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        基于政府補貼的養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)外包博弈模型

        2022-12-06 06:00:48陸媛媛
        白城師范學(xué)院學(xué)報 2022年5期
        關(guān)鍵詞:駐點服務(wù)質(zhì)量利潤

        于 暢,陸媛媛

        (吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130000)

        0 引言

        最近幾年,隨著人口老齡化問題不斷加劇,其中失能老人、半失能老人及缺乏家庭照顧的獨居和空巢老人數(shù)量不斷提升,我國已經(jīng)采取了較為合理的有效措施:發(fā)展社會居家養(yǎng)老、機構(gòu)養(yǎng)老等,其中入住養(yǎng)老機構(gòu)是我國人口老齡化問題的最優(yōu)選擇.為積極配合國家出臺的政策,各地政府部門分別采取不同政策提高養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)質(zhì)量,增加老年人入住率.在2015—2020年,我國養(yǎng)老機構(gòu)的床位數(shù)呈逐年增長的趨勢.根據(jù)民政部公布的數(shù)據(jù),2020年我國養(yǎng)老機構(gòu)床位數(shù)共計483.1萬張,同比增長12.6%,增速更是達近幾年新高,截至2021年的第一季度,我國養(yǎng)老機構(gòu)的床位數(shù)已達到491.8萬張.未來,養(yǎng)老院產(chǎn)業(yè)將有較大增長空間,養(yǎng)老院提高服務(wù)水平、合理定價、完善養(yǎng)老院配套設(shè)施是重要問題.隨著時代發(fā)展,老年人對休閑娛樂項目要求也越高,養(yǎng)老機構(gòu)提供高質(zhì)量的服務(wù),即需要同時滿足老年人生理、心理以及生活的需求,這樣才能吸引老人入住,提高入住率.現(xiàn)如今多數(shù)情況是養(yǎng)老機構(gòu)經(jīng)費不足,雖有政府補貼老人入住費,但除去正常的運行費用,幾乎沒有多余的錢給老年人提供娛樂健身設(shè)施等,因此,政府鼓勵社會企業(yè)等承包養(yǎng)老機構(gòu)的部分服務(wù)[1],并與養(yǎng)老機構(gòu)建立利潤共享機制[2].

        至今為止,有關(guān)政府補貼養(yǎng)老機構(gòu)的研究文獻有很多,例如郭倩等[3]基于政府補貼下,對養(yǎng)老服務(wù)市場供給進行研究;石薛橋等[4]考慮了政府補貼和消費者行為的綠色供應(yīng)鏈決策問題;張紅等[5]針對在政府補貼下具有公平偏好的綠色供應(yīng)鏈博弈模型及契約進行研究;Michael Kulm等[6]對養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)供給進行博弈分析,得出在完全信息和不完全信息兩種情形下,養(yǎng)老機構(gòu)的均衡服務(wù)價格和政府均衡財政政策;孫培航等[7]對公共服務(wù)外包視角下民營醫(yī)院參與醫(yī)養(yǎng)結(jié)合模式的可行性進行了分析;劉一璠等[8]針對政府補貼下養(yǎng)老機構(gòu)IT項目建設(shè)中的合作博弈進行研究;楊清穎等[9]對養(yǎng)老機構(gòu)體育服務(wù)供給現(xiàn)狀及改進策略進行研究;翟子敏等[10]對當代老年公寓娛樂休閑空間設(shè)計進行研究等.還有些養(yǎng)老機構(gòu)為提高服務(wù)質(zhì)量把餐飲服務(wù)外包給陽光餐飲機構(gòu).

        本文在政府補貼養(yǎng)老機構(gòu)情形下,養(yǎng)老機構(gòu)與承包養(yǎng)老機構(gòu)娛樂項目服務(wù)外包的私人企業(yè)利潤共享,建立了三級供應(yīng)鏈政府-私人企業(yè)-養(yǎng)老機構(gòu)的Stackelberg主從博弈模型,采用逆向歸納法最終分別求出各層最優(yōu)結(jié)果,分析了政府補貼對養(yǎng)老機構(gòu)和私人企業(yè)的影響.

        1 養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤模型

        根據(jù)Stackelberg模型的逆向原理,先分析養(yǎng)老機構(gòu)博弈模型

        其中:πi表示養(yǎng)老機構(gòu)的利潤;p表示養(yǎng)老市場價格;p1表示養(yǎng)老機構(gòu)與私人企業(yè)的收益共享金額;c表示養(yǎng)老機構(gòu)固定服務(wù)成本;s表示政府給予養(yǎng)老機構(gòu)單位服務(wù)的補貼;k2(0<k2<1)表示私人企業(yè)提高服務(wù)質(zhì)量所做努力系數(shù);x表示養(yǎng)老機構(gòu)提供服務(wù)質(zhì)量所做努力;D表示市場需求量.

        由文獻[4],假設(shè)市場需求量函數(shù)為

        其中:a表示養(yǎng)老市場基本需求量;b(0<b<1)表示養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)價格彈性系數(shù);y表示私人企業(yè)提高服務(wù)質(zhì)量所做努力;α(0<α<1)表示養(yǎng)老機構(gòu)提供服務(wù)所作努力彈性系數(shù);β(0<β<1)表示私人企業(yè)提高服務(wù)所做努力的彈性系數(shù).養(yǎng)老市場的需求量與養(yǎng)老機構(gòu)價格成反比,與養(yǎng)老機構(gòu)和私人企業(yè)的努力水平成正比.假設(shè)養(yǎng)老機構(gòu)的成本和私人企業(yè)為提高服務(wù)質(zhì)量所做努力的成本為凸的二次函數(shù)且分別為

        將式(2)代入式(1)得到養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤模型為

        在政府-私人機構(gòu)-養(yǎng)老機構(gòu)組成的三級供應(yīng)鏈中,博弈過程第三階段中養(yǎng)老機構(gòu)的決策變量,即養(yǎng)老市場價格p和養(yǎng)老機構(gòu)所做努力x是由私人企業(yè)給定的共享利益p1和私人企業(yè)所做努力y決定的,因此在私人企業(yè)給定共享利益p1和所做努力y時,我們得出以下定理.

        定理1 當系統(tǒng)參數(shù)k1、k2、α、β、b滿足時,養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)銷售價格為

        養(yǎng)老機構(gòu)提高服務(wù)質(zhì)量所做努力為

        證明 將式(3)分別對p和x求偏導(dǎo),令聯(lián)立得方程組

        解得此時養(yǎng)老機構(gòu)的駐點為

        (1)當k1(k2b-α2)-k2β2>0時,2k2b-α2>0;當(a+βy)-b(p1+c-s)>0時,x>0.又因為k2b(a+βy)+(k2b-α2)b(p1+c-s)>( 2k2b-α2)(a+βy)>0,所以p>0.

        因此πi的Hessian矩陣為

        由于G的一階順序主子式所對應(yīng)的行列式在駐點處的值|G1|=-2b<0,且二階順序主子式所對應(yīng)的行列式在駐點處的值|G|=2k2b-α2>0,所以πi是關(guān)于p和x的凹函數(shù),因此養(yǎng)老機構(gòu)利潤函數(shù)在駐點處可以取得極大值,由極值存在的必要條件,令此時的養(yǎng)老機構(gòu)的最優(yōu)銷售價格和提高服務(wù)質(zhì)量所做努力分別為式(4)和式(5).

        養(yǎng)老機構(gòu)的決策變量受私人企業(yè)的決策變量的影響,因此,分析養(yǎng)老機構(gòu)決策變量的影響因素時,可以發(fā)現(xiàn)養(yǎng)老機構(gòu)的定價與提供服務(wù)質(zhì)量所做努力是隨著私人企業(yè)的決策變量變化而變化的,我們得出如下性質(zhì).

        性質(zhì)1

        2 私人企業(yè)最優(yōu)利潤模型

        私人企業(yè)與養(yǎng)老機構(gòu)采取合作,并建立利潤共享機制時,即將養(yǎng)老機構(gòu)的決策變量p和x求出后,將式(2)、(4)和(5)代入私人企業(yè)博弈模型

        得到私人企業(yè)的最優(yōu)利潤模型為

        其中:πe表示私人企業(yè)的利潤;k1(0<k1<1)表示養(yǎng)老機構(gòu)提高服務(wù)質(zhì)量所做努力系數(shù);c1表示私人企業(yè)固定服務(wù)成本.

        博弈過程的第二階段中私人企業(yè)的決策變量,即私人企業(yè)與養(yǎng)老機構(gòu)利益共享p1和私人企業(yè)所做努力y由政府給予養(yǎng)老機構(gòu)的補貼s決定,因此在給定政府給予養(yǎng)老機構(gòu)的補貼s時,我們得出以下定理.

        定理2 當系統(tǒng)參數(shù)k1、k2、α、β、b滿足k1(k2b-α2)-k2β2>0,a-b(c+c1)>0時,私人企業(yè)以自身最大利潤為目標,求得與養(yǎng)老機構(gòu)的收益共享為

        私人企業(yè)為提供高質(zhì)量服務(wù)所做的努力為

        證明 將式(6)分別對p1和y求偏導(dǎo),令聯(lián)立得方程組

        解得其利潤函數(shù)駐點為

        當k1(k2b-α2)-k2β2>0時,有2k1( 2k2b-α2)-k2β2>0;當a-b(c+c1)>0時有a-b(c+c1-s)>0,此時有p1>0,y>0.

        因此πe的Hessian矩陣為

        由于H的一階順序主子式所對應(yīng)的行列式在駐點處的值有|H1|<0,其二階順序主子式所對應(yīng)的行列式在駐點處的值,所以πe是關(guān)于p1和y的凹函數(shù),私人企業(yè)的利潤函數(shù)在駐點處能取得極大值,由極值存在的必要條件,令,得此時的養(yǎng)老機構(gòu)的價格和所做努力為式(7)和式(8).

        因為私人企業(yè)的決策變量是在政府給予養(yǎng)老機構(gòu)補貼下所求得的,私人企業(yè)的決策變量受政府補貼的影響,分析私人企業(yè)決策變量的影響因素,可以發(fā)現(xiàn)私人企業(yè)的共享利潤和提高服務(wù)質(zhì)量所做努力隨著政府補貼的變化而變化,我們得出如下性質(zhì).

        性質(zhì)2

        綜上所述,對于私人企業(yè)來說,政府對養(yǎng)老機構(gòu)提供服務(wù)的補貼越大,則私人企業(yè)所做努力水平越高,私人企業(yè)與養(yǎng)老機構(gòu)的利潤共享越多,因此政府的補貼具有刺激作用.

        3 政府最大福利模型

        由文獻[5]政府總社會福利函數(shù)為

        其中:πg(shù)表示政府的利潤.將式(4)、(5)、(7)、(8)代入政府總社會福利函數(shù)得

        在博弈過程第一階段中是關(guān)于供應(yīng)鏈主體政府,政府將以社會福利最大為目標給定養(yǎng)老機構(gòu)的補貼s,因此我們得出以下定理.

        定理3 當系統(tǒng)參數(shù)滿足k1(k2b-α2)-k2β2>0,a-b(c+c1)>0時,政府對養(yǎng)老機構(gòu)的最優(yōu)補貼為

        證明 將式(9)對s求導(dǎo)得

        4 供應(yīng)鏈主體的最優(yōu)決策

        將式(10)帶入定理1和定理2中供應(yīng)鏈成員的決策x、p、p1、y中,得到養(yǎng)老機構(gòu)和私人企業(yè)的最優(yōu)決策為

        從而解得在非合作博弈模型下養(yǎng)老機構(gòu)的最優(yōu)利潤為

        私人企業(yè)的最優(yōu)利潤為

        政府的最大福利為

        5 案例分析

        如今,政府支持私人企業(yè)的加入,增加養(yǎng)老機構(gòu)在醫(yī)療、教育、體育等多方面的補給,通過市場調(diào)查,以寧波海曙區(qū)星光敬老院為例,該養(yǎng)老院將公共服務(wù)外包給民間組織,其中公共服務(wù)包括清潔、飲食、娛樂以及問診等項目,機構(gòu)基本建設(shè)的投入與組織增加多樣服務(wù)的投資,使老人得到的服務(wù)質(zhì)量有了很大提高.假設(shè)養(yǎng)老市場需求量a=10萬人,養(yǎng)老院的年投入成本c=4萬元,民間組織年投入成本c1=5萬元,滿足條件的系統(tǒng)參數(shù)分別為α=0.4,β=0.4,k1=0.7,k2=0.6,通過式(11)—(15)的計算求出系統(tǒng)的最優(yōu)結(jié)果如表1所示.

        表1 案例最優(yōu)結(jié)果

        下面分析不同決策變量隨著養(yǎng)老機構(gòu)提供服務(wù)的努力彈性系數(shù)的變化:

        (1)隨著養(yǎng)老機構(gòu)所做努力的彈性系數(shù)α的增大,養(yǎng)老機構(gòu)所做努力x和私人企業(yè)所做努力y都呈現(xiàn)遞增趨勢,如圖1—圖2所示.

        圖1 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對養(yǎng)老機構(gòu)努力的影響

        圖2 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對私人企業(yè)努力的影響

        (2)隨著養(yǎng)老機構(gòu)所做努力的彈性系數(shù)α的增大,養(yǎng)老機構(gòu)與承包養(yǎng)老機構(gòu)外包服務(wù)的私人企業(yè)間的共享利益p1和政府對養(yǎng)老機構(gòu)的補貼s同樣都呈現(xiàn)遞增趨勢,即養(yǎng)老機構(gòu)越努力,私人企業(yè)的共享利益和政府給予的補貼越多,如圖3—圖4所示.

        圖3 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對收益共享的影響

        圖4 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對政府補貼的影響

        (3)隨著養(yǎng)老機構(gòu)所做努力的彈性系數(shù)α的增大,養(yǎng)老機構(gòu)的最優(yōu)利潤πi、私人企業(yè)的最優(yōu)利潤πe以及政府的最大社會福利πg(shù)都逐漸增加,即養(yǎng)老機構(gòu)越努力各方獲得的利潤越多,如圖5—圖7所示.

        圖5 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對養(yǎng)老機構(gòu)利潤的影響

        圖6 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對私人企業(yè)利潤的影響

        圖7 養(yǎng)老機構(gòu)努力彈性系數(shù)對政府利潤的影響

        6 結(jié)語

        在政府補貼下,建立了政府補貼養(yǎng)老機構(gòu)以及養(yǎng)老機構(gòu)與私人企業(yè)利潤共享情況下的Stackelberg博弈模型,得出最優(yōu)養(yǎng)老市場定價、提高服務(wù)水平所作的努力程度以及政府補貼力度、機構(gòu)最優(yōu)利潤和政府最大社會福利模型,分析了政府補貼對養(yǎng)老機構(gòu)和私人企業(yè)的影響,為三級供應(yīng)鏈的主體在提高服務(wù)質(zhì)量和刺激市場需求量的問題上提供了理論基礎(chǔ).

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