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        淺談兩邊夾原理的應用

        2022-12-10 03:27:40湯愛堯
        數(shù)理化解題研究 2022年31期

        湯愛堯

        (甘肅省民樂縣第一中學 734500 )

        圖1

        下面我們就利用這一原理解一些高難度的題目.

        1 代數(shù)角度的夾逼

        例1 已知集合X={x|x=2n+1,n∈Z},Y={y|y=4k±1,k∈Z},試證明:X=Y.

        分析證明集合相等目前比較淡化,它只出現(xiàn)在選擇填空題中,所以大部分學生都用了特值法就能解決,但失去思辨能力訓練的機會.由前面提及,只要證X?Y,且Y?X.

        證明(1) 設x0∈X,則x0=2n0+1且n0∈Z.

        ①若n0是偶數(shù),可設n0=2m,m∈Z,則x0=4m+1,所以x0∈Y.

        ②若n0是奇數(shù),可設n0=2m-1,m∈Z,則x0=2(2m-1)+1=4m-1,所以x0∈Y.

        所以不論n0是奇數(shù)還是偶數(shù),都有x0∈Y.

        所以X?Y.

        (2)又設y0∈Y,則y0=4k0+1,或y0=4k0-1,k0∈Z.

        因為y0=4k0+1=2·(2k0)+1,y0=4k0-1=2·(2k0-1)+1,k0∈Z,

        又因為2k0∈Z,2k0-1∈Z,

        所以y0∈X,則Y?X.

        由(1)(2),得X=Y.

        例2 在數(shù)列{an}中,已知a1=1,且對任意的n∈N*,都有an+3-6≤an≤an+2-4恒成立,則a301=____.

        解析從題設看沒有告知是什么數(shù)列,所以從通項公式的角度是無法求解的,已知條件告知是“夾逼”形式的不等式組,而要求的是具體值,所以首先考慮的是m≤a301≤m.

        依條件有a301=(a301-a299)+(a299-a297)+…+(a3-a1)+a1≥150×4+1=601.

        同理:a301=(a301-a298)+(a298-a295)+…+(a4-a1)+a1≤100×6+1=601.

        所以a301=601.

        解析題目是用函數(shù)搭平臺,實質(zhì)是數(shù)列問題,所以通過“函數(shù)不等式組”夾逼出函數(shù)方程,進而轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題.

        由已知得f(x)+2017≤f(x+2017)=f(x+1+2016)≤f(x+1)+2016.

        則f(x+1)≥f(x)+1.

        從而f(x)+2016≥f(x+2016)=f(x+2015+1)≥f(x+2015)+1=f(x+2014+1)+1≥f(x+2014)+2≥…≥f(x+1)+2015.

        則f(x+1)≤f(x)+1.

        所以f(x+1)=f(x)+1.

        從而an+1-an=1.

        故a2018=a1+(2018-1)×1=2019.

        分析看到題設中有絕對值和不等號,聯(lián)想到絕對值三角不等式|a|+|b|≥|a±b|,它和“兩邊夾原理”不謀而合,所以|f(x)+cos2x|+ |f(x)-sin2x|≥|f(x)+cos2x-f(x)+sin2x|=1.

        2 從幾何圖象角度的夾逼

        例5 (2012年浙江省高考數(shù)學理科第17題)設a∈R,若x>0時,均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=____.

        解析表面看很象解不等式的題目,實質(zhì)不然,用數(shù)形結(jié)合思想考慮,在x軸的右側(cè),兩圖象分布的象限要一致.

        圖2

        如果再研究下去,對已知不等式變形,可以得到不同的函數(shù)解析式,也就有不同圖象.

        原不等式可化為x2-1≤ax≤x+1或x+1≤ax≤x2-1對x>0恒成立.

        圖3

        夾逼思想往往與數(shù)學中不等式結(jié)合,對函數(shù)圖象的運用往往是解決的點睛之處,本題妙在“夾死”能求直線方程,至于相切于點P檢驗即可.

        3 “無中生有”的夾逼

        前面所講的代數(shù)或幾何夾逼題設中多少有點暗示,但是有些題目風平浪靜,讓人覺得無從下手,難度越發(fā)大.

        例7求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的實數(shù)解.

        解析從一個方程中求出兩個未知量,除非出現(xiàn)形如(x+a)2+(y+b)2=0,因此從這個角度考慮要拆項配方:4x2+8xy+4y2+x2-2x+1+y2+2y+1=0,即(2x+2y)2+(x-1)2+(y+1)2=0.故原方程的實數(shù)解為x=1,y=-1.

        這種方法用到的拆項很局限,如果系數(shù)復雜,不一定能成,考慮到如果將其中一個變量當作主元,那么二元二次方程就變成含參一元二次方程,想到Δ≥0,這就是一個更好的夾逼機會.下面用兩邊夾原理來解:

        將原方程整理成關(guān)于x的方程,得

        5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0.

        因為x是實數(shù),所以Δ=(8y-2)2-4×5×(5y2+2y+2)≥0.即(y+1)2≤0.而(y+1)2≥0,所以y=-1.將y=-1代入原方程解得x=1.

        故原方程的實數(shù)解為x=1,y=-1.

        例8 解方程組

        解析由例7啟示,解決此題就輕車熟路了.將①變形為關(guān)于x的方程,得

        x2-(y+3)x+y2+3=0.

        因為x是實數(shù),

        所以Δx=[-(y+3)]2-4(y2+3)≥0.

        即(y-1)2≤0,而(y-1)2≥0,所以y=1.

        將y=1代入①解得x=2.

        將x=2,y=1代入②解得z=2或3.

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