孫營(yíng)營(yíng)

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 菏澤 274015)

引言

數(shù)集的漸進(jìn)密度是數(shù)論研究的重要課題，幾何級(jí)數(shù)是研究數(shù)集相關(guān)問(wèn)題的重要工具[1-3].2013年，Nathanson在文獻(xiàn)[3]中用兩組長(zhǎng)度為k的幾何級(jí)數(shù)集合

X(a)={3k-1a,3k-25a,…,3k-1-i5ia,…,5k-1a}

(1)

Y(b)={5k-1b,5k-27b,…,5k-1-i7ib,…,7k-1b}

(2)

注 本文中出現(xiàn)的小寫(xiě)字母如不加說(shuō)明都表示正整數(shù)．

本文給出較式(1)、(2)更一般的集合，得到他們?cè)诟鞣N限制條件下的關(guān)系，可用于幾何級(jí)數(shù)相關(guān)的整數(shù)問(wèn)題的研究.

1 定理及證明

定理1給定正整數(shù)m，對(duì)任意的正整數(shù)l和奇數(shù)a，令

Al(a)={2(l-1)ma,2(l-1)m+1a,…,2(l-1)m+j,…,2lm-1a}

(3)

則Al(a)是一組兩兩不相交的整數(shù)集合.

證明令A(yù)l′(b)={2(l′-1)mb,2(l′-1)m+1b,…,2(l′-1)m+j,…,2l′m-1b},其中l(wèi)′是正整數(shù)，b是奇數(shù)，且l≠l′,a≠b至少滿(mǎn)足一個(gè).

若Al(a)∩Al′(b)≠?,則存在0≤i,j≤m-1，使2(l-1)m+ia=2(l′-1)m+jb，即

當(dāng)a=b時(shí)，由l,l′,i,j是整數(shù)知，上式右端指數(shù)部分(l′-l)m+(j-i)=0，此時(shí)l=l′，這與l≠l′,a≠b至少滿(mǎn)足一個(gè)矛盾.

當(dāng)a≠b時(shí)，由l,l′,i,j是整數(shù)知，上式右端是一個(gè)偶數(shù)或偶數(shù)的倒數(shù)，這與a,b是奇數(shù)矛盾.

所以Al(a)∩Al′(b)≠?.

因此Al(a)是一組兩兩不相交的整數(shù)集合.證畢.

定理2給定正整數(shù)m以及足夠大的正整數(shù)n，令

(4)

式中ak是整數(shù)，滿(mǎn)足

(5)

以及

(6)

這里pk是指第k個(gè)素?cái)?shù).Sk(ak)是一組互不相交的整數(shù)集合.

證明由Bertrand假設(shè)[5]知任意相鄰的素?cái)?shù)滿(mǎn)足pk+1<2pk，所以當(dāng)pk確定后，只要n足夠大，總有滿(mǎn)足(5)式的ak.又pkak+1.

下面分兩部分證明(4)式所定義的集合是互不相交的.

證明當(dāng)l≠1時(shí)，定理1中的集合是偶數(shù)集，而定理2中的集合都是奇數(shù)集，顯然二者交集為空.

2 應(yīng)用

在上述定理結(jié)論中取確定的素?cái)?shù)，能夠得到一些具體直觀(guān)的集合，這些集合可用于研究不含m項(xiàng)幾何級(jí)數(shù)的集合的密度上界問(wèn)題．為方便表述，將整數(shù)集合{1,2,…,n}的所有不含長(zhǎng)度為m的幾何級(jí)數(shù)的子集所構(gòu)成集合記作GPFm(n).

a2≡1,3,7,9(mod 10).

由定理1 、2、 3知Al(a),S3(a3),S4(a4)是三組互不相交的整數(shù)集合，由定理3知Al(a),S2(a2)互不相交，另外易證S2(a2)，S3(a3),S4(a4)也是互不相交的，因此Al(a),S2(a2),S3(a3),S4(a4)是四組互不相交的整數(shù)集合.

滿(mǎn)足條件的Al(a),S2(a2),S3(a3),S4(a4)個(gè)數(shù)分別為

(7)

(8)

(9)

(10)

如果整數(shù)集合Gm∈GPFm(n)，那么Al(a),S2(a2),S3(a3),S4(a4)中每個(gè)集合至少有一個(gè)元素不屬于Gm.由(7)～(10)式得

這里|Gm|表示集合Gm中元素個(gè)數(shù).

那么Gm的上漸進(jìn)密度Du(Gm)滿(mǎn)足

這一結(jié)果是對(duì)Nathanson在文獻(xiàn)[3]中給出上界的改進(jìn).

3 結(jié)語(yǔ)

利用奇數(shù)和偶數(shù)的互不相交性或者利用素?cái)?shù)與整除的性質(zhì)并按照一定的規(guī)律構(gòu)造可以得到一些互不相交的整數(shù)集合.本文借助等比級(jí)數(shù)以及素?cái)?shù)相關(guān)的整除性質(zhì)構(gòu)造了一系列互不相交的整數(shù)集合，對(duì)這些集合的互不相交性給出了證明.文中定理所給出的是一般性的結(jié)論，對(duì)定理中的字母賦值可以得到一些具體直觀(guān)的互不相交整數(shù)集,并對(duì)所得集合數(shù)目進(jìn)行計(jì)數(shù)，這樣的具體結(jié)論可以用于整數(shù)密度相關(guān)問(wèn)題的研究.