廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，綜合性較強，因而常以中檔題或壓軸題的形式出現(xiàn).解決這類問題的常用方法有代數(shù)法、幾何法和三角法等.

1 代數(shù)法

代數(shù)法就是將題目中某些變化的幾何量(如斜率、坐標(biāo)等)設(shè)為自變量，并用它表示目標(biāo)變量(如弦長、距離、周長、面積等)，即建立目標(biāo)函數(shù)，然后應(yīng)用函數(shù)或不等式等知識解決問題的一種方法.應(yīng)用代數(shù)法重在運算，要做到運算準(zhǔn)確，還要注意函數(shù)的定義域，否則容易出錯.

例1(2021年北京卷9)已知圓C:x2+y2=4，直線l:y=kx+m，若當(dāng)k的值發(fā)生變化時，直線被圓C所截的弦長的最小值為2，則m的取值為( ).

分析先求得圓心到直線的距離，即可表示出弦長，再根據(jù)弦長的最小值求出m.

解析由已知得圓心為(0,0)，半徑為2.

當(dāng)k=0時，弦長取最小值2，即

故選C.

點評本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式和簡單函數(shù)的性質(zhì)等，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是利用勾股定理將弦長表示成斜率的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解，屬于基礎(chǔ)題.

例2(2017年全國Ⅰ卷理10)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A．16 B．14 C．12 D．10

分析先寫出|AB|,|DE|的表達式，再利用基本不等式求出|AB|+|DE|的最小值.

故直線l1,l2的方程分別為

k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

同理可得|DE|=4k2+4.

點評本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式和基本不等式等，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是將|AB|+|DE|表示成直線l1的斜率的函數(shù)，再用基本不等式求解，屬于中檔題.

2 幾何法

幾何法就是充分挖掘題目中隱含的幾何意義與幾何特征，應(yīng)用圓錐曲線的定義或平面幾何的知識解決問題的一種方法.應(yīng)用幾何法重在推理，要做到思維嚴謹，步步有據(jù).

分析根據(jù)雙曲線的定義等價轉(zhuǎn)化|PF|，分析何時△APF的周長最小，然后用間接法計算S△APF.

故F(3,0),F′(-3,0).

當(dāng)點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|-|PF′|=2.

所以|PF|=|PF′|+2.

從而△APF的周長=|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF′|+2+|AF|.

圖1

點評本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查三角形的周長和面積等，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的定義等價轉(zhuǎn)化|PF|，找到△APF的周長取最小值時點P的位置，屬于中檔題.

化簡,得2x2-mx+4=0.

點評本題主要考查直線與曲線的位置關(guān)系，點到直線的距離和平行線間的距離等，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是將動點到定直線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩條平行直線間的距離，屬于中檔題.

變式練習(xí)2(2020年全國Ⅰ卷理11)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，切點為A,B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0

3 三角法

例5(2018年北京卷理7)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離，當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

分析根據(jù)點到直線的距離公式，將d表示成θ和m的函數(shù)，再分別把θ和m看作自變量，利用函數(shù)的性質(zhì)求解.

解析由點到直線的距離公式，得

點評本題主要考查點到直線的距離公式，二次函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)等，體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是將d表示成θ和m的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解，屬于中檔題.

例6 (2021年全國乙卷理21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求△PAB面積的最大值．

解得p=2.

(2)拋物線C的方程為x2=4y.

因為點P在M上，可設(shè)P(cosθ,-4+sinθ)，θ∈[0，2π).

由已知，過點P的拋物線C的切線l斜率存在，記作k，則l的方程為

y=k(x-cosθ)-4+sinθ.

x2-4kx+4kcosθ-4sinθ+16=0.

因為l與C相切，所以

△=16k2-4(4kcosθ-4sinθ+16)=0.

即k2-kcosθ+sinθ-4=0,

(*)

且切點為(2k,k2).

設(shè)切線PA,PB的斜率分別為k1,k2，則

直線AB的斜率

直線AB的方程為

因為k1,k2是方程(*)的兩個根，

所以k1+k2=cosθ,k1k2=-4+sinθ.

所以P(k1+k2,k1k2).

因為點P到直線AB的距離

所以△PAB面積

點評本題主要考查圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系以及三角形的面積公式等，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是引進參數(shù)θ，將△PAB的面積表示成θ的函數(shù)，屬于難題.

(1)求C的方程；

(2)點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

變式練習(xí)答案：