黃 兵, 曹 亮*, 王景霖, 單添敏, 葉周虹, 單安琪

(1.故障診斷與健康管理技術(shù)航空科技重點實驗室，上海 201601； 2.航空工業(yè)上海航空測控技術(shù)研究所，上海 201601；3.北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044)

作為列車安全、平穩(wěn)運行的關(guān)鍵重要走行部件，車輪長期與軌道發(fā)生滾動摩擦，導致車輪磨損嚴重，磨耗過限時有可能引起行車事故。目前，針對車輪的健康狀態(tài)預測包括機理模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型。近年來，隨著通信和大數(shù)據(jù)處理等技術(shù)的快速發(fā)展，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的車輪狀態(tài)預測成為研究熱點?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動的車輪狀態(tài)預測又分為機器學習與數(shù)理統(tǒng)計兩種方法。

基于數(shù)理統(tǒng)計的車輪狀態(tài)預測包括隨機系數(shù)回歸模型，如線性混合模型(Linear Mixed Model,LMM)等。統(tǒng)計分析模型基于概率統(tǒng)計原理，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的特點假定研究對象的退化軌跡符合某種回歸方程或隨機過程，從而得到退化過程的數(shù)學表達或剩余壽命的分布函數(shù)。文獻[1]使用非線性混合效應(Nonlinear Mixed Effects,NLME)模型確定影響車輪磨損的最重要工況，并通過分析工作條件來估計故障時間分布，從而得到了不同工況下可靠性指標的點估計和區(qū)間估計。文獻[2]提出了擴展的混合效應退化模型和貝葉斯參數(shù)更新框架，將在線監(jiān)測數(shù)據(jù)與歷史知識相結(jié)合進行參數(shù)更新，進行車輪剩余使用壽命預測和可靠性評估。文獻[3]提出了一種基于非線性Wiener過程的列車車輪剩余使用壽命(Remaining Useful Life,RUL)和集中維修時機預測的優(yōu)化算法，基于單輪監(jiān)測數(shù)據(jù)，實現(xiàn)了模型的在線更新，得到了單輪RUL的概率密度函數(shù)。文獻[4]提出了一種基于離散狀態(tài)空間模型的列車車輪磨耗模型，該模型同時考慮了車輪的隨機退化和測量誤差。

基于機器學習的剩余壽命預測方法具有靈活的線性和非線性的建模能力，考慮到自建模型和參數(shù)估計的不確定性，該方法很適合于非線性退化過程的剩余壽命預測[5]。文獻[6]通過方差分析研究高速列車現(xiàn)場測量輪磨損數(shù)據(jù)，利用非線性自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(Non-Linear Autoregressive Neural Network，NARNN)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行預測模型建模。文獻[7]和文獻[8]使用具有外源輸入非線性自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(NARXNN)預測車輪磨損和軌道磨損，結(jié)果表明，該模型有效地預測了輪軌的磨耗值。

上述研究在處理車輪磨耗時，采用了非線性模型或是線性模型進行建模。從現(xiàn)場采集的車輪磨耗數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，車輪磨耗在前期存在線性趨勢，在車輪磨耗較大時，車輪磨耗增量會存在非線性趨勢，因而單純采用非線性模型或線性模型很難保證車輪磨耗預測的準確性。因此，既采用非線性模型也采用線性模型進行對比分析研究，以確保車輪預測的準確性。

從現(xiàn)場采集的車輪磨耗數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，車輪磨耗的個體差異性大，退化速率離散性強。并且從直觀上看,車輪磨耗呈現(xiàn)線性趨勢，因而可以采用LMM進行建模。根據(jù)工程經(jīng)驗，車輪磨耗在極限條件下會使線性趨勢變?yōu)榉蔷€性趨勢。鑒于神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性擬合能力以及自回歸對歷史狀態(tài)的依賴，可以采用NARNN模型對車輪磨耗進行建模。綜上所述，車輪磨耗呈現(xiàn)個體差異性大，前期磨耗呈現(xiàn)線性趨勢，車輪磨耗增量存在不確定性，即車輪的磨耗速率存在不確定性，因而將針對鐵路貨車車輪踏面磨耗數(shù)據(jù)建立LMM和NARNN模型，結(jié)合實例對比分析兩種模型的預測結(jié)果。從基于磨耗速率的建模和基于磨耗增量的建模兩個角度，對比分析兩個模型的預測能力，從而解決車輪退化個體差異性大和磨耗增量不確定的問題，進而更加準確地預測車輪磨耗，保證車輪的安全高效地運行。

本文首先基于踏面磨耗的線性趨勢和個體性差異大兩個特征，采用LMM構(gòu)建車輪磨耗的線性回歸模型，鑒于神經(jīng)網(wǎng)絡非線性擬合能力強，基于車輪磨耗數(shù)據(jù)對前一周期磨耗數(shù)據(jù)的依賴(即自回歸特性)，以及磨耗增量的不確定性，從而構(gòu)建車輪磨耗的NARNN；其次，采用現(xiàn)場采集的等周期磨耗數(shù)據(jù)對車輪磨耗模型進行訓練測試，得到最優(yōu)的模型參數(shù)和最佳的模型；最后，對比分析兩個模型的預測結(jié)果。

1 車輪踏面磨耗量預測模型

1.1 LMM

LMM由固定效應和隨機效應兩部分組成，其優(yōu)勢是利用固定效應參數(shù)描述研究對象的確定性模型和平均行為，利用隨機效應參數(shù)來刻畫個體之間的序列相關(guān)性和差異性，反映不同個體之間的差異。隨機效應的引入可以在掌握鐵路貨車車輪總體退化趨勢的基礎上，更好地刻畫個體退化特征和解釋個體效應，并且更準確地預測零部件個體的退化過程。式(1)為LMM的表達式。

(1)

對于i=1,2,…,m，令

式中：m為樣本容量；yi為第i個體的ni維因變量;Xi為ni×p維度固定效應；β為p維度固定效應系數(shù)；Zi為ni×q維度隨機效應；bi為q維隨機效應系數(shù)，服從協(xié)方差矩陣為ψ0的多元正態(tài)分布；εi為擬合誤差。假設隨機效應bi、誤差項εi相互獨立。

車輪在運行過程中，其踏面磨耗量基本呈線性增加，不同車輪由于其負載和外部環(huán)境等因素影響，其退化趨勢具有差異性。將采集得到的車輪踏面磨耗數(shù)據(jù)進行匯總，繪制車輪個體的踏面磨耗量隨走行里程的退化過程如圖1所示。因此，選擇LMM。隨著時間的增加，對同一批列車車輪樣本定期測量其踏面磨耗值，可以得到LMM的建模數(shù)據(jù)集。

重點考慮隨機效應bi對模型以及踏面磨耗量預測的影響，因此對于bi的協(xié)方差矩陣，分別考慮帶有隨機截距、隨機斜率、有無相關(guān)性的隨機系數(shù)4種不同形式，并假設模型誤差εi服從方差為σ2、均值為0的正態(tài)分布。

圖1 部分車輪個體的踏面磨耗量隨走行里程的退化過程

1.2 NARNN

所謂的NARNN指的是在網(wǎng)絡的信息傳遞過程中，輸出信息被反饋到網(wǎng)絡的輸入端，并用于預測下一時間點的輸出，這樣就構(gòu)成了一個自回歸的過程[9-10]。NARNN的特性非常適用于非線性時間序列的分析。NARNN模型的基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 NARNN的基本結(jié)構(gòu)

NARNN模型如式(2)所示。

y(t)=f(y(t-1),y(t-2),…,y(t-d))

(2)

式中：y(t)為需要被預測的變量y在下一時間點的值；f為非線性函數(shù)；y(t),y(t-1),…,y(t-d)為變量y的過去值序列；d為輸入的記憶長度。

2 車輪踏面磨耗量預測

2.1 基于LMM的不同隨機效應的車輪踏面磨耗量預測

2.1.1 不同隨機效應的模型對比分析

選擇AIC、BIC最小且對數(shù)似然函數(shù)(Loglik)值最大的模型作為最優(yōu)模型，如表1所示，在該組試驗列數(shù)據(jù)下，隨機系數(shù)相關(guān)模型是LMM當中的最優(yōu)模型。

2.1.2 車輪踏面磨耗量預測

使用上述選擇的最優(yōu)LMM，即隨機系數(shù)相關(guān)模型對所有車輪個體在第5次檢測時所運行的里程點進行踏面磨耗量預測，其預測結(jié)果和實際值之間的殘差QQ圖(Quantile-Quantile Plot)如圖3所示。結(jié)果顯示，觀測值(藍色的數(shù)據(jù)點)落在理論正態(tài)分布直線(紅色直線)附近，說明殘差服從正態(tài)分布的假設基本合理，也進一步說明了模型的合理性。

表1 不同隨機效應矩陣的LMM擬合結(jié)果

圖3 最優(yōu)LMM的預測殘差QQ圖

2.2 基于NARNN模型的車輪踏面磨耗量預測

2.2.1 NARNN模型變量

每隔25000 km對鐵路貨車車輪尺寸進行一次檢測，將得到的等周期的車輪踏面磨耗數(shù)據(jù)作為時序數(shù)據(jù)分析對象。根據(jù)NARNN模型的特性，將前t時期的車輪踏面磨耗值作為輸入。目標為預測第t+1時期的踏面磨耗值。則所研究問題的模型可表示為

(3)

2.2.2 NARNN神經(jīng)網(wǎng)絡建模與優(yōu)化

NARNN將輸出信息反饋至輸入端，具有記憶功能，可快速構(gòu)建離散時間的非線性系統(tǒng)，因此非常適用于車輪踏面磨耗的預測建模。構(gòu)建NARNN前需要先確定記憶長度d和各層的神經(jīng)元數(shù)量。由于收集到的車輪踏面磨耗量數(shù)據(jù)較為稀疏，只包含了5個運行周期，因此選取記憶長度d=1。網(wǎng)絡包含3層隱藏層。隱藏層的參數(shù)通過隨機搜索算法(即RandomizedSearchCV)以隨機在參數(shù)空間中采樣的方式計算每組參數(shù)下的模型訓練結(jié)果并返回，使得模型誤差最小的參數(shù)組合作為最終的NARNN模型參數(shù)。NARNN各參數(shù)的優(yōu)化取值范圍如表2所示。

表2 NARNN各參數(shù)的優(yōu)化取值范圍

通過隨機搜索算法，最終得到NARNN各參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 NARNN各參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果

2.2.3NARNN模型訓練與評估

選擇均方誤差(MSE)、殘差自相關(guān)兩個指標評價模型的性能，其計算表達式如式(4)所示。

(4)

利用訓練好的模型對樣本測試集進行預測，得到相應的殘差值，同時計算各個殘差的分位數(shù)并繪制QQ圖，結(jié)果如圖5所示，觀測值(藍色的數(shù)據(jù)點)落在理論正態(tài)分布直線(紅色直線)附近，說明殘差服從正態(tài)分布的假設基本合理，也進一步說明了NARNN模型的合理性。

3 預測結(jié)果對比與分析

將通過建立與選擇的LMM(隨機系數(shù)相關(guān)和隨機系數(shù)不相關(guān)等多種LMM)以及構(gòu)建的NARNN模型分別對車輪踏面磨耗數(shù)據(jù)的驗證集(即最后一次的踏面磨耗檢測值)進行預測，得到的預測結(jié)果如圖6和圖7所示。圖中的藍色實線為實測的踏面磨耗值，綠色虛線為預測值。

圖4 測試集和訓練集的MSE指標迭代結(jié)果

圖5 測試集殘差QQ圖

圖6 隨機系數(shù)相關(guān)LMM對驗證集的預測結(jié)果

圖7 NARNN模型對驗證集的預測結(jié)果

對比圖6和圖7可知，帶隨機系數(shù)相關(guān)效應的LMM以及NARNN模型都能夠較為準確地預測出車輪的踏面磨耗量。表4列出了兩種模型預測驗證集時的均方根誤差。

表4 NARNN與LMM預測驗證集時的均方誤差

由表4可知，帶隨機系數(shù)相關(guān)效應的LMM對預測結(jié)果的均方誤差更小，也就是其預測值和實際值更為貼近。

4 結(jié)束語

車輪的退化過程的研究是鐵路貨車可靠性研究中的重要部分?；诂F(xiàn)有數(shù)據(jù)對車輪狀態(tài)進行實時預測可以輔助維修人員做出正確的維修決策，這也符合PHM的發(fā)展趨勢。本文以車輪踏面磨耗為研究對象，分別討論了LMM和NARNN模型應用于車輪踏面磨耗預測的建模過程和模型選擇，并對兩種模型的預測結(jié)果進行了對比與分析。結(jié)果表明NARNN模型和LMM在車輪踏面磨耗的預測中均表現(xiàn)良好，且LMM的預測準確性更高，相關(guān)結(jié)果可以為未來的研究提供參考。除此之外，在車輪退化的建模過程中，未考慮影響車輪退化的其他相關(guān)因素，比如車輪材質(zhì)、車輪速度等相關(guān)變量。在未來的研究中，可考慮結(jié)合車輪相關(guān)變量進行車輪的狀態(tài)預測，以實現(xiàn)車輪壽命的準確預測。