侯有岐

(陜西省漢中市四○五學(xué)校 723312)

“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一,著名數(shù)學(xué)家華羅庚說:“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”,這就要求我們在使用圖象解題時,必須充分理解題意,畫出比較準(zhǔn)確的圖象,注意圖象中元素間關(guān)系,不能主觀臆斷,導(dǎo)致圖形失真,從而得出錯誤答案,甚至無法求解.為此,本文例析怎樣根據(jù)題意按要求準(zhǔn)確作圖,利用構(gòu)造法在直線和圓的應(yīng)用中快速解題.

1 構(gòu)造“斜率”求最值(范圍)

圖1

2 構(gòu)造“距離”求最值(范圍)

(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足5x+12y+60=0，求x2+y2的最小值.

(3)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求y-x的最小值.

即問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)P(x,0)與A(1,1),B(2,2)的距離之和的最小值.

圖2

(2)x2+y2的最小值為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線5x+12y+60=0距離的平方.

(3)設(shè)y-x=b，則y=x+b，當(dāng)且僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱截距b取最小值.

點(diǎn)評涉及與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：

(2)形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．

(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到動直線的最值問題，或圓心已定的動圓半徑的最值問題．

例3 某地兩鄰鎮(zhèn)在一直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為A(1,2),B(4,0), 一條河所在的直線方程為l:x+2y-10=0, 若在河邊l上建一座供水站P,使它到A,B兩鎮(zhèn)的管道最省,問應(yīng)建在什么地方?

分析利用平面幾何(兩點(diǎn)之間線段最短;三角形兩邊之和大于第三邊)及解析法確定點(diǎn)P的位置.

解析如圖3,過點(diǎn)A作直線l的對稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.這是因?yàn)?

圖3

若在點(diǎn)P′(異于點(diǎn)P),|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|P′B|>|A′B|.

因此,只能在點(diǎn)P處取得最小值.

點(diǎn)評(1)凡是路程之和最近問題都要用關(guān)于直線對稱的點(diǎn)進(jìn)行處理.通過圖形直觀、對比分析，可以較好地突破理解上的難點(diǎn),達(dá)到化難為易,化繁為簡的目的.事實(shí)上：

當(dāng)點(diǎn)A,B在直線l異側(cè)時，點(diǎn)P即為直線AB與直線l交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A,B在直線l同側(cè)時，可通過某一點(diǎn)關(guān)于直線l對稱轉(zhuǎn)為異側(cè)解決.

(2)若在直線l上求一點(diǎn)Q，使||QA|-|QB||最大，可根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，仿此解決，但此時：

當(dāng)點(diǎn)A,B在直線l同側(cè)時，點(diǎn)Q為直線AB與直線l交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A,B在直線l異側(cè)時，可通過某一點(diǎn)關(guān)于直線l對稱轉(zhuǎn)為同側(cè)解決.

3 構(gòu)造“圓”求直線條數(shù)

例4 在坐標(biāo)平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,2)距離為1,且與點(diǎn)B(3,1)距離為2的直線共有( )條.

A.1 B.2 C.3 D.4

分析本題若直接求解,將無從下手,若將數(shù)的問題輔以形的意義, 就能利用圓的定義畫出分別以A(1,2),B(3,1)為圓心，以1,2為半徑的兩個圓,然后再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系,把問題轉(zhuǎn)化為研究兩圓的公切線的條數(shù).

圖4

解析作圓A(rA=1), 圓B(rB=2),

則符合題意的直線是圓A, 圓B的公切線.

因?yàn)閮蓤A圓心距

所以圓A與圓B相交,所以公切線有兩條.

所以符合題意的直線共有兩條,故選B.

點(diǎn)評概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式,一般比較抽象,在理解上有一定困難,若通過正確作圖,借助幾何直觀真正把握概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵,從而為解題開啟新的思路,提供新的途徑,達(dá)到化隱為顯的目的.

由以上四例可知,只有根據(jù)幾何意義正確構(gòu)造圖形,借助幾何直觀,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,才可以避免繁瑣推理和復(fù)雜運(yùn)算,并展現(xiàn)問題本質(zhì),實(shí)現(xiàn)解題突破和解題優(yōu)化,因而應(yīng)引起同學(xué)們的高度重視.

4 變式訓(xùn)練

題3 已知a,b,c為某一直角三角形的三邊長，c為斜邊長，若點(diǎn)P(m,n)在直線ax+by+2c=0上，則m2+n2的最小值為____.