謝飛平，張 榮

(贛南師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

1 引言

在很多科學領(lǐng)域,我們都會遇到病態(tài)問題的數(shù)學模型.熟知的病態(tài)問題有：X射線層析成像,圖像和信號處理,熱傳導,參數(shù)識別,模式識別,逆散射等.在病態(tài)問題中,第一類Fredholm積分方程[1]是其非常重要的類型之一.早期的求解病態(tài)問題的重要方法,是Tikhonov的選擇法[2]和Ivanov的擬解法[3-4].為了克服選擇法和擬解法的缺陷,Phillips和Tikhonov于20世紀70年代分別獨立提出了求解病態(tài)問題的穩(wěn)定方法：正則化方法[3,5].其中Tikhonov于1963年提出的Tikhonov正則化方法的基本思想是利用具體問題的某些附加信息對不適定問題解的概念重新定義,進而引進穩(wěn)定泛函,構(gòu)造展平泛函,通過求展平泛函的極小點來給出原問題的近似解的一種穩(wěn)定的方法.除了Tikhonov正則化方法之外,常用的正則化方法還有：Lavrentiev正則化方法[6-8],Landweber迭代法[9-11],共軛梯度法[12-15]等.

1991年,Hanke在文獻[7]提出半迭代法作為正則化方法.1995年,Plato在文獻[16]給出求解線性病態(tài)方程的迭代法和參數(shù)法,1996年在文獻[17]分析偏差原理下各種迭代法和參數(shù)法的收斂率及數(shù)值實驗效果.2008年,Chen在文獻[18]討論一個快速多尺度Galerkin法求解病態(tài)問題,得到先驗參數(shù)選擇和偏差原理下近似解的最優(yōu)收斂率.2011年,Luo在文獻[19]中基于最優(yōu)投影方法,構(gòu)造求解病態(tài)積分方程的截斷快速Tikhonov迭代算法,與傳統(tǒng)的算法相比,得到了相同的收斂率,但減少了內(nèi)積個數(shù).2011年,Luo在文獻[19]提出一種迭代的Tikhonov正則化方法求解病態(tài)問題,并用數(shù)值實驗說明該方法的有效性和可行性.隨著病態(tài)問題的深入研究,出現(xiàn)了越來越多的正則化方法.理論分析和實驗表明,正則化近似解的收斂速度與正則化方法和正則化參數(shù)選取策略有關(guān).2015年,Luo在文獻[20]提出Richardson迭代正則化方法求解第一類Fredholm積分方程.

本文第2節(jié)基于Tikhonov正則化和Levrentiev正則化方法,針對具有高光滑性的病態(tài)問題提出了一種新的正則化方法;第3節(jié)分析了該方法所得近似解的收斂性;第4節(jié)證明了偏差原理下的收斂率.

2 Tikhonov-Lavrentiev正則化方法

在本節(jié)中,我們提出一種新的方法求解病態(tài)問題,并說明了這種新方法的正則化性質(zhì).

考慮的病態(tài)問題的一般形式如下：

Kx=y,

(1)

(αI+(αI+K)2)x=(αI+K)y.

(2)

根據(jù)奇異系統(tǒng)(μj,xj,xj),可得

(3)

定義1一族有界線性算子R∶X→X,α>0稱為方程(1)的正則化算子.如果它滿足

(4)

對所有的x∈X成立,α稱為正則化參數(shù).顯然,

根據(jù)文獻[21]的定理3.2.1,我們有下面的結(jié)論.

引理1設緊線性算子的奇異系統(tǒng)是(μj,xj,xj),函數(shù)q(α,μ)∶(0,∞)×(0,‖K‖]→R,滿足下列性質(zhì)：

則有下列結(jié)論：

A.算子

是一個正則化算子,且有估計‖Rα‖≤c(α)；

B.如果取α=α(δ)在α→0,δc(α(δ))→0,則α=α(δ)是允許的取法.

3 收斂性分析

在本節(jié)中,我們分析所提正則化方法(2)在不同情況下的收斂性.

在實際中,雖然右端項y只能測得其擾動值yδ,但是可知擾動值的偏差范圍為δ,即

‖y-yδ‖≤δ.

(5)

事實上,我們求解的病態(tài)方程為Kx=yδ.因此,含有擾動的正則化方程為

(6)

(7)

4 偏差原理

(8)

接下來,給出下面的迭代停止準則.

--------------------------------------------------------------------------------------------算法1(偏差原理)

(9)

--------------------------------------------------------------------------------------------

(10)

由插值不等式：‖Astz‖≤C‖ASz‖t‖z‖1-s,z∈X(其中00,C>0),推得