石秀成

(江蘇省句容高級(jí)中學(xué) 212400)

1 試題呈現(xiàn)

這是2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶預(yù)賽試題的第7題，考查解析幾何問題中的直線與圓、圓與圓的綜合，屬于高考難度，解答起來倒并不困難，但細(xì)品之下，本題可以從代數(shù)視角和幾何視角等多個(gè)角度思考，解法多樣，各具特色，因此本文從這些角度進(jìn)行了一題多解，與讀者共享.

2 解法探究

解法1(代數(shù)法)由題意聯(lián)立，得

又點(diǎn)A在第一象限，所以A(1,1).

因此設(shè)直線CD:y-1=k(x-1)，

即kx-y+1-k=0.

解得k=5或1.

解法2 (參數(shù)方程法)由題意聯(lián)立，得

又點(diǎn)A在第一象限，所以A(1,1).

解得點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t1=-2(cosα+sinα).

同理可得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t2=2(2cosα-sinα).

即-2(cosα+sinα)=4(2cosα-sinα).

解得tanα=5.

故k=5.

圖1

所以D為AC的中點(diǎn).

因?yàn)锳C是圓O1的弦，

所以O(shè)1D⊥AD.

則以AO1為直徑的圓(設(shè)圓心為O3)與圓O2相交于A，D兩點(diǎn).

由平面幾何知識(shí)可知AC為兩圓的根軸.

即AC⊥O2O3.

又O1(0,0)，A(1,1)，O2(3,0)，

評(píng)注本解法從形的角度入手，首先通過垂直關(guān)系發(fā)現(xiàn)隱圓O3，進(jìn)而通過平面幾何知識(shí)觀察出AC是圓O2和O3的根軸，借助根軸的性質(zhì)可知AC⊥O2O3，而兩圓的圓心坐標(biāo)是顯然的，因此直線AC的斜率是易得的. 本解法充分挖掘了條件的幾何關(guān)系，以形顯數(shù)，從形上揭示了幾何問題的本質(zhì)，過程簡(jiǎn)潔明了.

所以D為AC的中點(diǎn).

設(shè)D(x0,y0)，取AD中點(diǎn)為M，由A(1,1)和D(x0,y0)，可得

因?yàn)镺1D⊥AC和O2M⊥AC，

又kCD·kO1D=-1，所以kCD=5.

評(píng)注本解法將幾何法和代數(shù)法融于一體，首先由垂直和平行的幾何關(guān)系得以建立代數(shù)恒等式，再通過代數(shù)運(yùn)算的化簡(jiǎn)得到參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到求解問題的目標(biāo)，這個(gè)過程深刻體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

3 試題推廣

又點(diǎn)A在第一象限，所以A(1,1).

代入圓O1得t2+2t(cosα+sinα)=0.

解得點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t1=-2(cosα+sinα).

同理可得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t2=2(2cosα-sinα).

即-2(cosα+sinα)=2λ(2cosα-sinα).

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”由此可見數(shù)形結(jié)合的重要性，而解析幾何的本質(zhì)就是運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題，因此兼具數(shù)與形的特征，所以在解決此類問題時(shí)要注重幾何直觀與方程運(yùn)算的結(jié)合，多角度分析問題、解決問題.

本題的一題多解彰顯了數(shù)學(xué)思維的無(wú)限魅力，強(qiáng)調(diào)了對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通和方法的靈活運(yùn)用的重要性，不管是對(duì)競(jìng)賽學(xué)生，還是廣大高考學(xué)生都大有裨益，特別是在新課標(biāo)、新高考評(píng)價(jià)體系的背景下，基于題海戰(zhàn)術(shù)的刷題應(yīng)試在高考中已不再有效，更加強(qiáng)調(diào)思維的靈活性和知識(shí)的綜合運(yùn)用性，而一題多解能夠幫助學(xué)生們打破思維的定勢(shì)，鍛煉思維的靈活性和認(rèn)知的深度，進(jìn)而達(dá)到提升學(xué)生的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的目標(biāo). 通過一題多解變式推廣，認(rèn)清了問題的本質(zhì)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，提高了學(xué)習(xí)的效率，也是立足“雙基”、服務(wù)“雙減”政策的有效手段.