朱鵬程

（貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院, 貴州 貴陽 550025）

現(xiàn)如今，很多的領(lǐng)域都涉及到了分?jǐn)?shù)階微分方程的應(yīng)用問題。比如在數(shù)學(xué)、航天工程、金融、粘彈性材料等領(lǐng)域。并且，它正逐漸成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一。

文獻(xiàn)[1]的作者利用格林函數(shù)和不動(dòng)定理，解決了非線性黎曼- 劉偉爾型分?jǐn)?shù)階方程耦合系統(tǒng)問題。文獻(xiàn)[2]的作者通過證明并使用經(jīng)典的控制收斂定理直接證明了非線性高階時(shí)滯方程解的存在性。文獻(xiàn)[3]的作者研究出了一種變分迭代法用于解決含有某類分?jǐn)?shù)階積分微分方程的問題。文獻(xiàn)[4]的作者構(gòu)造了一種新穎簡便的正則化方法來逼近分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。在文獻(xiàn)[5]中, 作者通過阿多米安多項(xiàng)式逼近一類非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程中的積分項(xiàng)，從而得到這類問題的數(shù)值解。文獻(xiàn)[6]的作者為Caputo 型的分?jǐn)?shù)階常微分方程提供了一個(gè)新的平滑度數(shù)值解。

本研究的主要研究工作分為三個(gè)部分：在第一部分通過分段的三次插值公式近似Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)造了線性分?jǐn)?shù)階常微分方程的高階數(shù)值格式。在第二部分對(duì)構(gòu)造的數(shù)值格式的截?cái)嗑植空`差進(jìn)行估計(jì)。在第三部分我們舉出一個(gè)數(shù)值算例證明理論分析的正確性。

1 高階數(shù)值格式的構(gòu)造

我們用下面的等式來表示線性分?jǐn)?shù)階常微分方程的高階數(shù)值格式：

2 局部截?cái)嗾`差估計(jì)

表1 Δt 分別取1/8,1/16,...,1/512 時(shí)的最大絕對(duì)誤差和收斂階