體A以一定速率追逐A，由于物體B的運(yùn)動(dòng)取決于物體A的位置，這類問(wèn)題通常比較復(fù)雜，很難用方程直接表述B的軌跡，我們可用電腦軟件輔助處理，但有些軟件專業(yè)要求較高[1]，令多數(shù)教師望而卻步.GeoGebra軟件是一款動(dòng)態(tài)幾何軟件，其“向量”功能可很好地表達(dá)上述問(wèn)題中的“物體B始終正對(duì)物體A”的速度方向問(wèn)題，下面以任意N個(gè)質(zhì)點(diǎn)為例，介紹GeoGebra軟件如何實(shí)現(xiàn)“追逐之路”.

2 用GeoGebra軟件描繪軌跡

如圖2所示，有N(N≥ 3)個(gè)人P1，P2，…，PN，分別位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正N邊形的各頂點(diǎn)上，這N個(gè)人從某時(shí)刻開(kāi)始按逆時(shí)針依次追擊，即P1追P2，P2追P3，…，PN-1追PN.

圖2 人的初始位置

(1)引入變量.用滑動(dòng)條N表示人的數(shù)量，滑動(dòng)條v表示人的速度大小，滑動(dòng)條t表示時(shí)間；

(2)描點(diǎn).標(biāo)出坐標(biāo)原點(diǎn)O，描點(diǎn)P1表示人，指令欄輸入：P_2=旋轉(zhuǎn)(P_1, (360°)/N,O)，用正多邊形工具作出過(guò)點(diǎn)P1和P2各點(diǎn)的正N邊形，作圖過(guò)程與效果如圖3所示；

圖3 作圖過(guò)程與效果

(3)設(shè)置速度.在指令欄輸入：?jiǎn)挝幌蛄?向量(P_1,P_2))，得到P1追P2方向上的單位向量u，u是輔助對(duì)象可隱藏，再輸入：向量(P_1,P_1 + 0.3vu)，得到的向量w能動(dòng)態(tài)顯示速度大小、方向的變化；

(4)設(shè)置運(yùn)動(dòng).在滑動(dòng)條t的腳本區(qū)輸入代碼：賦值(P_1,P_1+0.01vu)，如圖4所示，此代碼表示在時(shí)間t更新時(shí)P1的位置會(huì)按設(shè)定的速度變化，啟動(dòng)滑動(dòng)條t的動(dòng)畫(huà)就可看到相互追逐的運(yùn)動(dòng)；

圖4 腳本代碼

(5)顯示軌跡.隱藏不必要對(duì)象，設(shè)置對(duì)象的相關(guān)屬性，并顯示點(diǎn)的軌跡，就可得到追逐路徑，如圖5和圖6所示.

圖5 3人追逐

圖6 6人追逐

3 拓展應(yīng)用

按以上方法還可以實(shí)現(xiàn)多種追逐問(wèn)題的軌跡，圖7是速度較小的物體B追逐速度較大的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體A的部分軌跡.由于物體B速度較小，不可能追上物體A，經(jīng)足夠長(zhǎng)時(shí)間后物體B將做半徑較小的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖8所示.圖9是模擬導(dǎo)彈的攔截過(guò)程，速度較小的導(dǎo)彈A(視為斜拋)被速度較大的導(dǎo)彈B擊中.

圖7 追逐圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

圖8 追逐圓周運(yùn)動(dòng)的終態(tài)

圖9 導(dǎo)彈的攔截過(guò)程