唐宜鐘

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校 723100)

1 問題提出

由于含有多個(gè)字母，且中間涉及換元技巧，有一定難度. 作為選擇題，多數(shù)學(xué)生運(yùn)用特值法，令拋物線為y2=4x(p>0)，可得

換用其他特值，依舊成立.于是筆者猜測：所有拋物線都相似，它們對應(yīng)線段長所成比例表達(dá)式存在某種形似.

2 問題證明

曲線相似定義：已知圖形C1與圖形C2，若兩個(gè)圖形上的點(diǎn)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，且圖形C1上任意兩點(diǎn)的距離與圖形C2上兩對應(yīng)點(diǎn)的距離之比是常數(shù)k(k≠0),我們稱這兩個(gè)圖形相似，把k稱為圖形C1對圖形C2的相似比.

如圖1，把兩個(gè)圓錐曲線C1和C2平移使得相應(yīng)的焦點(diǎn)重合于點(diǎn)F，從點(diǎn)F任意作一條射線分別與兩曲線交于點(diǎn)P1與P2，則

圖1

特別地，當(dāng)e1=e2=1時(shí)，共焦點(diǎn)的拋物線是相似的，相似比等于焦準(zhǔn)距之比，相似中心為焦點(diǎn).

又相似比也等于通徑之比，故開口相同的拋物線平移到同一頂點(diǎn)也相似，相似中心為頂點(diǎn). 通過旋轉(zhuǎn)，不同開口方向的拋物線可以統(tǒng)一開口方向.

故所有的拋物線都相似，相似比為焦準(zhǔn)距之比(通徑之比).

3 高考運(yùn)用

可認(rèn)為點(diǎn)H在拋物線C:y2=2px(p>0)上，點(diǎn)N在拋物線C′:y2=px(p>0)上.

顯然拋物線C與C′相似，相似中心為頂點(diǎn).

例2(2019年浙江卷)如圖2，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè).記△AFG,△CQG的面積為S1,S2.

圖2

(1)求P的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

解析(1)y2=4x；

由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線得kAB=kAF.

從而ab=-4.

同理可得ac=-4q.

由三角形重心公式,得

c=-a-b，

由于所有拋物線都相似，故其對應(yīng)三角形面積之比為相似比的平方.本題是兩個(gè)三角形面積之比，故對任意拋物線，面積比例式應(yīng)該相同.

事實(shí)上，若拋物線為y2=2px(p>0)，仿照上述解法，可得

ab=-p2，ac=-2pq.

即c=-a-b，

可見，對任意拋物線，本題結(jié)果都不變.

4 結(jié)論推廣

通過上述證明，說明離心率相同的共焦點(diǎn)橢圓(雙曲線)相似.

可得到兩個(gè)橢圓(雙曲線)的長軸、短軸或焦點(diǎn)對應(yīng)成比例，則它們相似，相似中心可以為中心與頂點(diǎn).

即兩個(gè)橢圓(雙曲線)只要離心率相同，在對應(yīng)頂點(diǎn)重合，或中心重合，或?qū)?yīng)焦點(diǎn)重合的前提下，都是相似的，相似比為焦準(zhǔn)距之比(通徑之比).