袁新娣，陳 睿

(贛南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

倒立擺是一種典型的復(fù)雜控制系統(tǒng)，具有非線性、多變量、強(qiáng)耦合和自然不穩(wěn)定的特點[1].許多工業(yè)工程和軍事工程中的運動控制系統(tǒng)，其控制思想和方法均來自于倒立擺的控制機(jī)理，例如，工業(yè)機(jī)器人行走的平衡控制、海洋鉆井系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，火箭發(fā)生器的垂直控制等等[2]，所以倒立擺的控制一直是一個經(jīng)典的控制實例，在控制原理課程中，經(jīng)常以倒立擺為控制對象對控制算法進(jìn)行學(xué)習(xí).但是倒立擺控制系統(tǒng)體積大、體重也大，不適合將設(shè)備搬到課堂進(jìn)行講解演示，學(xué)生學(xué)習(xí)或者設(shè)計控制算法時如果每次都要到實驗室測試，也將帶來很多的不方便.為了方便師生的教與學(xué)，有較多的文獻(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析與設(shè)計，文獻(xiàn)[3]設(shè)計實現(xiàn)線性二級倒立擺基于MATLAB/GUI仿真，但文獻(xiàn)對仿真方法描述籠統(tǒng)，仿真結(jié)果也不清晰，GUI界面設(shè)計不夠直觀等不足；文獻(xiàn)[4]對環(huán)形倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用三維建模軟件進(jìn)行建模，然后應(yīng)用MATLAB/SIMULINK進(jìn)行仿真分析，文獻(xiàn)[5]中對單級倒立擺根據(jù)物理原理建模，然后基于建立的模型應(yīng)用MATLAB/SIMULINK進(jìn)行仿真控制分析，大部分介紹倒立擺仿真控制的文獻(xiàn)都是使用MATLAB/SIMULINK工具進(jìn)行，MATLAB/SIMULINK工具的使用需要對該MATLAB熟練掌握，其直觀性不夠，對初學(xué)控制原理知識的同學(xué)，掌握該工具比較困難.所以，本文首先根據(jù)一級小車倒立擺的物理原理建立數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用MATLAB軟件的GUI工具設(shè)計一個方便直觀的倒立擺仿真控制軟件，通過該軟件可以修改倒立擺系統(tǒng)參數(shù)，選擇控制算法，觀察運行效果等功能，對學(xué)習(xí)控制原理帶來了較好的幫助.

2 倒立擺數(shù)學(xué)模型

為了對倒立擺進(jìn)行控制仿真，首先必須建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型，本文以如圖1所示的小車倒立擺為例進(jìn)行分析，長度為2l、質(zhì)量為m的擺竿通過鉸鏈安裝在質(zhì)量為M的小車上面，小車由直流電機(jī)驅(qū)動，如果不給小車驅(qū)動力，倒立擺將向左或向右倒下，即系統(tǒng)不穩(wěn)定.如果在水平方向給小車施加控制力u,控制小車在水平方向移動，那么倒立擺將保持在垂直位置上不倒下[6].

圖1 一階小車倒立擺示意圖

設(shè)小車瞬時位置為z，擺桿偏角度為θ，則擺心瞬時位置為(z+lsinθ)，當(dāng)忽略擺桿與電機(jī)慣性、各類摩擦力及風(fēng)力的情況下，根據(jù)牛頓第二定律得式(1).

(1)

由于繞擺軸旋轉(zhuǎn)運動的慣性力矩與重力矩平衡，所以式(2)成立.

(2)

(3)

(4)

聯(lián)立式(3)式(4)解得式(5).

(5)

(6)

其中

式中g(shù)是重力加速度，取值9.81.為了分析系統(tǒng)的能控性與能觀性，假設(shè)系統(tǒng)的M=1kg,m=0.5kg,l=0.3m,計算能控性判斷矩陣[B,AB,A2B,A3B]的秩等于4，能觀測性判斷矩陣[C,CA,CA2,CA3]T的秩等于4，所以系統(tǒng)具有完全能觀性和完全能控制性.

3 倒立擺控制GUI仿真軟件設(shè)計框架

使用MATLAB的GUI控件工具相，建立如圖2所示的仿真軟件前面板界面，界面上包含倒立擺運行時的擺桿的角度變化及小車位移變化隨時間變化的坐標(biāo)，倒立擺參數(shù)設(shè)置，倒立擺的二維動畫，控制方式選擇，算法參數(shù)設(shè)置等模塊.用戶可以在界面右下角任意設(shè)置小車倒立擺的參數(shù)，然后在控制方式模塊的下拉菜單中選擇控制算法，右下角設(shè)置完成算法中的參數(shù)，點擊“確定”按鈕時系統(tǒng)將讀取用戶輸入的信息，進(jìn)行仿真，并把仿真的結(jié)果顯示在界面左邊的坐標(biāo)軸上，同時右上角顯示小車移動的二維動畫效果圖.本軟件設(shè)計了倒立擺常用的3種控制算法：極點配置算法，線性二次型最優(yōu)控制算法，PID控制算法.

圖2 GUI仿真軟件前面板

3.1 倒立擺極點配置控制算法仿真設(shè)計

極點配置控制算法的基本原理是：當(dāng)被控系統(tǒng)滿足完全能控條件時，將系統(tǒng)的狀態(tài)信息反饋到系統(tǒng)的輸入端，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點成為用戶要求的極點.由前面倒立擺數(shù)學(xué)模型分析可知，一級倒立擺系統(tǒng)完全能控，所以可以通過調(diào)節(jié)反饋參數(shù)達(dá)到極點任意配置的目的.本軟件應(yīng)用全狀態(tài)反饋方法進(jìn)行極點配置，即從系統(tǒng)的4個狀態(tài)處設(shè)置增益為[k1,k2,k3,k4]的負(fù)反饋(以公式(5)為系統(tǒng)狀態(tài)空間描述，系統(tǒng)的輸出就是系統(tǒng)的狀態(tài))，系統(tǒng)的希望極點從圖2所示仿真平臺右下角輸入， GUI回調(diào)函數(shù)中計算負(fù)反饋增益[k1,k2,k3,k4]的指令為：

Qc=ctrb(A,B);

j1= str2double(get(handles.edit15, 'String'));% 從前面板讀取極點1

j2= str2double(get(handles.edit16, 'String'));% 從前面板讀取極點2

j3= str2double(get(handles.edit17, 'String'));% 從前面板讀取極點3

j4= str2double(get(handles.edit18, 'String'));% 從前面板讀取極點4

EA=diag([j1,j2,j3,j4]);

PP=polyvalm(poly(EA),A);

Ks=[0 0 0 1]*inv(Qc)*PP; %計算反饋矩陣增益

[t,x,y]=sim('ploeandlqr.mdl') %通過調(diào)用siumlink文件形成輸出信號.

sim()函數(shù)調(diào)用的程序ploeandlqr.mdl如圖3所示.點擊平臺的“確認(rèn)”按鈕后，平臺運行如圖4所示，

圖3 ploeandlqr.mdl程序 圖4 選擇極點配置算法后運行的界面

可見在階躍信號作用下，當(dāng)極點配置為-10、-10、-1+j、-1-j時，桿的偏移角在5秒后恢復(fù)到零，穩(wěn)定后小車位移為-0.16 m.

3.2 倒立擺的線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計

線性二次型最優(yōu)控制，就是設(shè)計最優(yōu)控制率u*(t)，使得式(7)表示的性能指標(biāo)J最小.

(7)

式中Q(t) 是n*n維正定(或者半正定)對稱矩陣，R(t)是r*r對稱矩陣，x(t)是系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)是系統(tǒng)輸入.同時，最優(yōu)控制規(guī)律是一個狀態(tài)線性反饋規(guī)律，控制向量u*(t)由狀態(tài)向量x(t)反饋生成，并且呈線性關(guān)系.在MATLAB中利用LQR指令可以方便的獲取系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋系數(shù).本軟件從GUI前面板界面輸入?yún)?shù)Q(t)和R(t)，回調(diào)函數(shù)使用如下指令獲取線性二次型最優(yōu)控制的反饋系數(shù)：

R= str2double(get(handles.edit28, 'String'));%獲取R(t)

Q= str2num(get(handles.edit30, 'String'));%獲取Q(t)

Ks=lqr(A,B,Q,R); %計算反饋矩陣增益

[t,x,y]=sim('ploeandlqr.mdl'); %通過sim函數(shù)調(diào)用仿真程序

Sim()調(diào)用的程序ploeandlqr.mdl如圖3所示，GUI運行的結(jié)果如圖5所示，可見在階躍信號作用下，當(dāng)R(t)=0.5，Q(t)=[100 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 100 0; 0 0 0 1]時，擺桿的偏移角在4 s后恢復(fù)到零，穩(wěn)定后小車位移為-0.07 m.當(dāng)改變Q與R的值時系統(tǒng)的輸出將發(fā)生變化.

圖5 選擇線性二次型最優(yōu)控制算法后運行的界面

3.3 倒立擺的PID控制設(shè)計

PID(Proportion Integration Differentiation)控制規(guī)律如式(8)所示，

(8)

式中m(t)是控制器的輸出，e(t)是控制器的輸入.算法主要通過調(diào)整比例環(huán)節(jié)系數(shù)Kp，積分環(huán)節(jié)系數(shù)KI及微分環(huán)節(jié)系數(shù)KD三個參數(shù)，使得被控制系統(tǒng)達(dá)到預(yù)定的性能指標(biāo).

PID控制器可以作用于系統(tǒng)的前向通道，也可以作用于系統(tǒng)的反饋通道，本軟件將PID用于反饋通道，并且結(jié)合期望極點配置的反饋系數(shù)控制倒立擺的性能指標(biāo).回調(diào)函數(shù)實現(xiàn)PID控制的指令主要為：

p=[-10,-7,-1.901,-1.9];%設(shè)置極點

Kpid=place(A,B,p); %反饋系數(shù)

KP=str2double(get(handles.edit19, 'String'));%獲取KP

KI=str2double(get(handles.edit20, 'String'));% 獲取KI

KD=str2double(get(handles.edit21, 'String'));% 獲取KD

[t,x,y]=sim('pidkz.mdl'); %調(diào)用simulink仿真程序

Sim()函數(shù)調(diào)用的程序pidkz.mdl如圖6所示，軟件運行結(jié)構(gòu)如圖7所示，可見在階躍信號作用下，當(dāng)KP=18，KI=0.001，KD=1時，擺桿的偏移角在4 s后恢復(fù)到零，穩(wěn)定后小車位移為-0.017 m.

圖6 pidkz.mdl程序 圖7 選擇PID控制算法后運行的界面

4 總結(jié)

本文首先分析了倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，確定其具有完全能觀性與完全能控性，然后通過Matlab 的GUI工具箱建立軟件的前面板，GUI文件通過調(diào)用回調(diào)函數(shù)實現(xiàn)了前面板輸入相關(guān)參數(shù)，后臺執(zhí)行程序，然后又將執(zhí)行結(jié)果顯示在前面板的效果.設(shè)計的GUI仿真軟件為控制原理的學(xué)習(xí)帶來了形象、直觀的效果，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.另一方面，本設(shè)計可以在現(xiàn)有設(shè)計框架下進(jìn)行拓展，增加倒立擺的其他控制算法，比如滑?？刂?、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制等，為學(xué)習(xí)更多的算法提供便利.