元瑤 高麗宇 樂(lè)露露 谷程鵬 廖湘萍

(湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 湖南 株洲 412007)

王詩(shī)龍

(株洲市第八中學(xué) 湖南 株洲 412000)

1 引言

在物理學(xué)習(xí)過(guò)程中，常常會(huì)遇到一個(gè)物理現(xiàn)象向另一個(gè)物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)變時(shí)，存在一個(gè)分界現(xiàn)象，通常將物體這時(shí)所處的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)[1].帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題是高中物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).

從思維邏輯的角度分析，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，運(yùn)動(dòng)軌跡隨著磁場(chǎng)大小、粒子的入射速度、入射方向的改變而改變，再加上有界磁場(chǎng)下粒子運(yùn)動(dòng)的臨界條件的限制，學(xué)生需要有較強(qiáng)的邏輯思維能力和較好的空間想象力才能得出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，并繪制出滿足臨界條件的運(yùn)動(dòng)軌跡.

從數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用角度分析，此考點(diǎn)的難點(diǎn)在于，帶電粒子進(jìn)入設(shè)定的有界磁場(chǎng)后只運(yùn)動(dòng)一段圓弧就飛出磁場(chǎng)邊界，其軌跡不是完整的圓[2].學(xué)生除了需要掌握如何求得洛倫茲力的大小，還需要能根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)找到軌跡圓的圓心，求得軌跡圓的半徑，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平有一定的要求.

利用GeoGebra對(duì)帶電粒子進(jìn)行軌跡追蹤，使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)宛然如目，大大降低學(xué)生理解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律的難度，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)滿足臨界條件的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡.同時(shí)能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理模型的理解與運(yùn)用，提高學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)問(wèn)題的理解能力，培養(yǎng)其由簡(jiǎn)入難掌握此類(lèi)問(wèn)題的要領(lǐng)和處理此類(lèi)問(wèn)題的能力[3].

筆者以“帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題”習(xí)題教學(xué)為例，將抽象帶電粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程以動(dòng)態(tài)的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，高效地幫助學(xué)生理解物理過(guò)程、構(gòu)建物理模型，提升學(xué)生將抽象問(wèn)題形象化的能力.

2 習(xí)題可視化教學(xué)設(shè)計(jì)思路

有界磁場(chǎng)臨界問(wèn)題的臨界條件通常以限定詞的方式給出.如“恰好射出”“運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)”“垂直某邊界射出”“平行某邊界射出”“與水平方向呈某角度射出”等.教師需要幫助學(xué)生完成物理情景的再現(xiàn)，感受粒子軌跡動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，并根據(jù)臨界條件，找到符合要求的軌跡，最后結(jié)合數(shù)學(xué)幾何關(guān)系和相關(guān)物理知識(shí)解題.習(xí)題教學(xué)的設(shè)計(jì)思路如圖1所示.

圖1 教學(xué)設(shè)計(jì)思路圖

3 雙直線邊界磁場(chǎng)臨界問(wèn)題

【例1】?jī)蓧K長(zhǎng)為L(zhǎng)，相距L的板間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一電荷量為-q，質(zhì)量為m的帶電粒子以速度v0從兩板中間R點(diǎn)處平行于板射入，若使粒子最終可飛出磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍.

讀題:學(xué)生讀題可得到磁場(chǎng)為垂直紙面向里的雙邊界磁場(chǎng)，帶負(fù)電的粒子在R點(diǎn)處平行于板以速度v0射入.問(wèn)粒子能射出磁場(chǎng)時(shí)B的取值范圍.

軌跡動(dòng)態(tài)模擬:學(xué)生根據(jù)“左手定則”判斷出粒子的偏轉(zhuǎn)方向，并且推測(cè)當(dāng)B值發(fā)生改變時(shí)，粒子軌跡會(huì)呈現(xiàn)怎樣的變化.之后，教師運(yùn)用GeoGebra展示帶電粒子在磁場(chǎng)中的軌跡隨磁場(chǎng)大小變化而變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程,如圖2所示.

圖2 軌跡動(dòng)態(tài)變化圖

確定臨界軌跡:學(xué)生通過(guò)對(duì)粒子軌跡動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的觀察可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B值增大時(shí)射出點(diǎn)向下移動(dòng)，當(dāng)B值減小時(shí)射出點(diǎn)向上移動(dòng).當(dāng)軌跡與磁場(chǎng)下邊界最右端B點(diǎn)相交時(shí)便是臨界狀態(tài).

圖3 臨界狀態(tài)軌跡圖

提取數(shù)學(xué)模型:如圖4所示，線段RB是完整軌跡圓的弦.根據(jù)幾何關(guān)系，圓心應(yīng)是RB的中垂線與速度方向垂線的交點(diǎn).

圖4 臨界軌跡數(shù)學(xué)模型圖

數(shù)理結(jié)合求解:根據(jù)幾何關(guān)系可知

(1)

由洛倫茲力提供向心力可知

(2)

4 矩形磁場(chǎng)臨界問(wèn)題

【例2】如圖5所示，長(zhǎng)寬分別為d和2d的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)，存在大小為B的垂直矩形面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng).若在AB邊中點(diǎn)處，可發(fā)射如圖5所示沿AB方向和垂直于AB方向不同速率的粒子.粒子質(zhì)量為m，電荷量為+q，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用力.分別求出從CD，BC，AD，AB邊射出時(shí)粒子的速率取值范圍.

圖5 矩形磁場(chǎng)示意圖

讀題：學(xué)生讀題可得到的信息為:已知長(zhǎng)和寬的垂直向里的矩形磁場(chǎng)，帶電荷量為+q的粒子在AB中點(diǎn)可沿垂直AB和平行AB兩個(gè)方向射入磁場(chǎng).求從各邊界射出時(shí)粒子速率的取值范圍.

軌跡動(dòng)態(tài)模擬：學(xué)生根據(jù)“左手定則”判斷由兩個(gè)方向射入的粒子的軌跡偏轉(zhuǎn)方向，并推測(cè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡隨速度大小變化而變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程.之后，教師用GeoGebra展示速度變化時(shí)粒子軌跡的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.

(a)平行AB射入

(b)垂直AB射入

確定臨界軌跡：如圖6所示，學(xué)生在觀察軌跡動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中可發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)方向射出的粒子，其射出點(diǎn)都隨速度的增大朝順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng).只有沿AB射入的粒子才可能打到BC邊界上，臨界狀態(tài)是恰好打到C點(diǎn).只有垂直AB射入的粒子才可能打到AD邊界上，臨界狀態(tài)是粒子恰好打到A點(diǎn)和恰好打到D點(diǎn).只有垂直AB射入的粒子才能打到AB邊界上，臨界狀態(tài)是粒子恰好打到A點(diǎn).兩方向射入的粒子都可能從CD邊界射出，若粒子沿AB方向射入，臨界狀態(tài)是粒子恰好打到C點(diǎn)和軌跡圓剛好與CD相切.若粒子垂直于AB方向射入，臨界狀態(tài)是粒子恰好打在D點(diǎn).不同臨界狀態(tài)軌跡如圖7所示.

(a)粒子恰好打到C點(diǎn)

(b)粒子恰好與DC邊相切

(c)粒子恰好打到D點(diǎn)

提取數(shù)學(xué)模型：確定粒子恰好打到C，D，A點(diǎn)和軌跡與DC相切時(shí)的情況，利用GeoGebra提取臨界軌跡和邊界組合成的數(shù)學(xué)圖形,如圖8所示.

(a)粒子恰好打到C點(diǎn)

(b)粒子恰好與DC邊相切

(c)粒子恰好打到D點(diǎn)

(d)粒子恰好打到A點(diǎn)

由洛倫茲力提供向心力

(3)

解得

結(jié)合射出點(diǎn)隨速度大小變化的規(guī)律可得：當(dāng)粒子垂直于AB射入，若

3.2.3 長(zhǎng)期炎癥 創(chuàng)面大、組織損傷重、局部血液循環(huán)差是導(dǎo)致慢性骨髓炎的重要原因。長(zhǎng)期炎癥刺激可引起局部皮膚惡變、貧血、低蛋白血癥。長(zhǎng)期臥床導(dǎo)致肌肉萎縮、關(guān)節(jié)僵硬、功能喪失，最終在治療上陷于困境、心理上失去信心，導(dǎo)致截肢。

則粒子從AB邊射出；若

則粒子從AD射出；若

則粒子從CD射出；當(dāng)粒子沿AB方向射入，若

則粒子可從BC射出；若

則粒子從CD射出.

5 三角形邊界磁場(chǎng)臨界問(wèn)題

【例3】在等腰直角三角形ACB中有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng).若質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子垂直AC方向以速度v射入磁場(chǎng)，且垂直CB射出時(shí)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng).不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，求AC的邊長(zhǎng)、粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間.

讀題:學(xué)生通過(guò)讀題可得到的信息為等腰直角三角形且垂直向外的磁場(chǎng)、帶電荷量+q的粒子垂直AC射入、垂直CB射出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng).求AC長(zhǎng)度、粒子運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間.

軌跡動(dòng)態(tài)模擬:學(xué)生根據(jù)“左手定則”判斷出粒子軌跡的偏轉(zhuǎn)方向，推測(cè)粒子射點(diǎn)在AC上變化時(shí)其軌跡的變化.之后，教師利用GeoGebra向?qū)W生展示入射點(diǎn)改變時(shí)軌跡的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，如圖9所示.

圖9 不同入射點(diǎn)的粒子軌跡圖

圖10 臨界狀態(tài)的粒子軌跡圖

提取數(shù)學(xué)模型:臨界軌跡與AB相切，連接圓心O與切點(diǎn)P，則有OP⊥AB，如圖11所示.

圖11 臨界軌跡數(shù)學(xué)模型圖

數(shù)理結(jié)合求解:由幾何關(guān)系可知

ACsin45°=r

(4)

由洛倫茲力提供向心力

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)可得

由

(6)

因?yàn)閳A心角為90°，所以

6 圓型邊界磁場(chǎng)臨界問(wèn)題

【例4】有一個(gè)半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里.AC為圓的直徑，O為圓心.當(dāng)帶正電的粒子以速度v與AC呈45°從C點(diǎn)射入時(shí)，恰好從A點(diǎn)沿水平方向射出.不計(jì)重力，求該粒子的比荷、軌跡圓的半徑、粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

讀題:學(xué)生讀題可知,半徑已知的垂直向里的圓形磁場(chǎng),帶正電粒子以速度v與AC呈45°射入，水平方向射出，求比荷、軌跡圓半徑和在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

軌跡動(dòng)態(tài)模擬:學(xué)生根據(jù)“左手定則”判斷粒子的軌跡偏轉(zhuǎn)方向，并推測(cè)改變粒子的入射速度，粒子軌跡將如何變化.之后，教師用GeoGebra模擬軌跡隨速度變化的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,如圖12所示.

圖12 不同速度下粒子的動(dòng)態(tài)軌跡圖

確定臨界軌跡:在動(dòng)態(tài)變化的軌跡中發(fā)現(xiàn)以45°角入射時(shí)射出點(diǎn)隨v增大沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，但在A點(diǎn)水平射出的軌跡只有一條,如圖13所示.

圖13 臨界狀態(tài)軌跡圖

抽離數(shù)學(xué)模型:作出粒子射入方向和射出方向的垂線，交點(diǎn)G為軌跡圓圓心,如圖14所示.

圖14 臨界軌跡數(shù)學(xué)模型圖

數(shù)理結(jié)合求解:由幾何關(guān)系可知圓心角為90°.軌跡半徑r與磁場(chǎng)半徑R的關(guān)系為

(7)

由洛倫茲力提供向心力

(8)

聯(lián)立式(7)、(8)可得

由

(9)

因?yàn)閳A心角為90°，所以

7 結(jié)束語(yǔ)

利用GeoGebra軟件強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)畫(huà)板功能，將帶電粒子在雙直線邊界磁場(chǎng)、矩形磁場(chǎng)、三角形邊界磁場(chǎng)和圓型邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡可視化，幫助學(xué)生完成物理情景的再現(xiàn)，感受粒子軌跡動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，降低習(xí)題教學(xué)中學(xué)生的理解難度.同時(shí)，運(yùn)用GeoGebra的幾何功能，將數(shù)學(xué)與物理緊密結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理思維使其能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題.