唐榮江，陸滔琪，潘朝遠(yuǎn)，鄭偉光，龐 毅

(1.桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，桂林 541004；2.廣西科技大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，柳州 545006；3.廣西數(shù)仿科技有限公司，柳州 545006)

0 引 言

降噪處理是汽車、航天、軌道交通舒適性設(shè)計(jì)中必不可少的步驟，如何降低環(huán)境噪聲對(duì)車內(nèi)乘客的影響已經(jīng)成為NVH(noise, vibration and harshness)工程師們亟待解決的問(wèn)題。面對(duì)這一問(wèn)題，技術(shù)研究人員通過(guò)設(shè)計(jì)各種隔音吸聲結(jié)構(gòu)達(dá)到消除噪聲的目的[1]。其中，利用布置聲學(xué)屏障來(lái)控制交通噪聲是行之有效的方法[2]。常見的聲學(xué)屏障是一種在空間陣列而成的Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)。在聲學(xué)領(lǐng)域，對(duì)于Helmholtz共振腔的研究由來(lái)已久[3-5]，該結(jié)構(gòu)具有帶隙特性，即在帶隙頻率范圍內(nèi)聲波傳遞會(huì)被抑制，因此廣泛應(yīng)用于隔音降噪場(chǎng)合[6-8]。例如，高東寶等[9]設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了一種具有低頻寬帶隙的共振腔結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)Helmholtz共振腔陣列的腔體幾何參數(shù)和陣列方式均會(huì)影響聲學(xué)超材料的帶隙位置；倪安辰[10]提出了一種在Helmholtz共振腔內(nèi)加剛性擋板的改進(jìn)結(jié)構(gòu)，并將共振腔的頸部結(jié)構(gòu)改成弧形，使得助共振頻率增加了20%，且聲波二次傳輸減弱2～5 dB。Guan等[11]通過(guò)卷繞式設(shè)計(jì)延長(zhǎng)了狹縫長(zhǎng)度，獲得了較低頻的聲波帶隙。此外，在圓環(huán)開口同樣具有Helmholtz共振效應(yīng)。陳鑫等[12]在Guan等設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，將開口設(shè)計(jì)成“弓”字型，利用Helmholtz腔與彈性振子耦合作用來(lái)提升低頻隔聲性能；姜久龍等[13]基于共振效應(yīng)設(shè)計(jì)了一種雙開口的Helmholtz周期結(jié)構(gòu)，并在晶格常數(shù)為10 cm的情況下，將該結(jié)構(gòu)的低頻帶隙控制在150 Hz的頻率范圍內(nèi)；Jing等[14]設(shè)計(jì)了三個(gè)依次嵌入的開口圓環(huán)結(jié)構(gòu)，圓環(huán)以角度90°錯(cuò)位放置，獲得低頻第一帶隙，并通過(guò)分析波段的聲學(xué)模式，找到第一帶隙形成的原因；韓東海等[15]提出了一種迷宮型開口通道，并在結(jié)構(gòu)加入了剛性振子的結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出了良好的低頻隔聲特性。此外，有研究顯示將多重開口圓環(huán)相互嵌入而獲得的聲學(xué)帶隙會(huì)更為豐富[16]。

上述對(duì)周期共振腔結(jié)構(gòu)的研究中，主要圍繞開口圓環(huán)的“低頻帶隙”進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，然而對(duì)開口圓環(huán)連接副腔結(jié)構(gòu)組合而成的共振腔結(jié)構(gòu)的研究卻鮮有報(bào)道。本文以開口圓環(huán)作為主腔，基于Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)的局域共振特性，在主腔周圍連接4個(gè)副腔[17]，以此形成復(fù)合共振腔，并開展帶隙特性和隔聲性能分析，最后建立等效電路模型，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的影響。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及帶隙特性

1.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

空心圓環(huán)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于開展實(shí)驗(yàn)，是常見的周期性結(jié)構(gòu)[18]。圖1的Helmholtz復(fù)合共振腔是在單、雙開口圓環(huán)的基礎(chǔ)上開槽形成。以單開口圓環(huán)為基礎(chǔ)，在圓環(huán)內(nèi)添加一個(gè)反向開口的內(nèi)環(huán)即為雙開口圓環(huán)。以雙開口圓環(huán)作為頸部連接背腔的結(jié)構(gòu)，具有Helmholtz共振腔的特征[19]。本文以開口圓環(huán)作為參考對(duì)象，提出了如圖1(c)的Helmholtz復(fù)合共振腔結(jié)構(gòu)，該共振腔在對(duì)角布置了四個(gè)副腔且在內(nèi)部添加了開口圓環(huán)，形成對(duì)稱結(jié)構(gòu)，且內(nèi)圈開口圓環(huán)的開口方向與外圈開口方向相差180°。

Helmholtz共振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，其中：a為晶格常數(shù)；l為副腔通道長(zhǎng)度；R1為外圈內(nèi)圓半徑；R2為外圈外圓半徑；R3為內(nèi)圈內(nèi)圓半徑；R4為內(nèi)圈外圓半徑；r1為副腔內(nèi)圓徑；r2為副腔外圓半徑；W1為外圈開口寬度；W2為內(nèi)圈開口寬度；w為副腔通道寬度；m為副腔開口通道外緣寬度；n為副腔開口通道外緣長(zhǎng)度；d為內(nèi)外圓環(huán)之間的最短距離。

本文在計(jì)算和分析Helmholtz共振腔模型和對(duì)比模型時(shí)，設(shè)定這些模型的材料為結(jié)構(gòu)鋼，其密度為7 850 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3。將共振腔結(jié)構(gòu)陣列在空氣中充當(dāng)聲學(xué)隔音屏障，彈性波在周期排列的聲子晶體中傳播發(fā)生干涉,導(dǎo)致聲波無(wú)法通過(guò)而發(fā)生阻斷形成聲禁帶，能夠有效阻擋聲音傳播，對(duì)道路交通的噪聲控制有益。

表1 Helmholtz復(fù)合共振腔結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameter of Helmholtz composite resonator /mm

圖1 計(jì)算模型和不可約布里淵區(qū)。(a)單開口圓環(huán)；(b)雙開口圓環(huán)；(c)Helmholtz復(fù)合共振腔；(d)不可約布里淵區(qū)Fig.1 Computational model and irreducible Brillouin zone. (a) Single-opening circular; (b) double-opening circular;(c) Helmholtz composite resonator cavity; (d)irreducible Brillouin zone

1.2 理論基礎(chǔ)

在理想彈性介質(zhì)的情況下，假設(shè)彈性介質(zhì)剛開始時(shí)處于自然狀態(tài)，并且介質(zhì)中各點(diǎn)的位移是微小的，則描述彈性介質(zhì)的物理量，即應(yīng)力、應(yīng)變、位移，滿足運(yùn)動(dòng)方程和本構(gòu)關(guān)系。

空氣的聲阻抗比結(jié)構(gòu)鋼小得多，兩者阻抗難以匹配，因此聲波大部分都在固體間反射，很難透射到固體結(jié)構(gòu)中，傳遞的能量也很小，幾乎可以忽略?；谝陨锨闆r，在計(jì)算中將固體視為剛性硬壁面，不考慮其振動(dòng)，僅求解聲壓Helmholtz方程：

(1)

-iω=γ

(2)

波矢k沿第一不可約布里淵區(qū)M→?！鶻→M的路徑進(jìn)行掃掠，并結(jié)合Bloch-Floquet理論，分階段求解聲壓方程：

(3)

式中：kx、ky和kz分別為波矢k在x方向和y方向的分量。

通過(guò)給定k的值求解特征方程(1)～(3)，可得k與γ的關(guān)系，即彈性波帶隙和聲波的本征模態(tài)。為獲得共振腔的聲傳輸損耗特性，計(jì)算3個(gè)共振腔在x方向陣列而成的周期結(jié)構(gòu)。如圖2所示在3元胞結(jié)構(gòu)的上下面施加連續(xù)性的周期性邊界條件，此時(shí)源邊界和目標(biāo)邊界上的聲壓以及位移的場(chǎng)值相同。基于以上研究，將陣列結(jié)構(gòu)的左右側(cè)設(shè)為平面波輻射，左側(cè)施加Pin=1 Pa的平面波激勵(lì)，右側(cè)為開放邊界，其聲傳播損耗(sound transmission loss, STL)計(jì)算公式為：

(4)

式中：STL代表聲傳播損耗，也稱隔聲量；Pin代表入射聲壓；Pout代表出射聲壓。

1.3 帶隙特性及隔聲性能分析

本文通過(guò)Comsol Multiphysics軟件的聲學(xué)模塊，對(duì)Helmholtz共振腔模型劃分三角形網(wǎng)格單元，對(duì)模型四周施加Floquet周期性邊界條件，計(jì)算得到帶隙。選取3個(gè)陣列模型計(jì)算聲傳輸損耗，陣列模型如圖2所示，單開口圓環(huán)和雙開口圓環(huán)與此相同。由于在僅求解?！鶻方向時(shí)，就能獲得三種模型的第一、二帶隙，為了減少計(jì)算量，本文的研究?jī)H求解波矢掃掠?！鶻方向。求解后獲得的帶隙結(jié)構(gòu)圖和聲傳播損耗曲線圖如圖3所示。從圖3(a)可知，單開口圓環(huán)在2 000 Hz內(nèi)只擁有第一帶隙，帶隙結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，在帶隙內(nèi)的最大隔聲量為87 dB，在圖3(d)中由點(diǎn)線表示。由圖3(b)可知，雙開口圓環(huán)能夠在2 000 Hz以內(nèi)獲得兩條完整帶隙，且第一帶隙比單開口圓環(huán)要更低，起始頻率為519.5 Hz。從圖3(d)中的點(diǎn)畫線能夠看出，雙開口圓環(huán)在第一帶隙和第二帶隙內(nèi)的最大隔聲量分別達(dá)到了70 dB和62 dB，相比于單開口圓環(huán)能夠起到更好的中頻隔聲效果。

圖2 Helmholtz共振腔3元胞有限結(jié)構(gòu)以及邊界條件Fig.2 3-cell finite structure of Helmholtz resonator and boundary conditions

圖3 三種模型的能帶結(jié)構(gòu)及其傳輸特性。(a)單開口圓環(huán)；(b)雙開口圓環(huán)；(c)復(fù)合共振腔；(d)傳輸特性Fig.3 Energy band structures of the three models and their transport properties. (a) Single-opening circular; (b) double-opening circular; (c) composite resonant cavity; (d) transport properties

Helmholtz復(fù)合共振腔的帶隙結(jié)構(gòu)如圖3(c)所示，相應(yīng)的傳輸特性對(duì)應(yīng)于圖3(d)中的實(shí)線。從圖中能夠清晰地看出，復(fù)合共振腔結(jié)構(gòu)在頻率低于1 000 Hz的范圍內(nèi)擁有帶寬為231.55 Hz的第一帶隙，在頻率低于1 400 Hz的范圍內(nèi)擁有帶寬為70 Hz左右的第二帶隙，且第一、二帶隙的起始頻率比雙開口圓環(huán)更低。除此之外，Helmholtz復(fù)合共振腔的整體隔聲較前兩種模型更強(qiáng)，不僅在帶隙內(nèi)的峰值隔聲量均大于前兩種模型，且大部分頻率范圍內(nèi)的隔聲量達(dá)到10 dB以上。470 Hz處為Helmholtz共振腔在第一帶隙內(nèi)的隔聲量最大值點(diǎn)，在該點(diǎn)處的最大隔聲量超過(guò)90 dB。綜上所述，可以得出結(jié)論：在單開口圓環(huán)內(nèi)增加一個(gè)開口內(nèi)環(huán)能夠獲得更低頻的帶隙，但同時(shí)會(huì)縮減帶隙的頻率范圍；在雙開口圓環(huán)四周布置4個(gè)副腔形成的復(fù)合共振結(jié)構(gòu)能夠擁有比單、雙開口圓環(huán)更低的帶隙以及更好的隔聲性能。通過(guò)對(duì)圖3的分析可知，傳聲損失曲線中能量衰減的頻率范圍與能帶結(jié)構(gòu)的各個(gè)完全帶隙相吻合。

圖4 Helmholtz復(fù)合共振腔聲壓級(jí)云圖Fig.4 Sound pressure level cloud of Helmholtz composite resonator cavity

為了進(jìn)一步分析帶隙特性，選取了如圖4所示的頻域內(nèi)三個(gè)頻率點(diǎn)的聲壓級(jí)云圖，以此形象地展示該共振腔陣列單元對(duì)聲波的抑制和阻礙作用。432.43 Hz為第一帶隙的下限，由圖可知，在該頻率時(shí)激勵(lì)點(diǎn)和輸出端處的聲壓級(jí)始終維持在100 dB左右，聲壓大量擠壓在共振腔內(nèi)，且從外到內(nèi)聲壓級(jí)依次增高，通過(guò)圖3也可知此處隔聲量接近0 dB。在470.00 Hz處(在此頻率處產(chǎn)生第一帶隙內(nèi)的峰值隔聲量)，100 dB左右的聲壓級(jí)集中在第一個(gè)共振腔內(nèi)，經(jīng)過(guò)第二個(gè)共振腔時(shí)，聲壓級(jí)已降至80 dB左右，往下傳遞到第三共振腔后，聲波能量進(jìn)一步衰減，腔內(nèi)的聲壓級(jí)驟降至50 dB左右且外部已接近0 dB，聲波的衰減現(xiàn)象明顯，聲波在該頻率的傳播損失最顯著；663.98 Hz為第一帶隙的上限，在該處輸出端的外部聲壓級(jí)接近70 dB，聲波的衰減效果減弱，隔聲性能不如470.00 Hz處好。

通過(guò)分析可知，本文基于普通開口圓環(huán)而設(shè)計(jì)的Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)擁有良好的隔音性能。除此之外，該結(jié)構(gòu)既有Helmholtz共振腔的共振效應(yīng)，也有晶體單元間的相互作用，兩者結(jié)合能夠獲得比沒有副腔的開口圓環(huán)結(jié)構(gòu)更低頻的聲波帶隙和更寬的聲波寬度。但不足的是，在聲波禁帶內(nèi)各頻率的隔聲量相差較大，往后這也將成為重點(diǎn)研究對(duì)象之一。

2 帶隙機(jī)理及等效模型

第一帶隙的下限(432.43 Hz)的聲壓模態(tài)如圖5所示，右側(cè)圖例為聲壓數(shù)值，其單位為Pa。可以明顯看出，在該頻率處結(jié)構(gòu)外部區(qū)的聲壓值最小，然后按照由外到內(nèi)的順序依次增加，內(nèi)圈內(nèi)腔的聲壓值達(dá)到最大，聲波能量局限于結(jié)構(gòu)當(dāng)中，在外部不能傳播，4個(gè)副腔內(nèi)的空氣像彈簧一樣進(jìn)一步阻礙了聲波能量的傳播，這事實(shí)上也決定了帶隙的下限。

圖5 B點(diǎn)的聲壓模態(tài)Fig.5 Sound pressure mode at point B

為了便于研究共振周期結(jié)構(gòu)帶隙形成的機(jī)理，本文采用“聲-電類比”法建立相應(yīng)的等效電路模型。在建立等效模型前，將模型大致分為如圖6所示的C、E、F、q1等9個(gè)區(qū)域，其中C為內(nèi)圈和外圈之間的通道；E為內(nèi)圈內(nèi)腔；F為外部空氣域；q1、q2、q3、q4分別為4個(gè)為副腔；外、內(nèi)圈的開口處寬度分別用W1和W2表示。

圖6 結(jié)構(gòu)區(qū)域劃分示意圖Fig.6 Schematic diagram of structural area division

圖7 復(fù)合共振腔的等效電路圖Fig.7 Equivalent circuit of composite resonator cavity

圖7為建立的等效電路圖。根據(jù)Helmholtz共振腔區(qū)域的劃分以及共振機(jī)理，本文將內(nèi)圈和外圈之間的通道等效為電感LC和電容CC，開口處等效為電感LW，副腔通道處等效為電感Lq，副腔與副腔通道等效為電容Cq，內(nèi)圈內(nèi)腔等效為電感CE，外部空氣域等效為電感CF。綜合以上分析，等效電路的表達(dá)式分別表示為：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：c0為空氣中的聲速，h為通道厚度，在下列計(jì)算時(shí)被約去。第一帶隙下限的共振頻率為：

(12)

其中L為等效電路的總電感，C為等效電路的總電容：

(13)

(14)

3 帶隙影響因素分析

為分析各參數(shù)對(duì)帶隙的影響，進(jìn)一步揭示其帶隙形成的實(shí)質(zhì)，采用有限元法(finite element method, FEM)和等效電路法(equivalent circuit method, ECM)兩種方法計(jì)算第一帶隙下限頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的變化情況，如圖8所示。

圖8(a)可知，當(dāng)R3、R4同時(shí)增大時(shí)，第一帶隙下限會(huì)降低，反之則升高，這是由于R3、R4的大小影響了外圈與內(nèi)圈之間通道的體積VC和內(nèi)圈內(nèi)腔的體積VE，當(dāng)R3、R4增大時(shí)，VC減小，VE增大；當(dāng)R3、R4減小時(shí)，VC增大，VE減小。同時(shí)，在R3、R4增大時(shí)，帶隙下限降低的曲線的斜率逐漸變大。

圖8(b)所示為外圈開口寬度對(duì)第一帶隙下限的影響?？梢钥闯觯琖1越大，第一帶隙起點(diǎn)越高，這與圖8(a)是相反的，且W1對(duì)于帶隙的影響比較小，它的變化只能直接影響開口處這小部分體積變化?？梢钥闯鲈赪1小于0.8 mm時(shí)，開口寬度對(duì)帶隙下限的影響比較明顯。

圖8(c)所示為內(nèi)圈開口寬度對(duì)第一帶隙下限的影響，其影響原理與圖8(b)類似。與W1不同的是，W2越小，頻率降低得越慢。

圖8 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)第一帶隙的影響。(a)共振腔內(nèi)圈的內(nèi)外半徑對(duì)第一帶隙下限的影響；(b)外圈開口寬度對(duì)第一帶隙下限的影響；(c)內(nèi)圈開口寬度對(duì)第一帶隙下限的影響；(d)副腔開口寬度對(duì)第一帶隙下限的影響；(e)副腔內(nèi)圓半徑對(duì)第一帶隙下限影響；(f)晶格常數(shù)a對(duì)第一帶隙的影響Fig.8 Effects of structural parameters on the first band gap. (a) Effect of the inner and outer radii of the inner ring of resonant cavity on the lower limit of the first band gap; (b) effect of the outer ring opening width on the lower limit of the first band gap; (c) effect of the inner ring opening width on the lower limit of the first band gap; (d) effect of the sub-cavity opening width on the lower limit of the first band gap; (e) effect of the inner circle radius of the sub-cavity on the lower limit of the first band gap; (f) effect of the lattice constant a on the first band gap

圖8(d)所示為副腔開口寬度對(duì)第一帶隙下限的影響，可以看出該參數(shù)對(duì)帶隙下限的影響作用比其他參數(shù)小。等效模型和有限元法計(jì)算的波動(dòng)值分別在15 Hz和5 Hz內(nèi)。主要是w的變化對(duì)其余參數(shù)值影響帶隙的情況與圖8(a)的影響原理相同，即參數(shù)值的變化引起了Helmholtz共振腔不同程度的體積變化，從而引起腔內(nèi)體積和個(gè)區(qū)域之間的相互作用產(chǎn)生變化，最終影響帶隙。

從圖8(e)可以看出，副腔內(nèi)圓半徑r1對(duì)帶隙下限影響比較明顯，主要是因?yàn)?個(gè)副腔占據(jù)了較大的空間，在r1變化時(shí)能夠引起明顯腔體體積變化，使得4個(gè)腔體內(nèi)的空氣與主腔內(nèi)的空氣之間的相互作用產(chǎn)生變化，從而引起共振頻率發(fā)生顯著變化。在r1下降到3.5 mm之后，有限元法計(jì)算的值逐漸趨于平穩(wěn)，而且等效模型法與有限元法的計(jì)算誤差變小。

從圖8(f)可以看出，在晶格常數(shù)a增大時(shí)，帶隙的上下限都線性降低，且?guī)秾挾茸兓^小。大晶格尺寸能擁有更大的內(nèi)腔空間，但是由于尺寸過(guò)大，在工程實(shí)際中難以應(yīng)用。

為了能夠更加清晰地看出上述提出的等效電路模型的有效性，統(tǒng)計(jì)了利用有限元法和等效電路計(jì)算出的第一帶隙下限頻率，并計(jì)算其平均誤差，將所有統(tǒng)計(jì)結(jié)果匯總到表2。本文平均誤差的計(jì)算式為：

(15)

式中：EA為平均誤差(average error)；Ei(i=1,2,3,4)為單個(gè)參數(shù)值的計(jì)算誤差。通過(guò)表2可以看出，有限元法的仿真值與等效模型的計(jì)算值最大誤差控制在10%以內(nèi)，且平均誤差控制在5%以下的合理范圍內(nèi)，產(chǎn)生誤差的主要原因是在環(huán)間構(gòu)成的環(huán)形通道已不再是細(xì)管道,造成了Helmholtz聲電類比的不和諧,導(dǎo)致計(jì)算誤差增加，但整體趨勢(shì)與實(shí)際值保持了一致。除此之外，開口空氣通道的等效長(zhǎng)度及等效寬度不夠準(zhǔn)確，存在一定誤差，而且通道內(nèi)空氣可壓縮性的影響也不可忽略。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)第一帶隙下限的影響及有限元法與等效電路的平均誤差Table 2 Effect of structural parameters on the lower limit of the first band gap and the average error of the FEM and ECM /mm

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于開口圓環(huán)結(jié)構(gòu)的Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是四周對(duì)稱布置四個(gè)副腔。首先對(duì)其帶隙特性和聲傳輸損失性能進(jìn)行了分析，并與單、雙開口圓環(huán)進(jìn)行對(duì)比。其次利用聲-電類比法，設(shè)計(jì)了共振腔的等效電路模型。最后研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其第一帶隙的影響。研究表明：

(1)本文提出的Helmholtz共振腔結(jié)構(gòu)第一帶隙頻率范圍為432.43～663.98 Hz，在禁帶內(nèi)的大部分頻率范圍內(nèi)的隔聲量達(dá)到了10 dB以上，在第一、二帶隙內(nèi)的最大隔聲量分別超過(guò)90 dB和70 dB。造成傳播損耗的原因是聲波在結(jié)構(gòu)單元間的相互作用和腔內(nèi)的諧振效應(yīng)。

(3)聲-電類比法建立的等效模型和有限元法的仿真計(jì)算值最大誤差不超過(guò)10%，且平均誤差不超過(guò)5%，二者計(jì)算結(jié)果基本吻合且變化趨勢(shì)相同，可以認(rèn)為等效模型是合理的，有一定的理論價(jià)值。

(4)w、r1，以及R3、R4參數(shù)值越大，能夠獲得的帶隙下限越低，相反，W1、W2與帶隙下限值成正比。除此之外，晶格常數(shù)a能夠直接影響帶隙的上下限，但過(guò)大的a不易用于實(shí)踐。