石秀成
(江蘇省句容高級(jí)中學(xué) 212400)
這是2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶預(yù)賽試題的第7題,考查解析幾何問題中的直線與圓、圓與圓的綜合,屬于高考難度,解答起來倒并不困難,但細(xì)品之下,本題可以從代數(shù)視角和幾何視角等多個(gè)角度思考,解法多樣,各具特色,因此本文從這些角度進(jìn)行了一題多解,與讀者共享.
解法1(代數(shù)法)由題意聯(lián)立,得
又點(diǎn)A在第一象限,所以A(1,1).
因此設(shè)直線CD:y-1=k(x-1),
即kx-y+1-k=0.
解得k=5或1.
解法2 (參數(shù)方程法)由題意聯(lián)立,得
又點(diǎn)A在第一象限,所以A(1,1).
解得點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的參數(shù)為
t1=-2(cosα+sinα).
同理可得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的參數(shù)為
t2=2(2cosα-sinα).
即-2(cosα+sinα)=4(2cosα-sinα).
解得tanα=5.
故k=5.
圖1
所以D為AC的中點(diǎn).
因?yàn)锳C是圓O1的弦,
所以O(shè)1D⊥AD.
則以AO1為直徑的圓(設(shè)圓心為O3)與圓O2相交于A,D兩點(diǎn).
由平面幾何知識(shí)可知AC為兩圓的根軸.
即AC⊥O2O3.
又O1(0,0),A(1,1),O2(3,0),
評(píng)注本解法從形的角度入手,首先通過垂直關(guān)系發(fā)現(xiàn)隱圓O3,進(jìn)而通過平面幾何知識(shí)觀察出AC是圓O2和O3的根軸,借助根軸的性質(zhì)可知AC⊥O2O3,而兩圓的圓心坐標(biāo)是顯然的,因此直線AC的斜率是易得的. 本解法充分挖掘了條件的幾何關(guān)系,以形顯數(shù),從形上揭示了幾何問題的本質(zhì),過程簡(jiǎn)潔明了.
所以D為AC的中點(diǎn).
設(shè)D(x0,y0),取AD中點(diǎn)為M,由A(1,1)和D(x0,y0),可得
因?yàn)镺1D⊥AC和O2M⊥AC,
又kCD·kO1D=-1,所以kCD=5.
評(píng)注本解法將幾何法和代數(shù)法融于一體,首先由垂直和平行的幾何關(guān)系得以建立代數(shù)恒等式,再通過代數(shù)運(yùn)算的化簡(jiǎn)得到參數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)而達(dá)到求解問題的目標(biāo),這個(gè)過程深刻體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.
又點(diǎn)A在第一象限,所以A(1,1).
代入圓O1得t2+2t(cosα+sinα)=0.
解得點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的參數(shù)為
t1=-2(cosα+sinα).
同理可得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的參數(shù)為
t2=2(2cosα-sinα).
即-2(cosα+sinα)=2λ(2cosα-sinα).
我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休.”由此可見數(shù)形結(jié)合的重要性,而解析幾何的本質(zhì)就是運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題,因此兼具數(shù)與形的特征,所以在解決此類問題時(shí)要注重幾何直觀與方程運(yùn)算的結(jié)合,多角度分析問題、解決問題.
本題的一題多解彰顯了數(shù)學(xué)思維的無(wú)限魅力,強(qiáng)調(diào)了對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通和方法的靈活運(yùn)用的重要性,不管是對(duì)競(jìng)賽學(xué)生,還是廣大高考學(xué)生都大有裨益,特別是在新課標(biāo)、新高考評(píng)價(jià)體系的背景下,基于題海戰(zhàn)術(shù)的刷題應(yīng)試在高考中已不再有效,更加強(qiáng)調(diào)思維的靈活性和知識(shí)的綜合運(yùn)用性,而一題多解能夠幫助學(xué)生們打破思維的定勢(shì),鍛煉思維的靈活性和認(rèn)知的深度,進(jìn)而達(dá)到提升學(xué)生的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的目標(biāo). 通過一題多解變式推廣,認(rèn)清了問題的本質(zhì),以不變應(yīng)萬(wàn)變,提高了學(xué)習(xí)的效率,也是立足“雙基”、服務(wù)“雙減”政策的有效手段.