汪紅旭，郭驍，石堯，謝磊*

(1.黃岡大別山發(fā)電有限責(zé)任公司，麻城 438304；2.浙江大學(xué)，杭州 310027)

0 引言

從工程熱力學(xué)角度看待，超臨界狀態(tài)指將水的臨界狀態(tài)點參數(shù)定義為22.115Mpa和374.15℃，即一旦水的狀態(tài)達(dá)到或者超出該參數(shù)，則不會存在飽和水和飽和蒸汽間的汽水共存二相區(qū)。在火力發(fā)電過程中使用超臨界機組，其主蒸汽壓力一般為24Mpa，可以避免汽包的使用，發(fā)電效率一般為41%，高于常規(guī)亞臨界機組對應(yīng)的38%發(fā)電效率[1]。因此，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步與電力工業(yè)的不斷發(fā)展，可以確定日后在新增大規(guī)?；痣姍C組中使用發(fā)電效果更佳的超臨界機組將會成為必然的選擇。

對于大規(guī)模超臨界火力發(fā)電機組來說，系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制至關(guān)重要，對于單元機組的良好協(xié)調(diào)控制可以保障機組安全、穩(wěn)定運行[2]。然而，超臨界機組是一個多輸入多輸出的復(fù)雜對象，其非線性特征明顯，且具備相對較大的慣性與延遲，因此，使用傳統(tǒng)控制手段實現(xiàn)超臨界火電機組控制極為困難，需要開發(fā)實施可以應(yīng)用的先進(jìn)控制策略來滿足系統(tǒng)控制的要求。

模型預(yù)測控制技術(shù)（MPC），作為近幾十年來極具代表性的先進(jìn)控制算法[3]，主要由三大基本模塊構(gòu)成，即預(yù)測模型、反饋校正以及滾動優(yōu)化。MPC相較于傳統(tǒng)比例積分最為顯著的特點在于其可以處理約束，而且其在應(yīng)對多輸入多輸出系統(tǒng)的控制效果更佳[4]。MPC在每個控制周期預(yù)測未來動作，并計算最優(yōu)的操作變量增量，從而實現(xiàn)未來行為的優(yōu)化。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，MPC已經(jīng)獲得了大量工程行業(yè)的認(rèn)可，包括能源[5]、航空航天工程[6]、和汽車工業(yè)[7]等領(lǐng)域。由于MPC的良好控制效果以及超臨界機組的自身特性，MPC可以在超臨界機組中使用以實現(xiàn)對于超臨界機組的協(xié)調(diào)控制。

超臨界機組對于MPC算法的應(yīng)用同樣提出了部分要求，為了保障機組運行，在應(yīng)用MPC算法的過程中，火電機組對控制的時效性極為關(guān)注，需要確保在系統(tǒng)的采樣間隔內(nèi)，快速地計算獲得滿足約束的MPC解，從而避免安全事故的發(fā)生。為了提高M(jìn)PC的在線計算速度，國內(nèi)外已經(jīng)有眾多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，且根據(jù)其遠(yuǎn)離主要可以分為兩大類：其一是對 MPC 算法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)從而簡化在線計算，其中最具代表性的方法名為顯示控制算法。顯示控制算法由Bemporad[8]在2002年提出，主要分為離線計算與在線優(yōu)化兩個部分。在線運行前首先需要進(jìn)行離線的操作，對狀態(tài)空間進(jìn)行適當(dāng)劃分，隨后依次對每個子空間設(shè)計線性控制律，因此，在線計算時即可以直接調(diào)用各個子空間的控制率，從而避免在線計算。然而，一個較為明顯的缺點是，狀態(tài)分區(qū)的大小與控制律的計算會隨系統(tǒng)控制問題規(guī)模的增大隨之呈現(xiàn)指數(shù)增長，這會對存儲量提出極大挑戰(zhàn)。第二類算法則是開發(fā)更為高效的優(yōu)化問題求解策略從而提高在線求解速度，目前主要為有效集算法[9]、內(nèi)點法[10]以及他們的衍生算法如：不可行有效集法[11]，對偶有效集法[12]、懲罰函數(shù)內(nèi)點算法[13]等等。

本文為超臨界機組提出了一種快速模型預(yù)測控制算法，從而實現(xiàn)對超臨界機組這個多輸入多輸出系統(tǒng)的良好控制。首先通過對超臨界機組的機理分析，并獲得了單元機組的機理模型。隨后通過推導(dǎo)獲得了機組在工作點處的線性模型，以便于MPC的實施?？紤]到形成的MPC優(yōu)化問題黑塞矩陣的不變性，離線進(jìn)行SVD分解以提取特征信息，便于從無約束最優(yōu)解中選取滿足約束的次優(yōu)解。最后，通過使用MATLAB，對超臨界機組中應(yīng)用快速MPC算法進(jìn)行仿真以檢驗控制效果，并通過其與MATLAB內(nèi)置的內(nèi)點法計算函數(shù)進(jìn)行比較以檢測所提算法的快速性與合理性。

1 超臨界機組控制模型

1.1 非線性機理模型建立

通常情況下，超臨界直流鍋爐的制粉系統(tǒng)采用直吹式方案：首先在磨煤機中將煤磨制成煤粉，研磨好的煤粉通過一次風(fēng)機產(chǎn)生的風(fēng)被吹送到爐膛中進(jìn)行燃燒。從整個機組的動態(tài)特性而言，直吹式制粉系統(tǒng)主要影響其延遲與慣性，下面將分別對二者進(jìn)行公式描述。

直吹式制粉系統(tǒng)純延遲環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)給煤機中煤的傳送時間與管道中煤粉在一次風(fēng)作用下的輸送時間，則通過將這些純延遲環(huán)節(jié)相加，可以得到：

其中，r'm代表實際煤量，rm表示給煤機煤量，τ為傳送延遲時間，通常情況下，延遲時間通常為15s到35s左右。

此外，給定進(jìn)入鍋爐的煤粉量r0與磨內(nèi)存煤量M時，制粉系統(tǒng)慣性環(huán)節(jié)的平衡公式可以用下式表示

該慣性環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)磨煤機細(xì)粉分離器中的分離過程。

煤粉量可以根據(jù)磨煤機特性獲得：

其中，磨的出力系數(shù)用符號kb表示，煤的可磨性的修正系數(shù)為符號fh，fw代指煤的水分修正系數(shù)，fr則表示煤粉的細(xì)度修正系數(shù)。

為了構(gòu)建汽水分離器的動態(tài)模型，我們通過對其壓力關(guān)系進(jìn)行分析。首先，使用如下的公式：

用以描述水冷壁的傳熱過程。其中，Qi為爐膛煙氣與水的交換熱量，Q0為爐膛煙氣與金屬的交換熱量，Cm表示金屬的蓄熱系數(shù)。

在給定t1管壁平均溫度與t0金屬管平均溫度，金屬與水的換熱系數(shù)λ1，考慮如下的換熱模型：

則將其帶入可以得到

對于過熱區(qū)模型，在本文中，為了簡化起見，假定吸入熱量等同于增加氣體的體積流量。對于理想氣體，給定氣體比熱c，m為氣體的質(zhì)量。其吸熱量dQ有：

過熱區(qū)中差壓與流量的關(guān)系為：

將體積流量與熱量的關(guān)系代入上式并進(jìn)行積分可以得到差壓與流量及熱量的關(guān)系：

使用一個擬合系數(shù)n可以將上式近似簡化為：

n通常取1.3～1.5，根據(jù)不同機組的運行數(shù)據(jù)其取值也會隨之改變。

對于汽輪機，其將熱能轉(zhuǎn)化為機械能，隨之將機械能轉(zhuǎn)移到發(fā)電機中，并通過發(fā)電機切割磁力線產(chǎn)生電能。相對于鍋爐的化學(xué)燃料燃燒過程，汽輪機中能量轉(zhuǎn)化非常迅速，因此其動態(tài)過程很快。

考慮如下汽輪機的進(jìn)氣量方程

其中，μt代表汽輪機調(diào)門開度，機前壓力pt，ts為過熱蒸汽溫度。此外，機組輸出功率與調(diào)節(jié)壓力之間關(guān)系為：

其中NE表示輸出功率，p1為調(diào)節(jié)壓力。

1.2 工作點線性化模型

上一節(jié)已經(jīng)通過機理分析得到了超臨界機組非線性模型，工程上，往往采用通過在非線性模型工作點進(jìn)行線性化的方法獲得超臨界機組的線性控制模型。根據(jù)所搭建的機理方程，確定模型輸入為燃料指令μB與汽輪機調(diào)門開度μT，模型輸出為機組功率輸出NE與機前壓力pT。推導(dǎo)獲得超臨界機組傳遞函數(shù)模型如下：

其中：

2 模型預(yù)測控制基礎(chǔ)

給定x(k)∈Rnx和u(k)∈Rnu，分別為k時刻的系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入變量，則可以假定系統(tǒng)由如下所示的線性模型系統(tǒng)表示：

在得到模型后，可以使用模型預(yù)測控制方法對系統(tǒng)進(jìn)行良好控制。為了實施MPC，首先需要確定其目標(biāo)函數(shù)。本文假定預(yù)測時域和控制時域相同，均為NP，則模型預(yù)測控制的目標(biāo)函數(shù)選取如下：

其中Q和R為正定對角矩陣：

分別是有限時域下的預(yù)測狀態(tài)集合和輸入集合，

根據(jù)模型(18)進(jìn)行遞推，可以得到如下預(yù)測狀態(tài)與輸入之間的關(guān)系作為模型預(yù)測控制的基礎(chǔ)：

通過將預(yù)測狀態(tài)與輸入之間的關(guān)系(22)代入到目標(biāo)函數(shù)(19)中，原目標(biāo)函數(shù)可以消除預(yù)測狀態(tài)，并用如下的只包含預(yù)測輸入的函數(shù)表示：其中H=(FTQF+R)，M=(FTQEx(k))T。CONSTANT表示一個與無關(guān)的常數(shù)。

3 快速模型預(yù)測控制方法

3.1 無約束情況

值得一提的是，在工程上，通常情況下，在經(jīng)過辨識后已經(jīng)得到了系統(tǒng)的工作點附近模型后，系統(tǒng)在工作點附近運行時，使用模型預(yù)測控制算法往往不對模型進(jìn)行修改。通過觀察式(22)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)模型不改變時，F(xiàn)矩陣在預(yù)測過程中保持不變。此外，如果在MPC上線運行前固定好權(quán)重系數(shù)Q和R，且在計算過程中不對其做更改，則同時可以通過推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)MPC目標(biāo)函數(shù)(19)中的Hessian矩陣H保持不變。

根據(jù)上述觀察以及推導(dǎo)得到的信息，下面進(jìn)行基于奇異值分解的快速MPC方法的簡要介紹。首先計算Hessian矩陣H的共軛向量集P，P滿足：

其中P是Hessian矩陣的SVD分解得到的共軛矩陣，σi是Hessian矩陣的特征值且滿足：

通過使用P，對輸入進(jìn)行線性變化，可以將輸入投影到一個新的空間：

此時，原目標(biāo)函數(shù)(19)可以通過使用式(26)轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的共軛空間形式：

當(dāng)MPC運行過程中不存在約束的情況下，上述共軛空間目標(biāo)函數(shù)(11)的最優(yōu)無約束解可以直接通過下面的等式獲得：

此時，可以緊接著使用式(28)便捷地從共軛空間解獲得實際空間中的無約束最優(yōu)解。

3.2 有約束情況

上一節(jié)是在無約束情況下進(jìn)行的計算，然而，在工業(yè)生產(chǎn)實際過程中，系統(tǒng)往往存在著各式各樣的約束，MPC運行過程中需要將全部約束納入考慮從而保障設(shè)備安全穩(wěn)定運行。同式(22)一樣，通過使用式(18)，系統(tǒng)約束可以表示為u?k相關(guān)的不等式：

則在線MPC解決的優(yōu)化問題如下：

在無約束情況下，無約束解是計算得到的最優(yōu)解，然而系統(tǒng)約束存在時，無約束解的直接應(yīng)用勢必會造成輸入或輸出約束違反，長此以往將不可避免地對設(shè)備造成一定程度的損壞，并最終影響系統(tǒng)的安全性，引發(fā)工業(yè)生產(chǎn)事故。然而，直接丟棄掉無約束解信息，重新對新的優(yōu)化問題(19)進(jìn)行計算，又沒有對可用信息進(jìn)行合理利用，增大了在線計算時間。如果合理地設(shè)計一個方案合理利用共軛空間的無約束最優(yōu)解，以在不求解優(yōu)化問題的情況下獲得一個滿足約束條件的次最優(yōu)解，則可以大大縮短在線計算時間。

想要利用無約束解信息，最簡單且直觀的方法是無約束解中使得約束違反的部分移動到其邊界上，然而，這種粗暴的方式往往會使得獲得的解控制性能極差，根本達(dá)不到所需要的控制效果。為此，設(shè)計了一種新的約束存在下的方案，所設(shè)計的方案被稱為基于奇異值分解的快速MPC方法，其具體方案如下：

為了應(yīng)用所獲得的無約束最優(yōu)解，首先將經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的目標(biāo)函數(shù)(27)重新寫為：

為了充分利用共軛空間無約束最優(yōu)解，我們基于上述分析，給出了一種次優(yōu)解的線性搜索方式：

根據(jù)特征值大小順序按照特定規(guī)則將其對應(yīng)的共軛空間無約束最優(yōu)解元素依次置為零（即先處理最大特征值對應(yīng)的元素，如果不滿足約束，再將第二大特征值對應(yīng)元素置0），直到約束條件達(dá)到滿足。定義此時的元素編號為r，則共軛空間次優(yōu)解應(yīng)該存在于Ur與Ur+1之間，其中：

λ需要滿足下述關(guān)系：

綜上，基于奇異值分解的快速模型預(yù)測控制方法總結(jié)如表1所示。

表1 快速模型預(yù)測控制方法 (FMPC)

4 應(yīng)用研究：超臨界機組控制

4.1 工作點線性化模型及實驗參數(shù)

實驗所采用的被控對象數(shù)學(xué)模型引自參考文獻(xiàn)[14]。機組設(shè)計額定功率為600MW。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識，其在50%工況下系統(tǒng)的線性化模型如公式組(36)所示。

實驗過程中算法的其他參數(shù)選擇如表2所示：

表2 實驗參數(shù)

此外，為了保障設(shè)備安全性，對于本實驗施加的約束如式(37)所示：

4.2 實驗結(jié)果

為了驗證所提快速模型預(yù)測算法在超臨界火電機組應(yīng)用的有效性與快速性，對超臨界火電機組的設(shè)定值進(jìn)行改變并交由算法進(jìn)行跟蹤。將機組功率輸出改變設(shè)定值為1，并維持機前設(shè)定值為0，進(jìn)行仿真實驗，使用FMPC與使用MATLAB內(nèi)置函數(shù)（quadprog內(nèi)點法求解二次規(guī)劃）得到的仿真對比結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1 功率設(shè)定值跟蹤變化

圖2 壓力設(shè)定值跟蹤變化

圖3 燃料指令增量變化

圖4 汽輪機調(diào)門開度增量變化

可以看到兩種算法均能夠快速地跟蹤到給定的設(shè)定值，且都可以將變量控制在約束范圍之內(nèi)。

FMPC兩種算法的在線計算時間對比結(jié)果如圖5所示。

圖5 快速MPC算法與內(nèi)點法時間對比

可以看到，快速MPC方法相較于內(nèi)點法，單次采樣時間內(nèi)在線計算時間更短（約為內(nèi)點法的二分之一），驗證了所提算法的快速性與有效性。

5 結(jié)語

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，超臨界機組已經(jīng)逐漸在火力發(fā)電市場中嶄露頭角。本文首先搭建了超臨界機組的機理模型，并推導(dǎo)得到超臨界機組工作點附近的線性模型。考慮到超臨界機組的非線性特點，以及工業(yè)生產(chǎn)過程中對于時效性的考量，設(shè)計了可以應(yīng)用于機組的快速模型預(yù)測控制算法。隨后以某660MW單元機組為例，選取50%負(fù)荷條件下，在MATLAB使用所提出的快速模型預(yù)測控制算法對超臨界機組進(jìn)行仿真控制，結(jié)果表明所提方法在保障了控制效果的同時，相較于傳統(tǒng)內(nèi)點法具備更短的在線計算時間。