胡 瀟 李昌成

(1.江蘇省海門中學 226199；2.新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

2022年全國高考多份試卷將抽象函數(shù)作為壓軸選擇題，入手難，突破更難.究其原因，教材沒有相關(guān)內(nèi)容，至多從正余弦函數(shù)遷移理解習得.抽象函數(shù)很靈活，少套路，尤其是自變量取值.

1 基本理論

結(jié)論1 (周期性)若f(x)(x∈R)滿足f(x+a)=f(x+b)，則f(x)的周期為T=|a-b|.

結(jié)論2(周期性)若f(x)(x∈R)滿足f(x+a)=-f(x)，則f(x)的周期為T=2|a|.

結(jié)論7(對稱性)若f(x)(x∈R)滿足f(x+a)是偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于直線x=a軸對稱.

結(jié)論8(對稱性)若f(x)(x∈R)滿足f(x+a)是奇函數(shù)，則f(x)關(guān)于點(a,0)中心對稱.

結(jié)論9若f(x)(x∈R)滿足x=a是f(x)的一條對稱軸，點(b,0)是f(x)的一個中心對稱，那么f(x)的周期為T=4|a-b|.

2 真題研究

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

分析本題主要考查導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，抽象函數(shù)的對稱性及奇偶性.聯(lián)想起正余弦函數(shù)的導數(shù)關(guān)系，原函數(shù)與導函數(shù)奇偶性對換，對稱軸與對稱中心互相轉(zhuǎn)化等，從而衍生出周期性，由于是兩個相關(guān)函數(shù)，解答時要兼顧二者，互為補充.

①

因為g(2+x)為偶函數(shù)，

所以g(2+x)=g(2-x).

②

由結(jié)論5得g(x)關(guān)于直線x=2對稱.

所以f(x)關(guān)于點(2,h)對稱.

③

④

因此A不正確.

綜上，答案為BC.

A. -21 B. -22 C. -23 D. -24

分析本題是考查兩個抽象函數(shù)的對稱問題和周期性問題，以f(x)的函數(shù)值之和為出口.首先要考慮消去或代換掉g(x)，為實現(xiàn)這目標必須充分利用“f(x),g(x)的定義域均為R”這一條件，對自變量合理賦“值”.從已知的兩個關(guān)系式能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性，進而分析出函數(shù)的周期性.已知的軸對稱性要和已知關(guān)系式緊密結(jié)合起來，才能起到橋梁作用.

解析因為y=g(x)關(guān)于直線x=2對稱，

所以g(2-x)=g(x+2).

⑤

因為g(x)-f(x-4)=7，將該關(guān)系式中x代換成x+2,得g(x+2)-f(x-2)=7.(※)

即g(x+2)=7+f(x-2).

⑥

因為f(x)+g(2-x)=5，

⑦

將⑤代入⑦,得f(x)+g(x+2)=5.

⑧

將⑥代入⑧,得f(x)+[7+f(x-2)]=5.

即f(x)+f(x-2)=-2.

⑨

令x=22,得f(22)+f(20)=-2.

令x=21,得f(21)+f(19)=-2.

所以發(fā)現(xiàn)連續(xù)4項和為-4.

⑩

所以f(22)+f(21)+…+f(4)+f(3)=-20.

在⑦中令x=0,得f(0)+g(2)=5.

因為g(2)=4，所以f(0)=1.

在⑨中令x=2,得f(2)=-2-f(0)=-3.

在g(x)-f(x-4)=7中，將x代換成x+4,得

g(x+4)-f(x)=7.

由結(jié)論6知，y=g(x)的圖象關(guān)于點(3,6)中心對稱，又函數(shù)g(x)的定義域為R，所以g(3)=6.

在⑧中令x=1,得f(1)=5-g(3)=-1.

評注在(※)處的代換目標性很強，因需代換，需要考生瞻前顧后.由題設(shè)的軸對稱性可以得到無數(shù)的關(guān)系式，此時應(yīng)根據(jù)需要選擇⑤，當然也可以選擇其它關(guān)系式，就會導致后期解題走向變化，有興趣的同仁可以試試.通過周期性完成20項求和后，解答陷入“僵局”，此時思維轉(zhuǎn)換，以退為進，著手研究g(x)，從它的對稱中心找到突破點，這一點對考生來講十分困難.整個解題過程目標一定明確，自變量選擇具有任意性，這是本題難點所在，需要學生有較高的思辨能力.

A. -3 B. -2 C. 0 D. 1

分析此題和上一題顯然是姊妹篇，但是風格迥然.沒有明顯的對稱性、周期性條件，需要考生在神秘的關(guān)系式“f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)”中去探索解題所需.賦值法是解決這類問題的法寶.條件“f(1)=1”是消元的唯一出口，也為賦值提供了依據(jù).但賦值方向不明，解答充滿著變數(shù).

解析因為f(1)=1，所以令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x)×f(1)=f(x).

進而f(x+1)=f(x)-f(x-1).

f(x+2)=f(x+1)-f(x).

f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).

由結(jié)論2知，f(x)周期為T=6 .

下面計算前六項.

在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中，令x=1，y=0得f(1)+f(1)=f(1)f(0).又f(1)=1，故f(0)=2.

故f(1)+f(2)+…+f(6)=0.

所以選A.

評注在處找到題目的遞推關(guān)系，借助此式建立周期是一個難點.在未有心理預(yù)期的情況下連續(xù)兩次迭代不易想到，只有堅信問題與周期有關(guān)方可持續(xù)迭代，也需要學生熟悉結(jié)論2，否則迭代是茫然的.賦值和迭代是解答本題的重要手段.這是一個創(chuàng)新的抽象函數(shù)問題，與從前研究抽象函數(shù)的奇偶性手段相比，雖然都是賦值，但是本題迭代賦值還是很新穎的，對考生的能力要求很高.

解答這類有關(guān)抽象函數(shù)求值問題我們要充分利用自變量的任意性，對其進行賦值，逐步向目標靠近；熟練掌握抽象函數(shù)的對稱性、周期性的多種定義衍生結(jié)論，不是記憶，而是理解；雙抽象函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系要理順，利用消元思想，各個擊破；思路要開闊，不能尋求一種萬能辦法應(yīng)對靈活多變的抽象問題，而是要系統(tǒng)關(guān)注每個函數(shù)、每個性質(zhì)、每個特殊值；主動培養(yǎng)創(chuàng)新意識，積極應(yīng)對新模式、新定義、新情景、新問題.